第八单元 数学广角——优化

1.教材由一个生活情境来引出问题,并给出沏茶的各项工序及所需的时间。这些工序有先后顺序,有些顺序可以改变,有些不能改变。如洗茶壶、接水、烧水、沏茶顺序不能改变。但有些事情是可以同时进行的,比如在烧水的时候可以洗茶杯、找茶叶等,能同时做的事情尽量同时做,这样才能节省时间。这里的方案可以多样化,但最终要实现最优化。教材这里用流程图的形式帮助学生来表示解决问题的方案,从中找出最优的方案。这里重点要突出优化的实际意义。让学生体会优化的作用。教材通过烙饼问题:怎样烙最省时间让学生体会优化理论。教材给出不同的方案,学生通过计算和讨论,找出最优的方案。教学时可以让学生借助硬币等物品来摆一摆、试一试,记录下结果,通过操作来发现。解决烙三个饼的问题后,可以让学生进一步扩展到4个、5个……10个,让学生探索奇数个饼和偶数个饼的烙饼方案有什么规律,实际也是一种化归的

思想。

2.优化思想也就是运筹思想在我国古代就已经开始运用了,比如战国时期的“田忌赛马”就是对策论的应用。对策论是优化的一种,它研究的是竞争的双方采取怎样的策略能战胜对手。在我们的生活中有着广泛的应用,体育比赛中像乒乓球团体赛时,如何安排选手的上场顺序,就要用到对策论的方法。教材由“田忌赛马”的故事来引入对策论的应用问题,这个故事学生都听过,但并不是从数学的角度来理解的,这里就是通过这个故事让学生来体会对策论方法在实际生活中的应

用。

教材利用学生易于理解的生活实例或经典的数学问题渗透数学思想方法,让学生感受到数学与生活的联系。由于这些思想方法比较抽象,必须借助一些具体的情境来帮助学生理解。同时这些熟悉的生活事例和经典的问题也能激发学生的学习兴趣。

1.使学生通过简单的事例,初步体会运筹思想和对策论方法在解决实际问题中的应用。

2.使学生认识到解决问题策略的多样性,形成寻找解决问题最优方案的意识。

3.让学生感受到数学在日常生活中的广泛应用,尝试用数学的方法来解决实际生活中的简单

问题,初步培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。

4.使学生逐步养成合理安排时间的良好习惯。

运筹思想和对策论的理论都是比较系统、抽象的数学思想方法,在这里只是让学生通过简单的事例,初步体会运筹思想和对策论方法在解决实际问题中的应用,初步培养学生的应用意识,提高解决实际问题的能力。学生只要能从解决问题的多种方案中寻找出最优的方案,初步体会优化思想的应用就可以了,并不要求学生一看到问题就都能从优化的角度给出最优的方案。另外老师在教学中也不要使用运筹、优化和对策论等数学化的语言进行描述。

1烧水问题..............................................................1课时

2烙饼问题..............................................................1课时

3田忌赛马问题..........................................................1课时

烧水问题。(教材第104页)

1.通过情景图中展示出的信息和需解决的问题,来尝试自己安排时间。

2.通过对比,能选择出最合理的方案。

重点:尝试合理安排时间的过程,体会合理安排时间的重要性。

难点:掌握合理安排时间的方法,增强合理解决生活中的问题的意识。

课件、图片。

师:同学们,如果你们家来客人了,你们准备怎样招待客人呢?

生:给客人沏杯茶。

师:星期天上午,李阿姨到小明家做客,妈妈让小明给李阿姨沏杯茶。(课件出示:教材第104

页情景图)

师:你平时沏茶要做哪些事呢?

生:接水、烧水、洗茶杯、放茶叶、沏茶。

师:噢,你们要做这么多事!让我们来看一看小明沏茶都需要做哪些事?分别需要多长时间?谁愿意说给大家听一听? (课件出示:烧水8分钟、洗水壶1分钟、洗茶杯2分钟、接水1分钟、

找茶叶1分钟、沏茶1分钟)

师:怎样才能尽快让客人喝到茶水呢?这就是合理安排时间的问题了,今天我们就重点来研究

合理安排时间的问题。

【设计意图:借助情景图吸引学生的注意力,引导学生仔细观察获取有价值的数学信息,为后

面提出问题、解决问题做好准备】

师:小明要做这么多事,请你帮他想一想,哪些要先做?哪些可以同时做呢?怎样才能尽快让客人喝上茶?请你们小组合作用准备好的工序图片摆一摆,设计一个最佳方案,并算一算需要多长时

间?

学生小组合作操作工序图片,设计最佳方案。

师:谁愿意上讲台来用工序图片展示你的设计方案?

学生上台演示。

师:这样安排要几分钟?

生:11分钟。

师:怎么算?

生:1+1+8+1=11(分)。

师:为什么只加“8”就行了?

生:因为烧水的同时能干其他事情,节省时间。

师:还有更快的方法吗?

生:没有了。

师:为了更清楚地把沏茶的过程表示出来,我们习惯画上箭头,这叫流程图。请小组合作把烧

水的过程用流程图画出来。

师:从解决烧水问题中你们得到了什么启示?

生:能同时做的事情尽量同时做,这样才能节省时间。

【设计意图:这节课通过简单的最优化问题向学生渗透优化思想,让学生体会运筹思想在实际解决问题中的作用,感受数学的魅力。设计家里来客人,为客人沏茶的生活情境。有意激活学生已有的生活经验,促使学生积极参与到新知识的学习活动中来,使学生在解决具体问题中学会优化思

想】

师:在本节课的学习中,你们都有哪些收获?

学生自由交流各自的收获体会。

A类

妈妈下班回家做饭,淘米要3分钟,煮饭要30分钟,洗菜要8分钟,切菜要10分钟,炒菜要10分钟。如果煮饭和炒菜用不同的锅和炉子,妈妈将饭菜都好至少要多长时间?

(考查知识点:合理安排时间;能力要求:能够合理安排时间)

B类

红红要为爸爸冲一杯咖啡,可是开水用光了,她需要烧开水(6分钟),找咖啡(1分钟),洗茶杯(2分钟)。她该怎样安排才能尽快让爸爸喝上热咖啡?

(考查知识点:合理安排时间;能力要求:能够合理安排时间)

课堂作业新设计

A类

33分

B类

烧开水的同时找咖啡、洗茶杯。

烧水问题

流程图:

1.在解决烧水问题时,学生自己发现在等待水开的同时还可以去完成洗茶杯、找茶叶等活动,

节约了时间,通过生活中的实例,让学生充分体会了优化方案。

2.创设具有生命活力的课堂需要我们真正地“以人为本”,真正地全方位欣赏自己的学生,积极地鼓励、评价学生,让学生都想去体验成功的快乐,表现出了人性中最美丽的一面,积极、主动、

思考、创造。

烙饼问题。(教材第105页)

1.分析简单的事例,使学生认识到解决问题方案的多样性及寻找解决问题的最优方案。

2.培养学生尝试用数学知识解决实际生活中的简单问题。

重点:让学生了解怎样烙饼更合理,使学生知道解决实际问题要选择最优方案。

难点:使学生感受到在日常生活中,虽然解决问题的方法很多,但有优选方案,要培养学生形成

从多种方案中寻找最优方案的意识。

课件、图片。

师:同学们在家里见过妈妈烙饼吗?我们一起来看看小丽的妈妈正在为全家人做自己的拿手绝活——烙饼。(课件出示:教材第105页例2情景图)

【设计意图:通过创设出生活化的情境,激发学生的学习兴趣。利用烙饼这一事例,调动学生已有的生活经验,使学生处于主动思考解决问题的最佳状态】

1.请学生打开教材第105页例2,看一看书中的“妈妈”是怎样烙饼的。

2.引导学生从例2中收集信息,然后互相交流。

通过例2的情景图,学生可以了解到,书中的“妈妈”每次只能烙两张饼,两面都要烙,每面3分钟,所以烙1张饼要6分钟。爸爸、妈妈和小红每人1张,共烙3张,怎样烙花费的时间最少?

3.先让学生独立思考,然后组织学生分组讨论,说一说自己是怎样安排的,自己的方案一共需要多长时间,把每组的设计方案填入表格,并计算出所用的时间。(学生在思考讨论时可用自己手

中的圆片代替烙的饼,边演示边思考)

4.引导学生说出自己的方案,教师可以把各小组汇报的不同方案通过投影展示出来。

第1张第2张第3张

第一次正面(3分)

第二次反面(3分)

第三次正面(3分)

第四次反面(3分)

第五次正面(3分)

第六次反面(3分)

方案一:每次烙1张需6分,3张共需时间3×6=18(分)。

第1张第2张第3张

第一次正面(3分) 正面(3分)

第二次反面(3分) 反面(3分)

第三次正面(3分)

第四次反面(3分)

方案二:每次烙2张,3张共需时间3×4=12(分)。

5.引导学生对比两种方案,说一说哪种方案更合理,更节省时间。

通过观察比较,学生会发现第二种方案更合理,因为第二种方案减少了很多时间,烙3张饼所

用的时间比第一种方案所用的时间要少些。

6.引导学生思考:第二种方案是不是就是最优方案呢?请学生用手中的学具再试一试。(在学

生尝试的基础上,教师通过投影展示出比方案一和方案二还要合理,还要节省时间的方案)

第1张第2张第3张

第一次正面(3分) 正面(3分)

第二次反面(3分) 正面(3分)

第三次反面(3分) 反面(3分)

方案三:第一次先烙第1张、第2张的正面,第二次烙第1张的反面,第3张的正面,第三次烙第2张和第3张的反面,这种方案共需时间为3×3=9(分)。(展示三种方案,使同学们感受到在解决实际生活中的问题时,要尽可能追求最完美的选择,要具有解决问题的优化意识)

7.引导学生去思考如果要烙4张饼,5张饼,6张饼……10张饼,怎样烙更节省时间,能发现

什么规律?

(1)首先请学生独立思考。

(2)然后组织学生交流讨论,并说出各自的想法。通过对学生想法的归纳,老师可以引导总结:如果要烙的张数是双数,2张2张地烙就可以了;如果要烙的张数是单数,可以先2张2张地烙,最后的3张,就按我们前面讲过的“方案三”去烙最节省时间。

8.引导学生完成教材第108页的“练习二十”第4题。

(1)引导学生观察教材第108页“练习二十”第4题的情景图,说一说从图中收集到的信息,并

说出题中需要解决的问题。

图中告诉我们,餐厅有3位顾客,每人点了两个菜,而只有两个厨师,问题是怎样安排炒菜的顺

序比较合理。

(2)学生在思考这个问题时,老师要引导学生参照例2的方法去思考,并独立设计出炒菜的方

案,并说明理由。

(3)学生设计完后,老师用投影展示他们的方案,并选出最优方案。

顾客1 顾客2 顾客3

第一次第1个菜第1个菜

第二次第2个菜第1个菜

第三次第2个菜第2个菜

列表展示,择优方案,使同学们感受到此种方案既没有人力和资源的浪费,而且又节省时间,所以此方案为最优方案。(如果学生的方案不同,也可让其说出自己的想法,让学生通过方案的

对比,亲自感受到上面的方案为最优方案)

【设计意图:通过拓展性的设问,既对前面所学知识进行了巩固,又为学生思维能力的培养提

供了时间和空间】

师:这节课你学到了什么?

学生自由交流各自的收获体会。

A类

1.用一口平底锅煎饼,假设煎一张需4分钟。每一面需2分钟,每次正好可以煎2张。煎3

张饼至少需要几分钟?

2.想一想,填一填。

(1)一张饼烙()面,如果一面需要2分钟,烙张需要()分钟。

(2)烙1张饼需要4分钟,一口平底锅每次可以烙3张饼,那么烙3张饼至少需要()分

钟。

(3)煮1个鸡蛋需要8分钟,一口锅一次可以煮10个鸡蛋,那么煮10个鸡蛋至少需要()

分钟。

(考查知识点:烙饼问题;能力要求:能合理安排顺序,节省时间)

B类

用一口平底锅煎饼,每次能同时煎两张饼,如果煎1张饼需要2分钟(假定正、反面各需1分

钟),问:

(1)煎3张饼至少需要几分钟?怎样煎?

(2)煎4张饼至少需要几分钟?怎样煎?

(3)煎11张饼至少需要几分钟?

(4)煎100张饼至少需要几分钟?

(考查知识点:烙饼问题;能力要求:能合理安排顺序,节省时间)

课堂作业新设计

A类

1. 6分钟

2. (1)两4(2)4(3)8

B类

(1)3分(同教材烙饼方法)(2)4分。先煎两个需2分钟,再煎两个还需2分钟。

(3)11分(4)100分

教材习题

教材第105页“做一做”

1. 先找杯子倒开水,在等开水变温的过程中量体温、找感冒药。

2. 15分

烙饼问题

烙饼的最佳方案是每一次尽可能地让锅上按要求放最多的饼,这样既没有浪费资源,又节省了

时间。

1.从生活实际出发,设计了烙饼这一实例,激发了学生的学习兴趣,使学生切实感受到数学无

处不在。

2.在师生、生生之间的信息交流和活动交往中,当学生面对实际问题时,老师能引导学生尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻找解决问题的策略,促进了知识的互补互联,使学生学会倾听,学会异位思考,学会在多种方案中寻找最优方案的意识,提高了学生解决问题的能力,最大限度地发挥了他们的聪明才智。学生在自主探索,合作交流中体会运筹的数学思想方法,萌生优化意

识。

田忌赛马问题。(教材第106~108页)

1.学生通过了解“田忌赛马”的故事,体会“策略”的重要性。

2.通过了解题意帮助学生列出田忌可以采取的所有策略,通过对照找到赢齐王的唯一方法。

3.帮助学生联系生活实际想一想,田忌的这种策略可以在哪些地方应用。

重点:通过列举田忌可以采用的所有策略,来找出并体会田忌赢齐王的策略方法。

难点:学生能够把所学知识和实际生活联系起来,有效地运用到实际生活中去。

课件。

1.谈话引入。

同学们,你们听说过“田忌赛马”的故事吗?田忌用了什么样的策略赢的齐王呢?通过今天的学习你就会明白的,你还可以把这种策略运用到我们的生活中。

2.引入新知。

有些同学说听过“田忌赛马”的故事,还有些同学课前查找了相关的资料,谁能给大家讲一讲

“田忌赛马”的故事或者读一读你查找的资料。

资料介绍:这是战国时期的故事。齐国的大将田忌很喜欢赛马,有一回他和齐王约定,进行一次比赛。他们把各自的马分成上、中、下三等,比赛时,上等马对上等马,中等马对中等马,下等马对下等马。由于齐王每个等级的马都比田忌的强,三场比赛下来,田忌都失败了,田忌觉得很扫

兴。这时孙膑拍着他的肩膀说:“从刚才的情形看,齐王的马比你的快不了多少哇。”田忌瞪了他一眼,说:“想不到你也来挖苦我!”孙膑说:“我不是挖苦你,你再同他赛一次,我有办法让你取胜。”于是田忌又和齐王再一次赛马。同样的三匹马,孙膑让田忌用下等马对齐王的上等马,第一场输了,接着进行第二场比赛,孙膑让田忌用上等马对齐王的中等马,胜了第二场,第三场田忌用中等马对齐王的下等马,又胜了一场,这下齐王目瞪口呆了。

1.根据刚才听到的故事或资料介绍,说一说田忌是怎样赢得第二次赛马比赛的。

第一场田忌用下等马对齐王的上等马,第二场田忌用上等马对齐王的中等马,第三场田忌用中等马对齐王的下等马,结果是田忌输了一场赢了两场,胜了齐王。

2.老师用投影打出表格,学生按表格的提示一起回答表格应填内容,老师填写。

齐王田忌本场胜者

第一场上等马下等马齐王

第二场中等马上等马田忌

第三场下等马中等马田忌

3.引导学生思考:田忌所用的这种策略是不是唯一能赢齐王的方法。

(1)引导学生分组讨论,看一看田忌一共有多少种可采用的应对策略。

(2)讨论后,组织学生一起填写投影展示出的表格,并指出每种策略的获胜方。

第一场第二场第三场获胜方

齐王上等马中等马下等马

田忌1 上等马中等马下等马齐王

田忌2 上等马下等马中等马齐王

田忌3 中等马上等马下等马齐王

田忌4 中等马下等马上等马齐王

田忌5 下等马上等马中等马田忌

田忌6 下等马中等马上等马齐王

(3)师生共同填写表格,学生发现田忌可以有6种赛马策略,但获胜的策略只有一个。

(4)引导学生说一说田忌的这种策略在生活中还有哪些应用。

(5)集体交流讨论,并说出自己的想法。

学生可以以乒乓球团体赛为例,在了解对方运动员情况的基础上,安排自己队员的上场次序。

(可在这个环节让学生多说一说体会到的“策略”的重要性)

【设计意图:通过经典的田忌赛马问题,初步培养学生的思维能力,了解策略在比赛中的重要

作用,同时还提醒学生凡事要考虑全面】

师:在本节课的学习中,你们都有哪些收获?

学生自由交流各自的收获体会。

A类

1.张红和李华两人轮流报数,必须报1~4的自然数,把两人报的数依次加起来,谁报数后加起

来和是1000,谁就获胜。要想取胜,是先报还是后报?报几?以后怎样报?

2.有15根火柴,甲、乙两人轮流取走,每次只能取1根或2根,谁取到最后一根火柴谁就

赢。如果是你,为了确保获胜,是应该先取火柴,还是应该后取火柴?怎样取?

(考查知识点:田忌赛马问题;能力要求:选取恰当的策略解决问题)

B类

现在有9张牌,甲、乙两人轮流从中取1张、2张或3张,直到取完为止,最后数一数各人所得牌的总数,得数为偶数者胜。先拿的人能否取胜?怎样安排?

(考查知识点:田忌赛马问题;能力要求:选取恰当的策略解决问题)

课堂作业新设计

A类

1.甲要取胜,应先让乙报,然后根据乙报几,甲就要报5减几。

2.应该后取火柴。如果对手取1根,你就取2根。如果对手取2根你就取1根,这样一定可以保证每次你取的火柴数与对手取的火柴数和为3,你就可以拿到最后一根火柴。

B类

先拿的人没有必胜的办法。如果甲先拿1张,乙接着取3张,乙一定有必胜的办法;如果甲取2张,乙取3张,乙有必胜的办法;如果甲取3张,乙取1张,乙有必胜的办法。

教材习题

教材第106页“做一做”

有可能。

教材第107页“练习二十”

1. 64分

2. 9分

3. 宋圆圆——陶欣然肖刚——杜小雯何文龙——程刚

刘佳佳——赵天骁朱曼——陆莎

4.

顾客1 顾客2 顾客3

第一次第1个菜第1个菜

第二次第2个菜第1个菜

第三次第2个菜第2个菜

田忌赛马问题

解决同一个问题可以有不同的策略,但要学会寻找解决问题的最优方案。

在与对方进行比赛时,要详细地分析自己与对方的情况,反复研究各种对策,在所有可能采取的策略中,选择一个利多弊少的最优策略,从而使劣势变为优势,最终取得胜利。

1.通过“田忌赛马”这一故事,让学生更深刻地感受到这节课不仅仅要学会“田忌赛马”的策略,

更重要的是学会一种数学的思想和方法。

2.将策略一一列出,使学生能通过对比,直接选择出最优方案。