四年级下册数学讲义-竞赛专题：第八讲-行程问题(一)(含答案解析)人教版
历届各杯赛中，行程问题是最大的难点之一，在填空题及动手动脑题中都会出现， 学习者而言，相对比较难以掌握。在解决行程问题时，要关注几个要素：时间、地点、方向、移动物体的个数和路线，学好行程问题不仅能培养学生分析解决问题的能力，也能提高思维能力。
名师点题
行程问题（一）
知识概述
一、相遇问题：
1. 相遇问题基本量：
① 路程和：我们把同时出发时刻两人（或物体）间的距离称为路程和； ② 相遇时间：从同时出发到两人（物体）相遇所用的时间称为相遇时间。 2. 相遇问题基本数量关系：
① 路程和=速度和×相遇时间 ② 速度和=路程和÷相遇时间 ③ 相遇时间=路程和÷速度和 二、追及问题：
1. 追及问题基本量：
① 路程差：我们把同时移动时刻前后两人（或物体）间的距离称为路程差； ② 追及时间：从开始追的时刻到追上前者所用的时间称为追及时间。 2. 追及问题基本数量关系：
① 路程差=速度差×追及时间 ② 速度差=路程差÷追及时间 ③ 追及时间=路程差÷速度差
东西两地间有一条公路长217.5千米，甲车以每小时25千米的速度从东到西地，1.5小时后，乙车从西地出发，再经过3小时两车还相距15千米。乙车每小时行多少千米？
【解析】
从图中可以看出，要求乙车每小时行多少千米，关键要知道乙车已经行了多少路程和行这段路程所用的时间。
解：（1）甲车一共行多少小时？1.5+3=4.5（小时）
（2）甲车一共行多少千米路程？25×4.5=112.5（千米）
（3）乙车一共行多少千米路程？217.5-112.5=105（千米）
（4）乙车每小时行多少千米？(105-15)÷3=30（千米）
答：乙车每小时行30千米。
甲、乙两匹马在相距50米的地方同时出发,出发时甲马在前乙马在后.如果甲马每秒跑10米,乙马每秒跑12米,_______秒两马相距70米?
【解析】
相距70米时,乙马在前,甲马在后,追及距离为(50+70)米
因此:(50+70)÷(12-10)=60(秒)
兄妹二人同时从家里出发到学校去，家与学校相距1400米。哥哥骑自行车每分钟行200米，妹妹每分钟走80米。哥哥刚到学校就立即返回来在途中与妹妹相遇。从出发到相遇，妹妹走了几分钟？相遇处离学校有多少米？
【解析】
从图中可以看出，哥与妹妹相遇时他们所走的路程的和相当于从家到学校距离的2倍。因此本题可以转化为“哥哥妹妹相距2800米，两人同时出发，相向而行，哥哥每分钟行200米，妹妹每分钟行80米，经过几分钟相遇？”的问题，解答就容易了。
例3
例2
例1
解：（1）从家到学校的距离的2倍：1400×2=2800（米）
（2）从出发到相遇所需的时间：2800÷（200+80）=10（分）
（3）相遇处到学校的距离：1400-80×10=600（米）
答：从出发到相遇，妹妹走了10分钟，相遇处离学校有600米。
【巩固拓展】
1、甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3小时，甲车到达B地。求A，B两地的距离。
【解析】先画示意图如下：
图中C点为相遇地点。因为从C点到B点，甲车行3时，所以C，B两地的距离为40×3=120（千米）。
这120千米乙车行了120÷60=2（时），说明相遇时两车已各行驶了2时，
所以A，B两地的距离是（40+60）×2=200（千米）。
2、小明每天早晨按时从家出发上学，李大爷每天早晨也定时出门散步，两人相向而行，小明每分钟行60米，李大爷每分钟行40米，他们每天都在同一时刻相遇。有一天小明提前出门，因此比平时早9分钟与李大爷相遇，这天小明比平时提前多少分钟出门？
【解析】因为提前9分钟相遇，说明李大爷出门时，小明已经比平时多走了两人9分钟合走的路，即多走了（60+40）×9=900（米），
所以小明比平时早出门900÷60=15（分）。
3、甲、乙两人环绕周长是400米的跑道跑步,如果两人从同一地点出发背向而行,那么经过2分钟相遇;如果两人从同一地点出发同向而行,那么经过20分钟两人相遇,已知甲的速度比乙快,求甲、乙两人跑步的速度各是多少?
【解析】
由两人同一地点出发背向而行,经过2分钟相遇知两人每分钟共行400÷2=200(米)
由两人从同一地点出发同向而行,经过20分钟相遇知甲每分钟比乙多走400÷20=20(米)
根据和差问题的解法可知甲的速度是每分钟(200+20)÷2=110(米)
乙的速度为每分钟110-20=90(米).
如图，A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而行。他们在离A点100米的C点第一次相遇。亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二次相遇。整个过程中，两人各自的速度都保持不变。求A、B间的距离。
【解析】第一次相遇，两人共走了1个全程，其中亮亮走了100米；
从开始到第二次相遇，两人共走了3个全程，则亮亮走了100×3=300（米），亮亮共走的路程是
一个全程多80米，所以A、B间的距离是：300-80=220（米）
【巩固拓展】
甲乙两车分别从A、B 两地同时出发，匀速相向而行，第一次相遇时离A地150千米。两车继续各自前行，分别到达B、A 两地后立刻返回，不作停留，在离A地70千米处第二次相遇。A、B 两地间的距离为_________千米。
【解析】从开始到第一次相遇，两人共走了1个全程；
从开始到第二次相遇，两人共走了3个全程。
（150×3+70）÷2=260（千米）
答：A、B 两地间的距离为260千米。
小刚在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，从车头到车尾经过他身旁共用18秒。已知火车全长342米，求火车的速度。
【解析】
在上图中，A是小刚与火车相遇地点，B是小刚与火车离开地点。由题意知，18秒小刚从A走到B，火车头从A走到C，因为C到B正好是火车的长度，所以18秒小刚与火车共行了342米，推知小刚与火车的速度和是342÷18=19（米/秒），
从而求出火车的速度为19-2=17（米/秒）。
例2
例1
【巩固拓展】
铁路线旁边有一条沿铁路方向的公路，公路上一辆拖拉机正以20千米/时的速度行驶。这时，一列火车以56千米/时的速度从后面开过来，火车从车头到车尾经过拖拉机身旁用了37秒。求火车的全长。
【解析】
与例3类似，只不过由相向而行的相遇问题变成了同向而行的追及问题。由上图知，37秒火车头从B 走到C，拖拉机从B走到A，火车比拖拉机多行一个火车车长的路程。用米作长度单位，用秒作时间单位，求得火车车长为
速度差×追及时间
= [（56000-20000）÷3600]×37
= 370（米）。
在周长为400米的环形跑道的起跑线上，甲、乙两辆自行车同时同地出发背向而行，甲车6米/秒，乙车4米/秒，几秒后第一次相遇？两车出发6分钟后，相遇了多少次？
【解析】
此题实际上是一个环形跑道的相遇问题。同时同地出发背向而行，当第一次相遇时，两人行的总路程恰好是一个周长的长度。以后每一次都增加一个周长的长度。
400÷(6+4)＝40（秒），6×60÷40=9（次）。
答：40秒后第一次相遇；两车出发6分钟后，相遇了9次。
【巩固拓展】
某小学有一条200米长的环形跑道，小巧和小亚同时从起跑钱起跑，小巧每秒跑6米，小亚每秒跑4米。问小巧第一次追上小亚时，两人各跑了多少米？第二次追上小亚时两人各跑了多少米？
【解析】
这是一道封闭路线的追及问题。小亚和小巧两人同时同地同向起跑，因此当小巧第一次追上小亚时，她比小亚多跑的路程正好是跑道的一圈，即路程差是200米。第二次追上时，她比小亚多跑的路程正好是跑道的两圈。巳知两人的速度，可以根据基本数量关系求出追及时间以及他们各自所跑的路程。
200÷(6-4) =100（秒），6×100＝600(米)，4×100＝400(米)
例3
600×2= 1200(米)，400×=800(米)。
第一次追上时，小巧跑了600米，小亚跑了400米。第二次追上时，小巧跑了1 200米，小亚跑了800米。
客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进，客车到达乙站后立即返回，货车到达甲站后也立即返回，两车再次相遇时，客车比货车多行216千米。求甲乙两站相距多少千米？
【解析】
如图，从出发到第二次相遇时，客车和货车共行3个全程，在这段时间里客车一共比货车多行216千米，客车每小时比货车快54-48=6千米，这样可以求出行3个全程的时间为216÷6=36小时，由此可求出行一个全程时间：36÷3=12小时，因而可以求出甲乙两站的距离。
解：①从出发到第二次是两车行驶的时间：216÷（54-48）=36（小时）
②从出发到第一次相遇所用的时间：36÷3=12（小时）
③甲乙两站的距离：（54+48）×12=1224（千米）
【巩固拓展】
甲城、乙城相距90千米，小张与小王分别从甲、乙两城同时出发，在两城之间往返行走(到达另一城城后马上返回)。在出发后2小时两人第一次相遇。小王到达甲城后返回，在离甲城30千米的地方两人第二次相遇。小张每小时走多少千米？小王每小时走多少千米？
【解析】
2小时第一次相遇，所以速度和：90÷2=45，第二次相遇共行了3个路程也就是3×90=270，所用时间为6小时，离甲30千米，说明小张离行2个全程差了30千米，故而小张行了2×90-30=150千米，
小张的速度：150÷6=35千米
小王的速度：45-35=10千米
例4
例1
有一座桥长600米，小亮和小军两人分别从桥的两头同时出发，相向而行。小亮每分钟行70米，小军每分钟行80米。小亮随身带有一只狗，每分钟行400米，狗与小亮同时出发，狗遇到小军后就折回；狗再遇到小亮后，又掉头向小军跑……如此不断往返直到小亮、小军相遇，狗总共跑了多少米？
【解析】抓住小狗跑的时间与小亮和小军从出发到相遇的时间相同，最后得到求解。
600÷（70+80）=4（分钟），400×4=1600（米），狗跑了1600米。
小轿车、面包车和大客车的速度分别为60千米/时、48千米/时和42千米/时，小轿车和大客车从甲地、面包车从乙地同时相向出发，面包车遇到小轿车后30分钟又遇到大客车。问：甲、乙两地相距多远？
【解析】如下图所示，面包车与小轿车在A点相遇，此时大客车到达B点，大客车与面包车行BA这段路程共需30分钟。
由大客车与面包车的相遇问题知BA=（48+42）×（30÷60）=45（千米）；
小轿车比大客车多行BA（45千米）需要的时间，由追及问题得到45÷（60-42）=2.5（时）；
在这2.5时中，小轿车与面包车共行甲、乙两地的一个单程，由相遇问题可求出甲、乙两地相距（60+48）×2.5=270（千米）。
（第13届中环杯决赛）
一支队伍以每分钟100米的速度进行，此时接到上级命令，要改变目的地，传令员以30千米/小时的速度从队伍的前端到队伍的尾端传达命令后又立即回到队伍的前端，供用时三分钟，那么这支队伍总长（）米。
【解析】
化单位后传令员的速度：500米/分钟，速度差为400，速度和为600，路程是队伍长。
也就是追及时间是相遇时间的600÷400=1.5倍
所以相遇时间用时3÷（1.5+1）=1.2分钟，
队伍长600×1.2=720米
例3
例2
（第七届希望杯四年级复赛）
甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，甲、乙两车速度分别为每小时60千米和48千米，有一辆迎面开来的卡车分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙三车相遇。求丙车的速度。【解析】
解答的关键是求出卡车的速度，从图上明显看出，甲车6小时的行程与乙车7小时的行程差正好是卡车的速度。再根据速度和、相遇时间和路程三者之间的关系，求出丙车速度。
解：（1）卡车的速度：（60×6-48×7）÷（7-6）=24÷1=24（千米）
（2）AB两地之间的距离：（60+24）×6=504（千米）
（3）丙车与卡车的速度和：504÷8=64（千米）
（4）丙车的速度：64-24=40（千米/小时）
(第9届中环杯决赛)
在一条公路的沿线有相距100千米的A、B两个城镇。甲，乙两车分别从两城同时开出，已知甲车每小时行70千米，乙车每小时行30千米，且两车出发后不改变行进方向，几小时后两车相距200千米？
【解析】同向（甲在前，乙在后）：（200-100）÷（70-30）=2.5（小时）
同向（甲在后，乙在前）：（200+100）÷（70-30）=7.5（小时）
相向：（200+100）÷（70+30）=3（小时）
反向：（200-100）÷（70+30）=1（小时）
例4
例5
猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3
步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？
【解析】这道题条件比较隐蔽，时间、速度都不明显。为了弄清兔子与猎狗的速度的关系，我们将条件都变换到猎狗跑12步的情形（想想为什么这样变换）：
（1）猎狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程；
（2）猎狗跑12步的时间等于兔子跑16步的时间。
由此知，在猎狗跑12步的这段时间里，猎狗能跑12步，相当于兔子跑21步，而兔子这段时间只跑了16步，假设兔子每步跑1米，那么跑21步就是21米，所以跑12步的时间里，狗跑21米，兔子跑16米，也就是狗每跑21米。就能追上兔子21-16=5米
那么要追30米，需要跑21×（30÷5）=126米
1、有两列同方向行驶的火车，快车每秒行31米，慢车每秒行22米，如果从两车头对齐开始算，23秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，26秒后快车超过慢车。快车长_______米，慢车长__________米。
【解析】从两车头对齐开始算，快车超过慢车，追及路程就是快车的车长；
同样，从两车尾对齐开始算，快车超过慢车，追及路程就是慢车的车长。
最后，快车长23×（31-22）=207米，慢车长26×（31-22）=234（米）。
2、甲乙两车分别从A、B两地相对开出，甲车每小时行54千米，先行了1小时后，乙车才从B地开出每小时58千米，乙车开出3小时后两车相遇，求两地相距多少千米？
【解析】解法1：54×（1+3）+58×3=390（千米）
解法2：54+（54+58）×3=390（千米）
答：两地相距390千米。
例6
3、一列火车子下午1时30分从甲站向乙站开出，每小时行60千米。1小时后，另一列火车以
同样的速度从乙站向甲站开出，当天下午6时两车相遇。甲、乙两站相距多少千米?
【解析】
用第一列火车前1小时行的路程加上后来两列火车同时行的路程就可算出甲、乙两站相距多少千米。也可以用第一列火车行的路程加上第二列火车行的路程，得出甲、乙两站相距多少千米。
解法一：60+60×2×(6—1.5—1)
=60+420
=480(千米)
解法二：60×(6—1.5)+60×(6一1.5—1)
=270+210
=480(千米)
答：甲、乙两站相距480千米。
4、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距A地40千米处两车相遇。相遇后两车继续前进，分别到达对方出发地后立即返回，返回途中两车又在距A地84千米处第二次相遇。求A，B两地相距多少千米？
【解析】两车行的总路程和上题相仿。因此只要考虑在第一次相遇时，也就是在一倍的总路程里，甲车行了40千米，那么在随后的两倍的总路程里，应该又行了80千米。因此甲车从A到B再掉头到第二次相遇的地点一共行了120千米。
(40×3+84)÷2＝102(干米)
答：A，B两地相距102千米。
5、亮亮骑着自行车，以每分钟400米的速度，从46路汽车的始发站，沿46路车的线路前进，当他骑出1400米时，一辆46路车从始发站开出，已知这辆车每分钟行600米，每4分钟到达一站并停车1分钟，那么汽车开出（）分钟后能追上亮亮。
【解析】以5分钟为1个周期：在这段时间内，亮亮骑了400×5=2000（米），46路车行驶了600×4=2400（米），两者的距离减少了2400-2000=400（米）。
两个周期后，两者的距离是1400-400×2=600（米），600÷（600-400）=3（分钟），所以，在第三个周期内，汽车追上了亮亮，共用时5×2+3=13（分钟）。
6、（第10届中环杯初赛）
甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。如果两人都按照原定速度行进，3小时可以相遇。现在甲比原计划每小时少走1千米，乙比原计划每小时少走0.5千米，结果两人用了4小时相遇。A、B两地相距（）千米。
【解析】
两人速度变慢以后，3小时少走了3×（1+0.5）=4.5千米；
此时的速度和4.5÷（4—3）=4.5千米/时，
那么原来的速度和为4.5+1+0.5=6，路成为6×3=18千米。