2010-2019年(10套)考研数学二真题全集

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

1 若

1

)

(

lim2

1

2

=

+

+

→

x

x

x

bx

ax

e

,则（）

A 1,21-==b a

B 1,21-=-=b a C

1,21==

b a D 1,21=-=b a

2下列函数中不可导的是（ ）

)

sin()(x x x f = B.

)

sin()(x x x f = C.

x

x f cos )(= D.

)

cos()(x x f =

3设函数?????≥-<<--≤-=???≥<-=0

11

,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若)()(x g x f +在R 上连续，则（ ）

A 1,3==b a

B 2,3==b a

C 1,3=-=b a

D 2,3=-=b a 4 设函数)(x f 在]1,0[上二阶可导，且

)(1

=?

dx x f 则 （ ）

A 当0)(<'x f 时，0)21(

B 当0)(<''x f 时，0

)21(

C 当0210)(<>'）（时，f x f

D 当0

)21

(0)(<>''f x f 时，

5

dx x K dx e x

N dx x x M x ???---

+=+=++=22222

22

2)cos 1(,1,1)1(π

ππππ

π

则M,N,K 大小关系为（ ）

A.K N M >>

B.N K M >>

C.N M K >>

D.M N K >> 6

??

?

?=

-+-----1

220

1

2

2

)1()1(dy xy dx dy xy dx x x

x x

（ ）

A 35

B 65

C 37

D 67

7 下列矩阵中，与矩阵

????

? ??100110011相似的为（）

????

?

??-100110111 B.

????

?

??-100110101

????? ??-100010111.C D.????

?

??-100010101

8设A,B 为n 阶矩阵，记)(x r 为矩阵x 的秩，)(Y X 表示分块矩阵，则（ ）

A.)()(A r AB A r =

B.)()(A r BA A r =

C.{})(m ax )(A r B A r =

D.

)()(T T

B A r B A r =

填空题：9~14题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置上。 9

=

-++∞

→]arctan )1[arctan(lim 2x x x x

10 曲线

x x y ln 22

+=在其拐点处的切线方程是

11

=

+-?

+∞

dx x x 5

2341

12 曲线4t sin cos 3

3π=?????==在t

y t

x 对应点处的曲率为

13设函数),(y x z z =由方程

xy e z z =+-1

ln 确定，则

=??)

21,2(|x z

14

设

A

为

3

阶矩阵，

3

21,,ααα为线性无关的向量组，若

3

233223211,2,2αααααααααα+-=+=++=A A A ，则A 的实特征值为

三、解答题：15~23小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤. 15（本题满分10分） 求不定积分

dx e e x x ?

-1arctan 2

16（本题满分10分） 已知连续函数)(x f 满足

2

1

)()(ax dt t x tf dt t f x

=-+??

求)(x f

若)(x f 在区间[0,1]上的平均值为1，求a 的值

17（本小题10分）

设平面区域D 由曲线)20(cos 1sin π≤≤???-=-=t t y t

t x 与x 轴围成，计算二重积分??+D dxdy y x )2(

18（本小题10分）

已知常数12ln -≥k 证明：

0)1ln 2ln )(1(2

≥-+--x k x x x

19（本题满分10分）将长为2m 的铁丝分成三段，依次围成圆，三角形与正方形，这三段分别为多长时所得面积之和最小，并求该最小值 20（本小题10分） 已知曲线

）（），点（点1,00,0),0(94:2

A O x x y L ≥=

设P 是L 上的动点，S 是直线OA 与

直线AP 与曲线L 所围图形的面积 ，若P 运动到点（3,4）时沿x 轴正向的速度是4，求此

时S 关于时间t 的变化率。 21（本小题11分）

设数列{}n x 满足：

)

2,1(1,01

1 =-=>+n e e x x n n x x

n 证明{}n x 收敛，并求n

n x lim +∞

→

22（本小题11分） 设实二次型2

31232232132,1)()()(),(ax x x x x x x x x x f +++++-=，其中a 为参数。

求0),(32,1=x x x f 的解

求

)

,(32,1x x x f 的规范形

23（本小题11分）

已知a 是常数，且矩阵????? ??-=a a A 7203121可经初等列变换化为矩阵

?

?

???

??-=a a B 7203121 求a

求满足B AP =的可逆矩阵

p

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

（1

）若函数0(),0x f x b x >=?≤?

在x=0连续，则 (A)12ab =

(B)1

2

ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则

(A)

1

1()0f x dx ->? (B) 1

2()0f x dx -

1

10()()f x dx f x dx ->??

(D) 1

1

1

()()f x dx f x dx -

?

（3）设数列

{}n x 收敛，则

(A)当limsin 0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞

= (B)

当lim (0n n n x x →∞

= 时，则lim 0n n x →∞

=

(C)当2lim()0n

n n x x →∞

+=,

lim 0n →∞

=

(D)当lim(sin )0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

=

（4）微分方程248(1cos2)x

y y y e x '''-+=+ 的特解可设为k y =

(A)22(cos2sin 2)x x Ae

e B x C x ++ (B)22(cos2sin 2)x

x Axe e B x C x ++ (C)22(cos2sin 2)x

x Ae

xe B x C x ++

(D)22(cos2sin 2)x

x Axe

xe B x C x ++ （5）设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有(,)(,)

0,f x y f x y x y

??>??则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f < (C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f <

（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依

次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则

(A)0

10t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >

()

s

（7）设

A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得

1000010002P AP -??

??=??????

，则

123(,,)A ααα=

(A)12αα+ (B)232αα+ (C)2

3αα+

(D)122αα+

（8）已知矩阵200021001A ????=??????，210020001B ????=??????，100020000C ??

??

=??????

，则

(A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似

二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.

（9）曲线()

21arcsin y x x =+的斜渐近线方程为

（10）设函数()y y x =由参数方程sin t

x t e y t

?=+?=?确定，则2

2

t d y dx =

（11）

()

2

ln(1)

1x dx x +∞

++?

=

（12）设函数(

)

,f x y 具有一阶连续偏导数，且

()()(),1,0,00y y df x y ye dx x y e dy f =++=，则(),f x y =

（13）1

1

0tan y

x

dy dx x

=??

（14）设矩阵41212311A a ??- ?= ? ?-??的一个特征向量为112??

?

? ???

，则a

=

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）

求+

→0

lim

x

t x dt （16）（本题满分10分）

设函数(),f u v 具有2阶连续性偏导数，()y ,x

f e cosx =,求

0dy

d x x

=,

22

d y d x x

=

（17）（本题满分10分）

求2

1

lim

ln 1n

n k

k k n n →∞

=??

+ ??

?∑ （18）（本题满分10分）

已知函数

由方程

确定，求

的极值

（19）（本题满分10分）

()f x 在

[]0,1上具有2阶导数，0()

(1)0,lim

0x f x f x

+

→><，证明 （1）方程()0f x =在区间(0,1)至少存在一个根

（2）方程[]2

()()()0f x f x f x '''++= 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根

（20）（本题满分11分）

已知平面区域(){}

2

2,2D

x y x

y y =

+≤，计算二重积分()21D

x dxdy +??

（21）（本题满分11分）

设()y x 是区间3

(0,)2

内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点，L 在点P 处的切线与

y 轴相交于点(0,)P Y ，法线与x 轴相交于点(,0)P X ，若p P X Y =

，求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程。 （22）（本题满分11分）

三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+

（1）证明()2r A = （2）如果123βααα=++求方程组Ax b = 的通解

（23）（本题满分11分）

设

1322

21232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准

型为2

21122y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、

选择：1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.

（1） 设11)a x =，2a =，31a =.当0x +→时，

以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是

（A ）123,,a a a . （B ）231,,a a a . （C ）213,,a a a . （D ）321,,a a a .

（2）已知函数2(1),1,

()ln ,

1,x x f x x x -

≥?则()f x 的一个原函数是 （A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ?-<=?-≥?（B ）2(1), 1.

()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ?-<=?+-≥?

（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ?-<=?++≥?（D ）2(1), 1.

()(ln 1)1, 1.

x x F x x x x ?-<=?-+≥?

（3）反常积分1

21x e dx x

-∞?①，1

+201x e dx x ∞?②的敛散性为 （A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散. （C ）①收敛，②收敛.（D ）①收敛，②发散.

（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，求导函数的图形如图所示，则 （A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点. （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点. （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点. （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点. （5）设函数

()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线

()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲

率大于曲线2()y f x =的曲率，则在0x 的某个领域内，有

（A ）12()()()f x f x g x ≤≤ （B ）21()()()f x f x g x ≤≤ （C ）12()()()f x g x f x ≤≤ （D ）

21()()()f x g x f x ≤≤

（6）已知函数(,)x

e f x y x y

=-，则

（A ）''0x y f f -= （B ）''0x y f f += （C ）''x y f f f -= （D ）

''x y f f f

+=

（7）设

A ，

B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是

（A ）T A 与T B 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）T A A +与T B B +相似

（D ）1A A -+与1B B -+相似 （8）设二次型22

2123123122313(,,)()222f x x x a x x x x x x x x x =+++++的正、负惯性指数分

别为1,2，则 （A ）1a > （B ）2a <- （C ）21a -<< （D ）1a =与2a =-

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。

（9）曲线32

2

arctan(1)1x y x x

=+++的斜渐近线方程为____________.

（10）极限2112

lim (sin 2sin sin )n n

n n n n n

→∞+++=____________.

（11）以2x y x e =-和2y x =为特解的一阶非齐次线性微分方程为____________.

（12）已知函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，且

2

()(1)2()d x

f x x f t t =++?，则当2n ≥时，

()(0)n f =____________.

（13）已知动点P 在曲线3

y x =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l .若点P 的横坐标

时间的变化率为常数0v ，则当点P 运动到点(1,1)时，l 对时间的变化率是_______.

（14）设矩阵111111a a a --????--????--??与110011101??

??

-??????

等价，则_________.a =

解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） （16）（本题满分10分）

设函数

1

220

()(0)f x t x dt x =->?，求'()f x 并求()f x 的最小值.

（17）（本题满分10分） 已知函数(,)z z x y =由方程2

2()ln 2(1)0x y z z x y +++++=确定，求(,)z z x y =

的极值.

（18）（本题满分10分） 设

D

是由直线1y =，

y x

=，

y x

=-围成的有界区域，计算二重积分

22

22.D

x xy y dxdy x y --+??

（19）（本题满分10分）

已知1()x y x e =，2()()x y x u x e =是二阶微分方程(21)(21)'20n

x y x y y --++=的解，若

(1)u e -=，(0)1u =-，求()u x ，并写出该微分方程的通解。

（20）（本题满分11分）

设D

是由曲线1)y x ≤≤与3

3cos 02sin x t t y t π?=???≤≤? ?=?

???围成的平面区域，求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。

（21）（本题满分11分）

已知()f x 在3[0,]2π上连续，在3(0,)2π内是函数

cos 23x

x π

-的一个原函数(0)0f =。 （Ⅰ）求()f x 在区间3[0,]2π

上的平均值；

（Ⅱ）证明()f x 在区间3(0,)2

π

内存在唯一零点。

（22）（本题满分11分）

设矩阵11110111a A a a a -?? ?= ? ?++??，0122a β??

?

= ? ?-??

，且方程组Ax β=无解。

（Ⅰ）求a 的值； （Ⅱ）求方程组T

T A Ax A β=的通解。

（23）（本题满分11分）

已知矩阵011230000A -?? ?

=- ? ???

（Ⅰ）求99A

（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B ααα=满足2B BA =。记100

123(,,)B

βββ=，将123,,βββ分别

表示为123,,ααα的线性组合。

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

符合

题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分中收敛的是（）

（A

）

2

+∞

?

（B ）2

ln x

dx x

+∞

?

(C)2

1

ln dx x x

+∞

?

(D)2

x x dx e

+∞

?

(2)函数2

0sin ()lim(1)x t

t t f x x

→=+

在(,)-∞+∞内（） （A ）连续 （B ）有可去间断点 （C ）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点

(3)设函数1cos ,0

()0,0x x f x x

x α

β?>?=??≤?

(0,0)αβ>>，若()f x 在0x =处连续，则（） （A ）1αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤

(4) 设函数()f x 在(,)-∞+∞连续，其二阶导函数()f x ''的图形如右图所示，则曲线

()y f x =的拐点个数为（）

（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3

(5).设函数(u v)f ，满足22(,)y f x y x y x

+=-，则11

u v f

u ==??与1

1

u v f v ==??依次是（） （A ）

12,0 (B)0，12（C ）-12,0 (D)0 ,-12

(6). 设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==

与直线,y x y ==围成的平面区域，函数

(,)f x y 在D 上连续，则

(,)D

f x y dxdy ??=（）

（A ）

1

2

sin 214

2sin 2(cos ,sin )d f r r dr

π

θπθθθθ??（B

）

24

(cos ,sin )d f r r dr π

πθθθ? （C ）

13sin 214

2sin 2(cos ,sin )d f r r dr π

θπθ

θθθ??

（D

）34

(cos ,sin )d f r r dr π

πθθθ?

(7)．设矩阵A=211112a 14a ?? ? ? ???，b=21d d ?? ?

? ???

,若集合Ω=}{1,2，则线性方程组Ax b =有无穷多个

解的充分必要条件为（）

（A ）,a d ?Ω?Ω (B),a d ?Ω∈Ω (C),a d ∈Ω?Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω (8)设二次型

123(,,)f x x x 在

正交变换x Py =下的标准形为

222

1232,y y y +-其中

123P =(e ,e ,e )，若132(,,)Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为（ ）

(A):2

221232y y y -+ (B) 2221232y y y +- (C) 2221232y y y -- (D) 22

21232y y y ++

二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. (9) 设223

1arctan ,3t x t d y dx y t t

==?=?=+?则 （10）函数

2()2x f x x =在0x =处的n 阶导数()(0)n f =

（11）设函数()f x 连续，2

()(),x x xf t dt ?=

?

若(1)?1=，'

(1)5?=，则(1)f =

（12）设函数()y y x =是微分方程''

'20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取值3，则()y x = （13）若函数(,)z z x y =由方程231x y z

e

xyz +++=确定，则(0,0)dz =

（14）设3阶矩阵A 的特征值为2，-2,1，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵，则行列式B =

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）

设函数()ln(1)sin f x x x bx x α=+++，2

()g x kx =，若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小，求,,a b k 的值。

16、（本题满分10分）

设0A >，D 是由曲线段sin (0)2

y A x x π

=≤≤

及直线,2

y o x π

==

所形成的平面区域，

1V ，2V 分别表示D 绕X 轴与绕Y 轴旋转所成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值。

17、（本题满分10分）

已知函数(,)f x y 满足

(,)2(1)x xy f x y y e ''=+，(,0)(1)x

x f x x e '=+，(0,)2,f y y =+求

(,)f x y 的极值。

18、（本题满分10分） 计算二重积分()D

x x y dxdy +??，其中{}

2

22(,)2,D x y x

y y x =+≤≥。

19、（本题满分10分）

已知函数2

1

()x f x =+?

?

，求()f x 零点的个数。

20、（本题满分11分）

已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为1200C 的物体在200C 恒温介质中冷却，30min 后该物体温度降至300C ，若要使物体的温度继续降至210C ，还需冷却多长时间？

21、（本题满分11分） 已知函数()f x 在区间

[),a +∞上具有2阶导数，()0,()0,f a f x '=>设,b a >曲线()

y f x =在点(,())b f b 处的切线与X 轴的交点是0(,0)x ，证明：0a x b <<。

22、（本题满分11分）

设矩阵1

111

00a A a

a ??

?

=- ?

???

,且30A =，

（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足22,X XA AX AXA Z --+=其中Z 为3阶单位矩阵，求X 。

23、（本题满分11分）

设矩阵02313312A a -?? ?=-- ? ?-??，相似于矩阵12000031B b -??

?

= ? ???

，

（1）求a,b 的值（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵。

2014年考研数学二真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α

，α

11)

cos (x -均是比

x 高阶的无穷小，则α

的可能取

值范围是（ ）

（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(2

1

2．下列曲线有渐近线的是

（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=

2（C ）x

x y 1sin += （D ）x

x y 1

2sin +=

3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）

（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤

4．曲线?

??++=+=1472

2t t y t x ,

上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ） （Ａ）5010（Ｂ）100

10

(Ｃ）1010 （Ｄ）105

5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22

0x

x ξlim （ ）

（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）3

1

6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足

02≠???y x u 及02222=??+??y

u

x u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上； （B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；

（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；

（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．

7．行列式

d

c d c b

a b a

000000等于 （A ）2

)(bc ad - （B ）2

)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-

8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的

（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ） 非充分非必要条件

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．

?∞-=++1

2521

dx x x ．

10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则

=)(7f ．

11．设),(y x z z =是由方程4

7

22=

+++z y x e

yz

确定的函数，则=??

? ??2121,|dz ．

12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点???

?

?=22ππθ,),(r 处的切线方程为 ．

13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122

++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．

14．设二次型32312

22132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值

范围是 ．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限)

ln())((lim

x

x dt t e t x t

x 1

1121

12

+--?+∞

→．

16．（本题满分10分）

已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+12

2

，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值．

17．（本题满分10分）

设平面区域{

}

00412

2≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算??

++D

dxdy y

x y x x )

sin(22π

18．（本题满分10分）

设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x

=满足x x e y e z y

z

x z 222224)cos (+=??+??．若

0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．

19．（本题满分10分）

设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明： （1） []b a x a x dt t g x

a

,,)(∈-≤≤?

0；

（2）

??

≤?+

b

a

dt

t g a a

dx x g x f dx x f b

a )()()()(．

．

20．（本题满分11分） 设函数[]101,,)(∈+=

x x

x

x f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=， )),(()(,x f f x f n n 1-=

设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞

→lim ． 21．（本题满分11分） 已知函数),(y x f 满足

)(12+=??y y

f

，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．

22．（本题满分11分）

设????

?

??---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．

（1） 求方程组0=AX 的一个基础解系； （2） 求满足E AB =的所有矩阵． 23．（本题满分11分）

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

１．设2

)(),(sin 1cos π

αα<=-x x x x ，当0→x 时，()x α （ ）

（A ）比x 高阶的无穷小 （B ）比x 低阶的无穷小

（C ）与x 同阶但不等价无穷小 （D ）与x 等价无穷小

2．已知()x f y =是由方程()1ln cos =+-x y xy 确定，则=???

? ??-??

?

??∞

→12lim n f n n （ ）

（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 ３．设??

?∈∈=]

2,[,2)

,0[,sin )(πππx x x x f ，?=x dt t f x F 0

)()(则（ ）

（Ａ）π=x 为)(x F 的跳跃间断点． （Ｂ）π=x 为)(x F 的可去间断点． （Ｃ）)(x F 在π=x 连续但不可导． （Ｄ）)(x F 在π=x 可导．

４．设函数???????

≥<<-=+-e x x

x e x x x f ,ln 11,)

1(1)(11αα，且反常积分()dx x f ?∞+收敛，则（ ）

（A ）2-<α （B ）2>a （C ）02<<-a （D ）20<<α

５．设函数()xy f x

y

z =，其中f 可微，则

=??+??y z x z y x （ ） （A ）)('2xy yf （B ）)('2xy yf -（C ）)(2xy f x （D ）)(2

xy f x

-

6．设k D 是圆域{

}1|),(22≤+=y x y x D 的第k 象限的部分，记??-=k

D k dxdy x y I )(，则