专题43 三角形的折叠问题(解析版)

专题43三角形的折叠问题

1、如图1，在△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10，分别以△ABC的三边AB，BC，AC为边在三角形外部作

正方形ABDE，BCIJ，AFGC．如图2，作正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，AE′交CG于点M，D′E′交IC于点N点D′在边IJ上．则四边形CME′N的面积是24．

【解析】∵正方形ABDE关于直线AB对称的正方形ABD′E′，

∴AE′=AB=10，∠E′AB=90°，∠AE′N=90°，

∵AC=6，BC=8，AB=10，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ACB为直角三角形，

∴AC2=BC?MC，

∴MC==，

∵∠MAC=∠NAE′，

∴Rt△ACM∽Rt△AE′N，

∴=，即=，∴E′N=，

∴四边形CME′N的面积=S△AE′N﹣S△ACM=×10×﹣×6×=24．

故答案为24．

2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连

接C′B，则C′B=．

【解析】如图，连接BB′，

∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，

∴AB=AB′，∠BAB′=60°，

∴△ABB′是等边三角形，

∴AB=BB′，

在△ABC′和△B′BC′中，

，

∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），

∴∠ABC′=∠B′BC′，

延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，

∵∠C=90°，AC=BC=，

∴AB==2，

∴BD=2×=，C′D=×2=1，

∴BC′=BD﹣C′D=﹣1．故答案为：﹣1

3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点

（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，当线段AF=AC时，BE的长为．

【解析】连接AD，作EG⊥BD于G，如图所示：

则EG∥AC，

∴△BEG∽△BAC，

∴==，

设BE=x，

∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，

∴AB==5，

∴==，

解得：EG=x，BG=x，

∵点D是边BC的中点，

∴CD=BD=2，

∴DG =2﹣x ，

由折叠的性质得：DF =BD =CD ，∠EDF =∠EDB ，

在△ACD 和△AFD 中，，

∴△ACD ≌△AFD （SSS ），

∴∠ADC =∠ADF ，

∴∠ADF +∠EDF =×1880°=90°，

即∠ADE =90°，

∴AD 2+DE 2=AE 2，

∵AD 2=AC 2+CD 2=32+22=13，DE 2=DG 2+EG 2=（2﹣x ）2+（x ）2，

∴13+（2﹣x ）2+（x ）2=（5﹣x ）2，解得：x =，即BE =；

故答案为：．

4、已知ABC 中，AC BC =，Rt C ∠=∠．如图，将ABC 进行折叠，使点A 落在线段BC 上（包括点B 和点C ），设点A 的落点为D ，折痕为EF ，当DEF 是等腰三角形时，点D 可能的位置共有（）．

A ．2种

B ．3种

C ．4种

D ．5种

【解析】（1）当点D与C重合时，

∵AC=BC，AE=DE（即CE），AF=DF（即CF），

∴此时△AFC（即△AFD）是等腰直角三角形，点E是斜边AC的中点，∴EF=DE，

∴△EDF为等腰三角形．

（2）当点D与B点重合时，点C与E重合，

∵AC=BC，AF=DF（即BF），

∴此时EF=1

2AB=DF（即BF），

∴△DEF是等腰三角形；

（3）当点D移动到使DE=DF的位置时，△DEF是等腰三角形．

综上所述，当△DEF为等腰三角形时，点D的位置存在3中可能.

故选B.

5、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC+1，点E、F分别是BC、AC边上的动点，沿E、F 所在直线折叠∠C，使点C的落对应点C'始终落在边AB上，若△BEC'是直角三角形时，则BC'的长为

【答案】21

2

或1.

【解析】通过观察及分析可知，C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.

①当∠CM B′=90°时，如图例5-2所示.

由折叠知：∠BMN=∠B′MB=45°，又因为∠B=45°，所以∠BNM=90°，∠MNB′=90°

即∠BNM+∠MN B′=180°，所以B、N、B′三点共线，此时B′与点A重合.

所以，

121

22 BM BC+

==

①当∠CB′M=90°时，如图例5-3所示.

由折叠知∠B=∠B′=45°，因为∠C=45°，可得∠B′MC=45°，所以△B′MC是等腰直角三角形

设BM=B′M=x，B′C=x，则MC=x

因为BC+1

所以x x+1

解得：x=1，即BM=1.

综上所述，BM的值为21

2

+

或1.

【点睛】根据题意判断出C点不可能为直角顶点，分两种情况讨论，利用等腰直角三角形的三边关系求解.

6、如图，矩形ABCD中，点E为射线BC上的一个动点，连接AE，以AE为对称轴折叠△AEB，得到△AEB′，点B的对称点为点B′，若AB=5，BC=3，当点B′落在射线CD上时，线段BE的长为．

【答案】5或.

【解析】∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=AB=10，BC=AD=5，

∵矩形ABCD折叠，使点C落在边AB上的E处，折痕交DC边于点M，

∴∠MEB=∠C=90°，BC=BE=5，

∴四边形BCME 为正方形，

∴ME =5，

∴AE =AB -BE =5，

∵点F 在DM 上运动，且△AEF 是腰长为5的等腰三角形，

∴点F 只能在点D 或点M 处，

点F 运动到点D 时，EF =5

当点F 运动到点M 时，EF =5．

故答案为5或

.

7、如图例3-1，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，BC =3，点D 是BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点D 作DE ⊥BC 交AB 边于点E ，将∠B 沿直线DE 翻折，点B 落在射线BC 上的点F 处，当△AEF 为直角三角形时，BD

的长为

图例3-1图例3-2

图例3-38、如图例5-1，在Rt ABC ?中，90A ∠=?，AB AC =，1BC =+，点M ，

N 分别是边BC ，AB 上的动点，沿MN 所在的直线折叠B ∠，使点B 的对应点'B 始终落在边AC 上.若'MB C

?为直角三角形，则BM 的长为．

图例5-1图例5-2图例5-3

9、如图例6-1，在∠MAN=90°，点C在边AM上，AC=4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A’BC与△ABC关于BC所在直线对称.D、E分别为AC、BC的中点，连接DE并延长交A’B所在直线于点F，连接A’E.当△A’EF为直角三角形时，AB的长为.

图例6-1图例6-2图例6-3

10、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，BC，点E、F分别是BC、AC边上的动点，沿E、F所在直线折叠∠C，使点C的落对应点C'始终落在边AB上，若△BEC'是直角三角形时，则BC'的长为

【答案】33

3

或2.

【解析】如图1，当∠BEC'=90°时，

图1图2∵∠B=30°，

∴BE C’E，

又∵CE=C'E，BC，

∴BE ，C 'E =1，∴Rt △BEC '中，BC '=2；如图2，当∠BC 'E =90°时，∵∠B =30°，

∴BE =2C 'E =2CE ，

又∵BC +1，

∴BE =(2

13+，C 'E =(1

13+，

∴BC '=33+；

综上所述，BC '的长为33

3或2．