全等三角形(知识点讲解)经典例题含答案

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 全等三角形(知识点讲解)经典例题含答案全等三角形一、目标认知学习目标：1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式。

重点： 1. 使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式； 2 .三角形全等的性质和条件。

难点： 1.掌握用综合法证明的格式； 2 .选用合适的条件证明两个三角形全等经典例题透析类型一：全等三角形性质的应用1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.思路点拨: AB=AC，AB 和 AC 是对应边，∠A 是公共角，∠A 和∠A 是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.解析：AB 和 AC 是对应边，AD 和 AE、BD 和 CE 是对应边，∠A 和∠A 是对应角，∠B 和∠C，∠AEC 和∠ADB 是对应角.总结升华：已知两对对应顶点，那么以这两对对应顶点为顶点的角是对应角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.已知两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.第 1 页共10 页

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举一反三：【变式 1】如图，△ABC≌△DBE.问线段 AE 和 CD 相等吗？为什么？【答案】证明：由△ABC≌△DBE，得 AB=DB,BC=BE，则AB-BE=DB-BC，即 AE=CD。

【变式 2】如右图，求证：AE∥CF，。

【答案】∴AE∥CF2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE 的度数与 EC 的长。

思路点拨: 由全等三角形性质可知：∠DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ACB 的度数与 BF 的长即可。

解析：在ΔABC 中，∠ACB=180°-∠A-∠B，又∠A=30°，∠B=50°，所以∠ACB=100°. 又因为ΔABC≌ΔDEF，所以∠ACB=∠DFE， BC=EF（全等三角形对应角相等，对应边相等）。

所以∠DFE=100° EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。

总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相等。

举一反三：【变式 1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，第 2 页共 10 页

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ ∠ACB=90°. 求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.【答案】 (1）因为ΔACD≌ΔECD，所以∠ADC=∠EDC（全等三角形的对应角相等）. 因为∠ADC+∠EDC=180°，所以∠ADC= ∠EDC=90°. 所以CD⊥AB. (2）因为ΔCEF≌ΔBEF, 所以∠CFE=∠BFE（全等三角形的对应角相等）. 因为∠CFE+∠BFE=180°，所以∠CFE=∠BFE=90°. 因为∠ACB=90°,所以∠ACB=∠BFE. 所以EF∥AC. 类型二：全等三角形的证明3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．思路点拨: 欲证△ADF≌△BCE，由已知可知已具备一边一角，由公理的条件判断还缺少这角的另一边，可通过 AC＝BD 而得解析：∵AC＝BD(已知)∴AB-BD＝AB-AC(等式性质) 即 AD＝BC 在△ADF 与△BCE 中∴△ADF≌△BCE(SAS) 总结升华：利用全等三角形证明线段(角)相等的一般方法和步骤如下： (1)找到以待证角(线段)为内角(边)的两个三角形， (2)证明这两个三角形全等； (3)由全等三角形的性质得出所要证的角(线段)相等．举一反三：【变式 1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC 【答案】∵AB∥CD第 3 页共 10 页

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∴∠3＝∠4 在△ABD 和△CDB 中∴△ABD≌△CDB(SAS) ∴∠1＝∠2(全等三角形对应角相等) ∴AD∥BC(内错角相等两直线平行) 【变式 2】如图，已知EB⊥AD 于 B，FC⊥AD 于 C，且 EB＝FC，AB ＝CD．求证 AF＝DE．【答案】∵EB⊥AD(已知) ∴∠EBD＝90°(垂直定义) 同理可证∠FCA＝90° ∴∠EBD＝∠FCA ∵AB＝CD，BC＝BC ∴AC＝AB+BC＝BC+CD ＝BD 在△ACF 和△DBE 中∴△ACF≌△DBE(S．A．S) ∴AF＝DE(全等三角形对应边相等) 类型三：综合应用4、如图，AD 为ΔABC 的中线。

求证： AB+AC>2AD.思路点拨: 要证 AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以 AB+AC+BC>2AD，所以不能直接证出。

由 2AD 想到构造一条线段等于 2AD，即倍长中线。

解析：延长 AD 至 E，使 DE=AD，连接 BE 因为 AD 为ΔABC 的中线，所以 BD=CD. 在ΔACD 和ΔEBD 中，第 4 页共 10 页

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 所以ΔACD≌ΔEBD(SAS). 所以 BE=CA. 在ΔABE 中，AB+BE>AE，所以 AB+AC>2AD. 总结升华：通过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。

举一反三：【变式1】已知：如图，在RtΔABC 中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥ BD 的延长线于 E，求证：BD=2CE. 【答案】分别延长 CE、BA 交于 F.因为BE⊥CF,所以∠BEF=∠ BEC=90°.在ΔBEF 和ΔBEC 中，所以ΔBEF≌ΔBEC(ASA).所以CE=FE= CF. 又因为∠BAC=90°,BE⊥CF. 所以∠BAC=∠CAF=90°，∠1+∠BDA=90°，∠1+∠BFC=90°. 所以∠BDA=∠BFC. 在ΔABD 和ΔACF 中，所以ΔABD≌ΔACF(AAS) 所以 BD=CF.所以 BD=2CE.5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF思路点拨: (1)直接通过△ABE≌△CDF 而得，(2)先证明∠AEB＝∠CFD，(3)第 5 页共 10 页

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由(1)(2)可证明△AEF≌△CFE 而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角) 所在的两个三角形然后证明它们全等．解析： (1)在△ABE 与△CDF 中∴△ABE≌△CDF(SAS) ∴AE＝CF(全等三角形对应边相等) (2)∵∠AEB＝∠CFD(全等三角形对应角相等) ∴AE∥CF(内错角相等，两直线平行) (3)在△AEF 与△CFE 中∴△AEF≌△CFE(SAS) ∴∠AFE＝∠CEF(全等三角形对应角相等) 总结升华：在复杂问题中，常将已知全等三角形的对应角(边)作为判定另一对三角形全等的条件．举一反三：【变式 1】如图，在△ABC 中，延长 AC 边上的中线 BD 到 F，使 DF＝BD，延长 AB 边上的中线 CE 到 G，使 EG＝CE，求证 AF＝AG．【答案】在△AGE 与△BCE 中∴△AGE≌△BCE(SAS) ∴AG＝BC(全等三角形对应边相等)第 6 页共 10 页

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 在△AFD 与△CBD 中∴△AFD≌△CBD(SAS) ∴AF＝CB(全等三角形对应边相等) ∴AF＝AG(等量代换)6、如图 AB＝AC，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E，BD、CE 相交于 F．求证：AF 平分∠BAC．思路点拨: 若能证得得 AD=AE，由于∠ADB、∠AEC 都是直角，可证得Rt△ ADF≌Rt△AEF，而要证 AD=AE，就应先考虑Rt△ABD 与Rt△AEC，由题意已知 AB=AC，∠BAC 是公共角，可证得Rt△ABD≌Rt△ACE．解析：在Rt△ABD 与Rt△ACE 中∴Rt△ABD≌Rt△ACE(AAS) ∴AD=AE(全等三角形对应边相等) 在Rt△ADF 与Rt△AEF 中∴Rt△ADF≌Rt△AEF(HL) ∴∠DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等) ∴AF 平分∠BAC(角平分线的定义) 总结升华：条件和结论相互转化，有时需要通过多次三角形全等得出待求的结论。

举一反三：【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】根据题意，画出图形，写出已知，求证．第 7 页共 10 页

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