2001年春季高考数学试题(上海卷)及答案

2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学

一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题．只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律是零分． 1．函数)0(1)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f ______．

2．若复数z 满足方程1-=i i z （i 是虚数单位），则z =________． 3．函数x

x

y cos 1sin -=

的最小正周期为________．

4．二项式6)1

(x

x +的展开式中常数项的值为________．

5．若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为________． 6．圆心在直线x y =上且与x 轴相切于点（1，0）的圆的方程为________． 7．计算：n

n n n )1

3(

lim ++∞→=________．

8．若向量α，β满足||||β-α=β+α，则α与β所成角的大小为________． 9．在大小相同的6个球中，2个红球，4个是白球．若从中任意选取3个，则所选的3个球中至少有1个红球的概率是________．（结果用分数表示） 10．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2

b

a b a +=

*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是_______ 11．关于x 的函数)sin()(φ+=x x f 有以下命题： （1）对任意的φ，)(x f 都是非奇非偶函数；

（2）不存在φ，使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； （3）存在φ，使)(x f 是奇函数； （4）对任意的φ，)(x f 都不是偶函数

其中一个假命题的序号是_______因为当φ=_______时，该命题的结论不成立

12．甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选，选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分 13．若a 、b 为实数，则0>>b a 是22b a >的（ ）

（A ）充分不必要条件．（B ）必要不充分条件．（C ）充要条件．（D ）既非充分条件也非必要条件． 14．若直线1=x 的倾斜角为α，则α（ ）

（A ）等于0

（B ）等于

4π （C ）等于2

π （D ）不存在 15．若有平面α与β，且l P P l ?α∈β⊥α=βα,,, ，则下列命题中的假命题为（ ）

（A ）过点P 且垂直于α的直线平行于β．（B ）过点P 且垂直于l 的平面垂直于β．

（C ）过点P 且垂直于β的直线在α内．（D ）过点P 且垂直于l 的直线在α内．

16．若数列}{n a 前8项的值各异，且n 8n a a =+对任意的N n ∈都成立，则下列数列中可取遍}{n a 前8项值的数列为（ ）

（A ）}{12+k a

（B ）}{13+k a

（C ）}{14+k a

（D ）}{16+k a

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本题满分12分）

已知R 为全集，}12

5

|

{},2)3(log |{1≥+=-≥-=x x B x x A ，求B A 18．（本题满分12分）

已知

)2

4(12sin sin 22π

<α<π=α+α+αk tg ，试用k 表示ααcos sin -的值． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分．

用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米．

（1）求a 关于h 的函数解析式；

（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值． （求解本题时，不计容器的厚度） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分9分

在长方体1111D C B A ABCD -中，点E 、F 分别1BB 、1DD 上，且B A AE 1⊥，D A AF 1⊥ （1）求证：AEF C A 平面⊥1；

（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成的角相等

试根据上述定理，在4=AB ，3=AD ，51=AA 时，求平面AEF 与平面BD B D 11所成的角的大小（用反

三角函数值表示） 21．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分9分，第2小题满分7分

已知椭圆C 的方程为1222

=+y x ，点),(b a P 的坐标满足12

22

≤+b a 过点P 的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 的中点，求：

（1）点Q 的轨迹方程；

（2）点Q 的轨迹与坐标轴的交点的个数．

22．（本题满分18分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分13分．

已知}{n a 是首项为2，公比为2

1

的等比数列，n S 为它的前n 项和． （1）用n S 表示1+n S ；

（2）是否存在自然数c 和k ，使得21>--+c

S c

S k k 成立．

2001年普通高等学校春季招生考试（上海卷）数学答案及评分标准

说明：

1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分．

2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分．

3．给分或扣分均以1分为单位． 答案及评分标准 一、（第1至12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分．

1．1)x ≥． 2．1i -． 3．2π． 4．20． 5．

22

1916

x y -=． 6．2

2

(1)(1)1x y -+-=． 7．2

e ．

8．90°． 9．

45

．

10．),(*)()*(c a b a c b a ++=+

(*)()(),()()()(),()()a b c a*c b*c a*b c a b *c b c *a a c *b a*b c b*a c +=++=+=+=++=+

11．（1），()k k Z π∈；（1），

()2

k k Z π

π+∈；（4），

()2

k k Z π

π+∈等（两个空格全填对时才能得分，其中k 也

可以写成任何整数） 12．219.01 二、（第13至16题）每一题正确的给4分，否则一律得零分 13．A 14．C 15．D 16．B 三、（第17至22题） 17．解 由已知4log )3(log 2

12

1≥-x

因为x y 1log =为减函数，所43≤-x 由?

??>-≤-034

3x x 解得31<≤-x 所以}31|{<≤-=x x A

由

12

5

≥+x ，解得32≤<-x 所以}32|{≤<-=x x B 于是3}1|{≥-<=x x x A 或 故}312|{=-<<-=x x x B A 或

18．解 因为αα=α

+α

+αcos sin 2tg 12sin sin 22 所以αα=cos sin 2k

因而k -=αα-=α-α1cos sin 21)cos (sin 2 又

2

4π

<α<π，于是0cos sin >α-α因此k -=α-α1cos sin

19．解（1）设'h 为正四棱锥的斜高由已知???

????=+=?+,

'h a 41h ,2a 'h 2

14a 2222

解得)0(112>+=h h a （2）)0()

1(33122>+=

=h h h

ha V 易得)

h

1

h (31V +=

因为2121=?≥+

h h h h ，所以61≤V 等式当且仅当h

h 1

=，即1=h 时取得 故当1=h 米时，V 有最大值，V 的最大值为

6

1

立方米． 20．证（1）因为B A CB 1平面⊥，所C A 1在平面B A 1上的射影为B A 1

由B A AE AE B A 11,平面?⊥，得AE C A ⊥1，同理可证AF C A ⊥1 因为AE C A AF C A ⊥⊥11, 所以AEF C A 平面⊥1

解（2）过A 作BD 的垂线交CD 于G ， 因为AG D D ⊥1，所以BD B D AG 11平面⊥

设AG 与C A 1所成的角为α，则α即为平面AEF 与平面BD B D 11所成的角． 由已知，计算得4

9=

DG ． 如图建立直角坐标系，则得点(0,0,0)A ，)0,3,4(),5,0,0(),0,3,49(1C A G ，}5,3,4{},0,3,49

{1-==C A AG ，

因为AG 与C A 1所成的角为α所以25

2

12||||cos 11=??=

αC A AG C A AG 25212arccos =α

由定理知，平面AEF 与平面CEF 所成角的大小为25

2

12arccos

21．解（1）设点A 、B 的坐标分别为),(11y x A 、),(22y x B ，点Q 的坐标为),(y x Q ．当21x x ≠时，设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为b a x k y +-=)(

由已知

12

,1222222121

=+=+y x y x （1） b a x k y b a x k y +-=+-=)(,)(2211（2） 由（1）得0))((2

1

))((21212121=-++-+y y y y x x x x ， （3） 由（2）得b ak x x k y y 22)(2121+-+=+， （4）

由（3）、（4）及221x x x +=

，221y y y +=，2

12

1x x y y k --=， 得点Q 的坐标满足方程02222=--+by ax y x （5）

当21x x =时，k 不存在，此时l 平行于y 轴，因此AB 的中点Q 一定落在x 轴上，即Q 的坐标为（a ，0）显然点Q 的坐标满足方程（5）

综上所述，点Q 的坐标满足方程02222=--+by ax y x

设方程（5）所表示的曲线为L ，则由??

???=+=--+,12,

02222

22y x by ax y x 得024)2(2222=-+-+b ax x b a 因为???

? ??-+=?128222

b a b ，由已知1222

≤+b a ，

所以当12

2

2

=+b a 时，△=0，曲线L 与椭圆C 有且只有一个交点P （a ，b ） 当12

2

2

<+b a 时，△＜0，曲线L 与椭圆C 没有交点 因为（0，0）在椭圆C 内，又在曲线L 上，所以曲线L 在椭圆C 内 故点Q 的轨迹方程为0222

2

=--+by ax y x

（2）由???==--+,0,

02222x by ax y x 解得曲线L 与y 轴交于点（0，0），（0，b ）

由???==--+,

0,02222y by ax y x 解得曲线L 与x 轴交于点（0，0），（a ，0） 当a =0，b =0，即点P （a ，b ）为原点时，（a ，0）、（0，b ）与（0，0）重点，曲线L 与坐标轴只有一个交点（0，0）

当a =0且20≤

曲线L 与坐标轴有两个交点（0，b ）与（0，0）

同理，当b =0且10≤

<，即点P （a ，b ）在椭圆C 内且不在坐标轴上时，曲线L 与坐标轴有三个交

点（a ，0）、（0，b ）与（0，0） 22．解（1）由??? ??

-

=n n S 2114，得)(22

1211411N n S S n n n ∈+=??? ??

-=++ （2）要使21>--+c S c S k k ，只要

0223<-?

?? ??--k

k S c S c

因为42114

k S ，所以N)(k S S S k k k ∈>-=??

?

??--0212223，故只要N)(k S c S k k ∈<<-223 ①

因为)(1N k S S k k ∈>+，所以

122

3

2231=-≥-S S k ， 又4

当c =2时，因为21=S ，所以当k =1时，k S c <不成立，从而①不成立 因为

c S >=-25

2232，由)(1N k S S k k ∈<+，得 2232231-<-+k k S S ，所以当2≥k 时，c S k >-22

3

，从而①不成立 当c =3时，因为21=S ，32=S ，所以当k =1，2时，k S c <不成立，从而①不成立 因为

c S >=-4132233，又2232231-<-+k k S S ，所以当3≥k 时，c S k >-22

3

，从而①不成立

故不存在自然数c 、k ，使21>--+c

S c

S k k 成立