中国石油大学高等数学期末试题

A卷2011—2012学年第二学期

《高等数学（2-2）》期末试卷答案

专业班级

姓名

学号

开课系室基础数学系

考试日期 2012年月日

注意事项：

1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；

2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；

3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；

4. 本试卷正文共6页。

一．填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 1．，，若与垂直，则=.

2．设，则

3．设由方程所确定，则

4．设，而，其中

，则______________.

5．已知是长方形,,,则=2.

6．设曲线为圆周,则=

二．选择题（共4小题，每小题3分，共计12分） 1．下列级数中，绝对收敛的级数是（ C ）.

(A)

(B) (C) (D)

2．设

是正项级数，则下列结论中错误的是（D ）.

(A) 若收敛，则也收敛 (B) 若收敛，则

(C) 若收敛，则部分和有界 (D) 若收敛,则

3．设曲线型构件的密度函数为,则构件对ｚ轴的转动惯量为 ( B ).

(A)

(B)

(C)

(D)

4．设有直线L ：及平面，则直线L （B ）.

(A) 平行于平面 (B) 与平面的夹角为 (C) 与平面垂直 (D) 与平面的夹角为 三．解答题（共8小题，每小题8分，共计64分）

)5,4,1(=a )2,1,1(=b λ+λ-λ7±)ln()1)(1(arctan y x y x xy z +--+==)1,1(|dz )(41

dy dx +),(y x z 0=++x y ze yz xe =??y z x

y

e y xe z +--()1(0)

f x x x π=+≤≤01

()cos ,2n n a s x a nx x ∞

==+-∞<<+∞

∑02()cos n a f x nxdx ππ=?()2s π-=1

2π+D a x b ≤≤01y ≤≤()1D yf x dxdy =???b

a

dx x f )(C 2

22R y x =+ds x y x C ?+）—（32

2

3

R

2π∑∞

=+-1

)1()1(n n

n

n n ∑∞

=--1

1

)1(n n n ∑∞

=-1

)

12(

n n

n

∑∞

=1

1

n n

∑∞

=1

n n

a

∑∞

=1

n n

a

∑∞

=1

2

n n

a

∑∞

=1

n n

a

lim =∞

→n n a ∑∞

=1n n a n S ∑∞

=1n n a 1lim 1<=+∞

→ρn n n a a Γ),,(z y x ρ?

Γ

ds

z y x ),,(ρds

z y x y x ?

Γ

+),,()(22ρ?Γ

ds

z z y x 2

),,(ρ?Γ

zdz z y x ),,(ρ??

?=+=-+08-20

5z x y x 03-2:=++∏z y x ∏∏6π

∏∏3π

1． 计算二重积分其中积分区域D 为

区域.

解： 作极坐标变换：，有

------3分

==------5分

2．设为曲面

在点(1,1,1)处指向外側的法向量，求 （1）函数

在点(1,1,1)的梯度； （2）函数

在点处沿方向的方向导数； 解：=

------1分

------1分 ------1分 ------1分

（1）函数

在点(1,1,1)的梯度 ------2分

(2)函数

在点处沿方向的方向导数

------2分

.

)(dxdy y x I D ??-=}

0,0),({222≥≥≤+=y x R y x y x D ，θθsin ,cos r y r x ===

-=??dxdy y x I D

)(?

?

-2

)sin cos (π

θθθrdr

r r d R

?

?-20

20

)sin (cos π

θθθdr

r d R

0n 632:2

22=++∑z y x P z y x e u x

y 2)ln(22+++=P z y x e u x

y

2)ln(2

2+++=P n n ）（2,6,4141

cos ,143cos ,142cos ===

γβα1-e |2|1,1,12

221,1,1+=++-=??）（）（y x x x y e x u x

y

1e |211,1,122+=++=??）（y x y x e y u x y

1|1

|1,1,11,1,1==??）（）（z z u z y x e u x

y 2)ln(2

2+++=P )1,1,1(++-=e e gradu z y x e u x

y

2)ln(2

2+++=P n 1461131e -2141|n 1,1,1+=++++=??e e u ））（（（）（

3．计算三次积分

的值.

解：利用球面坐标系，积分化为

--------4分

----4分

或利用柱面坐标系

------4

----4分

4．设有幂级数，

（1）求该幂级数的收敛半径 （２）求该幂级数的收敛域是 （３）求该幂级数的和

解： (1) ==1

收敛半径R=1 ------2分

(2) 由于，收敛，所以收敛域为[-1,1]. ------2分

(3)

------3分

由于级数在x=-1,x=1处收敛，

且

------1分

1

20

I dx dz

=?222240

cos sin I d d r dr

ππθ???=???2224

00cos sin 2d r dr ππ???=???115π

=1

22

r

I d rdr dz

π

θ=??1

02r π

=?115π

=∑

∞

=++11

)1(n n n n x n

n n a a 1lim

+∞→=ρ)

2)(1()1(lim

+++∞→n n n n n ∑∞=++-11)1()1(n n n n ∑∞

=+1)1(1n n n ∑∞

=++=11)1()(n n n n x x S ∑∞

=++-=11

))1(1

1n n x n n （∑∑∞=∞=+++-=1111)1(n n n n n x n x ∑∑∞

=∞=++-=111

)1(n n n n n x n x x ∑∑??∞

=∞

=--=11

00

1

n n x

n

x

n dx x dx x x dx

x dx x

x x n n x n n ?

∑?

∑∞

=∞

=--=0

1

1

1

dx x x

dx x x x x

??

---=00111)1,1()1ln()1(-∈+--=x x

x x =

+---

→x x x x )1ln()1(lim 11)1(1)

1ln(lim 1

=+---

→x x x x ??

?=<≤-+--=∴111

1)1ln()1()(x x x

x x x S

5．设∑ 为曲面

上侧为曲面正侧,计算

解：法1：补辅助面，下侧为正侧， = ------1分

------1分

== ------1分

=+ ------2分

=+

=+

------1分 =

-----2分 法2：合一投影

，

=

,

222y x z --=??∑+++=2

222d d d d z y x y x z z y x I 0:1=∑z 2:),(22≤+∈y x D y x y x ??∑+++=2222d d d d z y x y

x z z y x I 2d d d d 2y x z z y x +??∑=I ????∑∑+∑-11???Ω+=z y x z d d d )21(21??∑-12121???Ω+V z d )21(21??????ΩΩ+V z dV d π232

?πθ20d ?20d π

?

?20

3sin cos dr

r ??π232dr r d ??2

0320sin cos 2π???ππ232=??1212ππ232π+??∑-10)(21=-??∑dxdy z =I π

232π+,

222y x z --=∑：2

:22≤+y x D xy ,

,

22

2

y x x z x ---

='2d d d d I 2y x z z y x +=??

∑

dxdy y x x x ))2()z ((21

22D --+'-=??dxdy y x y x x ))2(2(21222

22

D --+--=??π23

2

π+

6.设有函数

，问

(1) 函数在点是否连续？说明理由.

(2) 求函数 对的偏导函数

解：(1) 取 y=kx,则

函数极限与k 有关，极限不存在，由函数连续性定义， 函数在(0,0)点不连续. ------3分

(2) 时，

------5分 7.设有力场，

求变力沿曲线L ：从(1,0)到(0,1)的一段所做的功.

解： 功 ,------2分

，故积分路径无关 ------2分

= ------4分

8．求函数

在由直线及 坐标轴所围成的有界闭域D 上的最大值、最小值.

解：令 =0

=0，得驻点（0,0），（1,2）-----3

???

??=+≠++=0

00),(22222

2y x y x y x xy y x f ),(y x f )0,0(),(y x f x ),(y x f x

'=→),(lim

)

0,0(),(y x f y x 22220

1)1(lim k k x k kx x +=+→)0,0(),(≠y x 222

2222222)()

()()2()(),(y x x y y y x x xy y x y y x f x +-=+-+='0)0(0

0lim )0,0()0,(lim )0,0(200=?+?-?=?-?='→?→?x x x x f x f f x x x ?????=≠+-='∴)0,0(),(0)

0,0(),()()(),(2

222

2y x y x y x x y y y x f x j x y i y y x F )12()1(),(2

+++=2

1x y -=?+++=L dy

x y dx y )12()1(w 2)12(,12+=+=x y Q y P x Q y y P ??=

=??2=

w ?

?+0

1

1

32ydy dx 21

-)4(),(2

y x xy y x f --=6=+y x ---=')4(),(2y x y y x f x 2xy )24(2y x y --=)

328(),(y x xy y x f y --='

分

在边界上，； 在边界上，

在边界上，

令=0，解得驻点 -----3分

， .. 故，函数的极大值也是最大值是4，最小值是-64. ------2分

四．证明题（本题6分）设且连续，试证， 其中积分区域D= 证：因为积分区域D 关于直线对称，

所以

------1分

于是

------2分

------3分

)60(0≤≤=y x 0),(=y x f )60(0≤≤=x y 0),(=y x f 6=+y x 2

)6(2)6,(x x x x f z --=-=)60(≤≤x )

2)(6(6--=x x dx dz

6,2==x x 64)4(22)4,2(|2

2-=?-===f z x 0)0,6(|6===f z x 4)2,1(=f 0)0,0(=f ,0)(>x f 21

)()()(D

=+??dxdy y f x f x f {}21,21|),(≤≤≤≤y x y x x y =dxdy

x f y f y f dxdy y f x f x f ????

+=+D D

)()()

()()()(）

（dxdy x f y f y f dxdy y f x f x f dxdy y f x f x f ??????

+++=+D D D

)()()

()()()(21)()()(dxdy x f y f y f y f x f x f ）（??+++=

D )()()()()()(2121121D

==

??dxdy