湖北黄冈浠水县高考数学二轮专题复习空间点线面的位置关系

专题立体几何

高考对这一部分的考察主要是一大一小两种命题形式。主要考查学生的空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力．

空间点线面的位置关系

主干知识整合：

在高考中,立体几何往往有两个小题和一个大题,而小题中,一般会有一道专门考查空间点线面的位置关系的题目,大题则通常在进行鉴定会间角与距离的计算前要先进行位置关系的判断.而在方法的选择上,既可以用几何法,也可以用向量法,估计在的高考中,仍将出现这种特点.因此,我们要既能对空间点线面的位置关系进行推理判断,也要熟练掌握向量方法.

平面的基本性质

两直线平行与垂直的判定定理和性质定理。

直线与平面平行与垂直的判定定理和性质定理。

两平面平行与垂直的判定定理和性质定理。

经典真题感悟：

（08上海卷１３）给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面内无数条直线都垂直”是“直线l与平面垂直”的（C ）条件

Ａ．充要Ｂ．充分非必要Ｃ．必要非充分Ｄ．既非充分又非必要

２．（07江西?理?7题）如图，正方体AC１的棱长为１，

过点A作平面A１BD的垂线，垂足为点H．则以下命题中，

错误的命题是（D ）

Ａ．点H是△A１BD的垂心Ｂ．AH垂直平面CB１D

１

Ｃ．AH 的延长线经过点C １ Ｄ．直线AH 和BB １所成角为４５°

３．（08海南卷１５）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶

点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9

8，底面周长为３，那么这个球的体积为

______43π

热点考点探究：

考点一：空间想象能力与空间概念

例１ （１）如图,,,l A a B b αβαβ⊥?=∈∈,A,B 到l 的距离分别是a b 和,AB 与,αβ所成的角分别是θ?和,AB 在,αβ内的射影分别是m 和n .若a b >,则 （ D ）

Ａ． ,m n θ?>>

Ｂ． ,m n θ?>< Ｃ． ,m n θ?<<

Ｄ． ,m n θ?<>

（２） 空间直线,a b 是600角的异面直线,分别过,a b 作平面,αβ,使 平面,αβ也成600角,这样的面平,αβ （ A ）

Ａ． 有无穷对

Ｂ． 只有５对

Ｃ． 只有３对

Ｄ． 只有１对

【解析】（１）选Ｄ． ∵,,AE βαβ⊥⊥

.,,AE BE BF BAF ABE θ?∴⊥⊥∠=∠=同理BF

2222m AB b n AB a ?=-??=-??

∵,a b m n >∴>

sin ,sin b

AB

a b a

AB θ??

=??>?

?=??

因为

sin sin ,?θ∴>又∵,(0,]

2π

?θ∈,

?θ∴>

（２）选A

过直线a 任作一平面,记为α,因为b 与a 异面,且b 与a 成600角,故过直线b 作平面β,与a 成600角,然后交换a 的位置（绕直线a 旋转）,就会得到相应的β,从而符合要求的平面,αβ有无数对.

考点二：空间线面平行、垂直等位置的判定与证明

例２ （１）在三棱柱ABC —A/B/C/中,点E 、F 、H 、K 分别为AC/、CB/、A/B 、B/C/的中点,G 为三角形ABC 的重心,从K 、H 、G 、B/中取一点作为P ,使得棱柱恰有２条棱与平面PEF 平行,则P 为 （ ） Ａ．K

Ｂ． H

Ｃ． G

Ｄ．B/

（２）下列５个正方体图形中, l 是正方体的一条对角线,点M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出l 垂直面MNP 的图形的序号是__________（写出所有符合要求的图形序号）.

【解析】（１）选Ｃ． 现按各选项顺序逐图画出.

图（a ）中过KEF 的截面为平行四边行PKNM,显然三侧棱均与此戴面平行,图（b ）中,过HEF 的截面为三角形PQR,其中P 、Q 、R 为各侧棱中点,显然三棱柱底面各棱均与此截面平行.图（C ）中,过GEF 的截面为梯形MNQP ,其中各项点M 、N 、Q 、P 均为所在棱的三等分点,显然该棱柱恰有两棱AB 、A/B/与这个截面平行.图（d ）中,过B/EF 的截面三角形A/B/C/,此棱柱只有一个棱AB 与此截面平行. 考点三：空间点、线、面关系中探究性问题 例３ 如图,设动点P 在棱长为１的正方体

ABCD —A １B １C １D １的对角线BD １上,记11,D P

APC D B λ=∠当

为钝角时,求λ的取值范围.

【解析】由题设可知,以DA 、DC 、

1DD 为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系

D xyz -,则有A （１,0,0）,B （１,１,0）,C （0,１,0）,D （0,0,１）.

由

111(1,1,1),(,,)D B D P D B λλλλ=-==-得

所以

11(,,)(1,0,1)(1,,1),PA PD D A λλλλλλ=+=--+-=---

11

(,,)(0,1,1)(,1,1)PC PD DC λλλλλλ=+=--+-=--- 显然APC ∠不是平角,所以APC ∠为钝角等价于

cos cos(,)0

||||PA PC

APC PA PC PA PC ?∠==

0,PA PC ?< 21

1)()()1)(1)(1)(31)0,1

3λλλλλλλλ--+--+-=--<<<即((得

因此,

1

(,1)

3λ的取值范围为

【点评】本题属空间探索性问题,通过建立空间直角坐标系转化为代数问题,充分体现了空间向量的工具性.

考点四：平面图形的翻折

例５如图所示,在矩形ABCD中,AB=４,BC=３,沿对角线AC把矩形折成二面角D—AC—B,并且D在平面ABC内的射影落在AB上.

（１）求证:AD⊥平面DBC;

（２）求二面角D—AC—B的大小.

【解析】（１）设D在AB上的射影为H,则DH⊥平面ABC,

∵DH⊥BC,又BC⊥AB,

∴BC⊥平面ADＢ．

于是AD⊥BC ,

又AD⊥DC,∴AD⊥平面DBＣ．

（２）在平面ABC内作HE⊥AC,垂足为E,连结DE,则DE⊥AC,故∠DEF为二面角D—AC —B的平面角.

在

12

,,

5 Rt ADC DE

?=

中

在

37

,,

4 Rt ADB DH

?=

中

在

57

,sin.

16

DH

Rt DEH DEH

DE

?∠==

中

57

arcsin

DEH

∴∠=

即二面角D —AC —B 的平面角为arcsin

16.

规律总结

１． 画几何的截面形状,就是要画出这个截面与几何体各表面的交线,这就要求先找到截面与各表面的两个公共点,或者先找到一个公共点,再根据条件过此点作某线的平行线.

２．在解决空间位置关系的问题的过程中,注意几何法与向量法结合起来使用.若图形易找（例如,平面的垂线易作等）,则用几何法较简便,否则用向量法.而用向量法,一般要求先求出直线的方向向量以及平面的法向量,然后考虑两个相关的向量是否平行或垂直.

３．对于空间线面位置的探索性问题,有的是运用几何直观大胆猜测后推是验证,有的是直接建系后进行计算,有时两种办法相结合,它因结果的不确定性,增强能力考查,而成为新高考的热点

专题能力训练： 一、选择题

１．一条直线与一个平面所成的角等于3π

，另一直线与这个平面所成的角是6π. 则这两条直

线的位置关系 （ D ）

Ａ．必定相交 Ｂ．平行 Ｃ．必定异面 Ｄ．不可能平行

２．下列说法正确的是 B 。

Ａ．直线a 平行于平面M ，则a 平行于M 内的任意一条直线 Ｂ．直线a 与平面M 相交，则a 不平行于M 内的任意一条直线 Ｃ．直线a 不垂直于平面M ，则a 不垂直于M 内的任意一条直线 Ｄ．直线a 不垂直于平面M ，则过a 的平面不垂直于M

３．[普通高等学校统一考试（海南、宁夏卷）数学（文科）第１２题]已知平面α⊥平面β，

l α

β=，点A α∈，A l ?，直线AB l ∥，直线AC l ⊥，直线m m αβ∥，∥，则下

列四种位置关系中，不一定成立的是（D ） Ａ．AB m ∥

Ｂ．AC m ⊥

Ｃ．AB β∥

Ｄ．AC β⊥

４．三棱锥的侧面两两垂直，且所有侧棱之和为３，则三棱锥的体积的最大值为（ B ） （A ） 121 （B ）61 （C ）241 （D ）31

５．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出K 条，使得其中任意两条线段所在直线都是异面直线,则K 的最大值是 ４ 二．填空题：

6．一个正方体的棱长为２，将八个直径各为１的球放进去之后，正中央空间能放下的最大的球的直径为

13-

7．（全国二１6）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条１ ； 充要条２ ．

（写出你认为正确的两个充要条件）（两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．） 三．解答题：

8． 已知在四面体ABCD 中，PA a =，PB b =，PC c =，G ∈平面ABC ．

（１）若G 为△ABC 的重心，试证明()

1

3PG a b c =++；

（２）试问（１）的逆命题是否成立？并证明你的结论．

A

B

C

D

G

P

8． 解：（１）连AG

交BC 于

D

,则D 平分BC ,且G 分AD 所成的比为２∶１，从而

2

3

PG PA AG AD

=+=+a

又

111()[()()](2)222AD AB AC PB PA PC PA =+=-+-=+-b c a ，故11(2)()

33PG =++-=++a b c a a b c ．

（２）逆命题成立，证明如下：设D 分BC 所成的比为

p

，G 分

AD

所成的比为q ．则

()11p p BD BC PC PB p p =

=-++,()11q q AG AD PD PA q q ==-++

1()111p p PD PB BD PB PC PB PB PC p p p =+=+

-=++++,于是,

1()111q p

PG PA AG PA PB PC PA q p p =+=++-+++

=11(1)(1)(1)(1)q pq

PA PB PC

q

q p q p +++++++

因1()

3PG a b c =++,故111(1)(1)(1)(1)3

q pq q q p q p ===+++++,

解得2,1q p ==,于是G 为△ABC 的重心．

9． 08陕西卷１9．

三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为

1

11A B C ，90BAC ∠

=，1A A ⊥平面ABC ，1A A =，AB =，

2AC =，111A C =，1

2BD DC =

．

（Ⅰ）证明：平面1A AD ⊥

平面

11

BCC B

；

（Ⅱ）求二面角

1A CC

B

--的大小．

解法二：（Ⅰ）如图，建立空间直角坐标系， 则

11(000)0)(020)(00A B C A C ，，，，，，，，，， :1:

2BD DC =，1

3BD BC

∴=．

D ∴点坐标为

2033??

? ???，，． ∴

2203AD

??

= ? ???，，，1(220)(00BC AA =-=，，，． 10BC AA =，0BC AD =，1BC AA ∴⊥，BC AD ⊥，又1A A AD A =， BC ∴⊥平面1A AD ，又BC ?平面11BCC B ，∴平面1A AD ⊥平面11BCC B ．

A1

A C1

B1 B

D

C

（Ⅱ）BA ⊥平面11ACC A ，取(200)AB ==，

，m 为平面11ACC A 的法向量， 设平面

11

BCC B 的法向量为()l m n =，，n ，则100BC CC ==，n n ．

22030l m m n ?-+=?∴?

-+=??，，32l m n m

∴==，，

如图，可取1m =，则

321??

= ? ??，，n ， 2

222

223

2201015

3

cos 3(2)00(2)13?+?+?

<>=

=

??

++++ ?

??

，m n ，

即二面角1A CC B

--为

15arccos

5．

１0． 解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．

（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，

∵EF ?面ACD ，AD ? 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ． （Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥B Ｄ． ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥B Ｄ． 又EF CF=F ，∴BD ⊥面EF Ｃ．∵BD ?面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．

（２00５湖北）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱

,3,1,2PA ABCD AB BC PA ⊥===底面，E 为PD 的中点，

在侧面PAB 内，找一点N

使NE PAC ⊥平面。

分析１：把四棱锥P ABCD -补成长方体,ABCD PQHF - 设

1111

A B C D 是它的一个中截面，不难看到当

11

EM A C ⊥

延长EM 交

11

A B 于N 则N 为所求。

解法１：如图设,,F G H 分别是棱,,PA PB PC 的 中点，连结,,,,EF FG GH HE FH ，

E 是

棱PD 的中点，ABCD 是矩形，11

////,22GH EF AD GH EF AD ∴===

，1

////,2EH FG AB EH FG AB ==

，EFGH

ABCD ∴，而//EFGH ABCD 面，

90EFG ∴∠=，四边形EFGH 是矩形，,PA ABCD ⊥平面,,PA AB PA AD ∴⊥⊥ 平面//EFGH ABCD 平面，

,PA EFGH ∴⊥平面在面EFGH 内作,EM FH ⊥延长EM 交FG 于N ，

,PA EN PA EH F EN PAC ⊥?=∴⊥平面，在矩形EFGH 中，

30FEN GFH ∠=∠=，在Rt EFN 中，

3

tan 306FN EF =?=

，所以当

N 点在PAB

的中位线FG 上，且

6FN =

时，NE PAC ⊥平面。

分析２：以A 点为坐标原点，分别以直线,,AB AD AP 为x 轴，y 轴,z 轴;正方向建立空间直角坐标系，设(,0,)

N x z ，其中02x z ≤≤≤≤，由EN ⊥平面PAC ，转化为

0EN AC ?=，且0EN AP ?=，再求出,x z 的值，从而确定平面PAB 内点N de 位置。

解法２：如图在四棱锥P ABCD -中底

面

ABCD 为矩形，

,1,2PA ABCD AB BC PA ⊥===底面，以A 为坐标原点分别以直线,,AB AD AP 为

x 轴，y 轴,z 轴;正方向建立空间直角坐标系，设(,0,)N x z ，其中0

则

(0,0,0),(0,0,2)A C P ，1

(0,,1)

2E ， A

B

C

D

P

E F

G

H M N

(3,1,0),(0,0,2),AC AP ==1

(,,1)

2NE x z =--,

要使

NE PAC ⊥平面，只需100

202(1)0EN AC EN AP z ???=+=??∴?

??=???-=

?

61x z ?=?∴??

=?

，所以在侧面PAB 内，当点

(

6N 时，NE PAC ⊥平面。

总结：用向量方法探讨线面垂直，就是利用这条直线EN 与平面PAC 内的两条相交直线垂

直，即0

0EN AC EN AP ??=??

?=?

?然后求出点的坐标