高中数学会考知识点总结_(超级经典)

数学学业水平复习知

点

识

辑

第一章集合与简易

逻

1、集合

（1）、定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用{}。

（2）、集合的表示法：列举法（）、描述法（）、图示法（）；

（3）、集合的分类：有限集、无限集和空集（记作，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集）；（4）、元素a和集合A之间的关系：a∈A，或aA；

（5）、常用数集：自然数集：N；正整数集：N；整数集：Z；整数：Z；有理数集：Q；实数集：R。2、子集

（1）、定义：A中的任何元素都属于B，则A叫B的子集；记作：AB，

注意：AB时，A有两种情况：A＝φ与A≠φ

A=B；

A C；③、若AB,BA则

（2）、性质：①、AA,A；②、若AB,BC，则

3、真子集

（1）、定义：A是B的子集，且B中至少有一个元素不属于A；记作：AB；

（2）、性质：①、A,A；②、若AB,BC，则A C；

4、补集C U A A

①、定义：记作：CA{x|xU,xA}

U且；

②、性质：ACAACAUCCAA

U，，（）；

UUU

5、交集与并集

A

B （1）、交集：AB{x|xA且xB}

性质：①、AAA,A②、若ABB，则B A

（2）、并集：AB{x|xA或xB}

A

B性质：①、AAA,AA②、若ABB，则A B

1

6、一元二次不等式的解法：（二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系）

2-4ac000判别式：△=b

y

y

二次函数y

f(x) 2bxca

ax(

的图象0)

O

x1x2x

x

x1=x2

O

O

一元二次方程有两相异实数根有两相等实数根没有实数根

2bxca ax0(0)的根x1,x2(x1x2) x

1

x

2

b

2a

一元二次不等式{x|xx

1,xx2}

{ b

xR

|x}

2a

2bxca

ax0(0)的解集“＞”取两边

一元二次不等式{x|x

1xx2}

2bxca

ax0(0)的解集“＜”取中间

不等式解集的边界值是相应方程的解

22

含参数的不等式ax＋bx＋c>0恒成立问题含参不等式ax＋bx＋c>0的解集是R；

其解答分a＝0(验证bx＋c>0是否恒成立)、a≠0（a<0且△<0）两种情况。

第二章函数

1、映射：按照某种对应法则f，集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应，

记作f：A→B，若aA,bB，且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。

2、函数：（1）、定义：设A，B是非空数集，若按某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），（2）、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；自变量x的取值范围叫函数的定义域，函数值f（x）的范围叫函数的值域，定义域和值域都要用集合或区间表示；

（3）、函数的表示法常用：解析法，列表法，图象法（画图象的三个步骤：列表、描点、连线）；

（4）、区间：满足不等式axb的实数x的集合叫闭区间，表示为：[a，b]

满足不等式axb的实数x的集合叫开区间，表示为：（a，b）

满足不等式axb或axb的实数x的集合叫半开半闭区间，分别表示为：[a，b）或（a，b]；

2

（5）、求定义域的一般方法：①、整式：全体实数，例一次函数、二次函数的定义域为R；

②、分式：分母0，0次幂：底数0，例：y

2 1

|3x

|

③、偶次根式：被开方式0，例：y25x2

④、对数：真数0，例：log(11)

ya

x

（6）、求值域的一般方法：①、图象观察法：y

|

x

| 0.2

1

②、单调函数：代入求值法：,3]

ylog2(3x1),x[

3 2xx2x③、二次函数：配方法：yx4,[1,5)，yx22

④、“一次”分式：反函数法：y

x

2x

1

⑤、“对称”分式：分离常数法：y

2

2 s in sin

x

x

⑥、换元法：yx12x

（7）、求f（x）的一般方法：

①、待定系数法：一次函数f（x），且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f（x）

11

2

②、配凑法：,

f(x)x求f（x）

2

xx

③、换元法：f(x1)x2x，求f（x）

④、解方程（方程组）：定义在（-1，0）∪（0，1）的函数f（x）满足

1

2f(x)f(x)，求f（x）

x

3、函数的单调性：

（1）、定义：区间D上任意两个值x

1,x，若x1x2时有f(x1)f(x2)，称f(x)为D上增函数；

2

若x1x2时有f(x1)f(x2)，称f(x)为D上减函数。（一致为增，不同为减）

（2）、区间D叫函数f(x)的单调区间，单调区间定义域；

（3）、判断单调性的一般步骤：①、设，②、作差，③、变形，④、下结论

（4）、复合函数yf[h(x)]的单调性：内外一致为增，内外不同为减；

1x1x

4、反函数：函数yf(x)的反函数为yf()；函数yf(x)和yf()互为反函数；

1y1x1x反函数的求法：①、由yf(x)

，解出xf()，②、x,y互换，写成yf()，③、写出yf()

的定义域（即原函数的值域）；

3

1x反函数的性质：函数yf(x)的定义域、值域分别是其反函数yf()

的值域、定义域；

1x

函数yf(x)的图象和它的反函数yf()的图象关于直线yx对称；

点（a，b）关于直线yx的对称点为（b，a）；

5、指数及其运算性质：（1）、如果一个数的n次方根等于a（*

n1,nN），那么这个数叫a的n次方根；

n a叫根式，当n为奇数时，aa

nn ；当n为偶数时，

nn

a |a|

a(a

a(a

0)

0)

（2）、分数指数幂：正分数指数幂：

m

nm

a n；负分数指数幂：

a

a

m

n 1

m

a

n

0的正分数指数幂等于1，0的负分数指数幂没有意义（0的负数指数幂没有意义）；

1

（3）、运算性质：当a0,b0,r,sQ时：ra s a r sa r sa rs ab r a r b r

a,(),()，r aa r ；

b

6、对数及其运算性质：（1）、定义：如果aN(a0,a1) ，数b叫以a为底N的对数，记作logNb，

a

其中a叫底数，N叫真数，以10为底叫常用对数：记为lgN，以e=2.7182828,为底叫自然对数：记为lnN （2）、性质：①：负数和零没有对数，②、1的对数等于0：log a10，③、底的对数等于1：log a a1，

M

log a loglog，aaaa

N

1nn

log a Mlog a，a

n

7、指数函数和对数函数的图象性质

函数指数函数对数函数

定义ya x（a0且a1）yx

log（a0且a1）

a

a>1010

图象y

x

y=a x

y=a y y y=logax

y

（非奇非偶）

x

1 1 O1 x

O1

y=log a x OxOx

定义域（-∞，+∞）（-∞，+∞）（0，+∞）（0，+∞）

值域（0，+∞）（0，+∞）（-∞，+∞）（-∞，+∞）

4

性

单调性在（-∞，+∞）在（-∞，+∞）在（0，+∞）在（0，+∞）上是增函数上是减函数上是增函数上是减函数函数值1,x01,x00,x10,x1

变化

x

a

x

1,x0a1,x0logx0,x1logx0,x1

aa

1,x01,x00,0x10,0x1质

图定点1,

a过定点（0，1）log a10,过定点（1，0）

象图象

特征

x

a0,图象在x轴上方x0,图象在y轴右边

图象x

ya的图象与ylog a x的图象关于直线yx对称关系

第三章数列

（一）、数列：（1）、定义：按一定次序排列的一列数叫数列；每个数都叫数列的项；

数列是特殊的函数：定义域：正整数集N（或它的有限子集{1，2，3，,，n}），

值域：数列本身，对应法则：数列的通项公式；

（2）、通项公式：数列{a n}的第n项a n与n之间的函数关系式；例：数列1，2，,，n的通项公式a n=n

n1

1，-1，1，-1，,，的通项公式a n=(1)；0，1，0，1，0，,，的通项公式a n

（3）、递推公式：已知数列{ a}的第一项，且任一项a

n与它的前一项a n1（或前几项）间的关系用一个

n

公式表示，这个公式叫递推公式；例：数列{a n}：a11，

1

a1，求数列{a n}的各项。na

n1

（4）、数列的前n项和：S n a1a2a3a n；数列前n项和与通项的关系： a n a

1

S

n

S

1

S

n

(n

(

n

1

1)

2)

（二）、等差数列：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

（2）、通项公式：a n a1(n1)d（其中首项是a1，公差是d；整理后是关于n的一次函数），

（3）、前n项和：1．

n(a1a n)n(n1)

S2.S n na1d（整理后是关于n的没有常数项的二次函数）n

22

（4）、等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。即：

ab

A或2Aab

2

5

[说明]：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项 的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 （5）、等差数列的判定方法：

①、定义法：对于数列 a ，若a n1a n d(常数)，则数列a n 是等差数列。

n

②、等差中项：对于数列 a ，若 n 2 a n aa ，则数列

1nn2

a 是等差数列。 n （6）、等差数列的性质：

①、等差数列任意两项间的关系：如果 a 是等差数列的第n 项，a m 是等差数列的第m 项，且mn ，公

n 差为d ，则有aanmd

n()

m

②、等差数列 a ，若nmpq ，则

n a n aaa 。

mpq

a 1 a n

也就是：a 1a n a 2a n1a 3a n2，如图所示： a a,,a n ,a,a ,2a 3,21 1nn

a 2 a n

1 ③、若数列 a 是等差数列，S n 是其前n 项的和，

n

* k ，那么S k ，S 2k S k ，S 3k S 2k 成等差数列。

N

S 3k

如下图所示： a 1 a 2 a 3

a k aaaa

k12k2k13k

S k S 2k S k

S 3k S 2

k

④、设数列a n 是等差数列，

S

奇

是奇数项的和，

S 偶

是偶数项项的和，S n 是前n 项的和， 则有：前n 项的和SS 奇S 偶

n ，当n 为偶数时，

S 偶 S 奇 n 2

d ，其中d 为公差；

SSa

当n 为奇数时，则奇偶中

，

n1 S 奇a 2

中

， n 1 S 偶a 2 中

（其中a 中是等差数列的中间一项）。 ⑤、等差数列 a 的前2n1项的和为S 2n 1，等差数列b n 的前2n1项的和为

n

'

S ，则 2n1

a n b

n S 2n ' S

2n

1 1 。

（三）、等比数列：（1）、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（q0）。 （2）、通项公式：

n1 a n aq （其中：首项是a 1，公比是q ）

1

（3）、前n 项和]

na,(q1) 1

n

Saaqa(1q)

n （推导方法：乘公比，错位相减）

1n1

,(q1)

1q1q

n

a(1q)aaq

1qS1nq

说明：①S n(1)○2(1)

n

1q1q

○3当q1时为常数列，S n na1，非0的常数列既是等差数列，也是等比数列

6

（4）、等比中项：

如果在

a

与

b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。

也就是，如果是的等比中项，那么

G a b G 2 ，即Gab （或Gab ，等比中项有两个）

（5）、等比数列的判定方法：

①、定义法：对于数列 a n1qq ，则数列

a ，若(0) n

a n

a 是等比数列。 n

②、等比中项：对于数列 a ，若

n 2 a n aa ，则数列a n 是等比数列。 n2n1 （6）、等比数列的性质：

①、等比数列任意两项间的关系：如果 a 是等比数列的第n 项，

n a 是等比数列的第m 项，且mn ， m

公比为q ，则有nm

a n aq

m

②、对于等比数列 a ，若nmuv ，则

n

a n aaa

muv

a 1 a n

也就是：a 1a n a 2a n1a 3a n2。如图所示：

a a,

,2a 3,,a 21 n,a,a 1nn

a 2 a n

1 ③、若数列a n 是等比数列，S n 是其前n 项的和，

* k ，那么S k ，S 2k S k ，S 3k S 2k 成等比数列。

N

S

3k

如下图所示： a 1 a 2 a 3 a

kaaaa

k12k2k13k

S

k

S 2k S k

S 3k S 2

k

（7）、求数列的前n 项和的常用方法：分析通项，寻求解法 123

n(n1)1

2

222n 2

nnn

n ，135(2n1)n ，123(1)(21)

26

12n

①公式法：“差比之和”的数列：(235)(235)(235)

n1

②、并项法：1234(1)n ③、裂项相消法： 1

1 2 1 6

( 1 n1)n

1111 122334nn1 ④、到序相加法：

⑤、错位相减法：“差比之积”的数列：12x3x 2 n

nx

1

第四章三角函数

1、角：（1）、正角、负角、零角：逆时针方向旋转正角，顺时针方向旋转负角，不做任何旋转零角；

（2）、与终边相同的角，连同角在内，都可以表示为集合{|k360,k Z}

7

（3）、象限的角：在直角坐标系内，顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，这个角不属于任何象限。

2、弧度制：（1）、定义：等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用弧度做单位叫弧度制。

（2）、度数与弧度数的换算：180弧度，1弧度（3）、弧长公式：l||r（是角的弧度数）

180

( )57

'

18 y

P（x，y）

扇形面积：S 1

2

lr

1

2

| | r

2 r 2y

x

2

r

x

3、三角函数（1）、定义：（如图）（2）、各象限的符号：

cos y

r

x

r

tan

cot

y

x

x

y

sec

csc

r

x

r

y

y

y

cos

_

+

si

n

+

+

Ox

x

O

__

_

+

_

+

y

O

tan

sin+

x_ （3）、特殊角的三角函数值

的角度030456090120135150180270360

的弧度0 2 64323 3 4 5 6 32 2

sin0 1 2 2 2 31 2 3 2 2 2 1 2 010

cos1 3 2

2 2

10 2

1 2

2 2

3101 2

tan0

313—31 3

30—0 3

4、同角三角函数基本关系式

sincos

（１）平方关系：（２）商数关系：（３）倒数关系： sin

2 2 cos

1

sin tantancot1 cos

tancot

1

1

2sec 2

tan

cos cotsin c sc1

sin

2csc

2

1cotcossec1

s eccsc

（4）同角三角函数的常见变形：（活用“1”） ①、

21cos

2

sin ，

2

sin1cos ；

21sin 2

cos ，

2

cos1sin ；

8

②tancot

2

cos

sin

sin

cos

2

2

sin2

22

cossin2cos2

，cottan2cot2

sincossin2

2

③(sincos)12sincos1sin2

，1sin2|sincos| 5、诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）

公式一：sin(k360)sin cos(k360)cos tan(k360)tan

公式二：公式三：公式四：公式五：

sin(180)sinsin(180)sinsin()sinsin(360)sin

cos(180)coscos(180)coscos()coscos(360)cos

tan(180)tantan(180)tantan()tantan(360)tan

sin()cos

2 sin()cos

2

3

sin(

2

)cos sin

(

3

2

) cos

补充：

cos()sin

cos()sin

2

2

3

cos(

2

)sin

3

cos(

2

)sin

tan()cottan()cot

2

2

3

tan(

2

) cot

3

tan(

2

) cot

6、两角和与差的正弦、余弦、正切

S：sin()sincoscossinS()：sin()sincoscossin

()

C：cos(a)coscossinsinC()：cos(a)coscossinsin ()

T：() tan()

tan

1tan

t an

tan

T：

()

tan()

tan

1tan

t an

tan

T的整式形式为：tantantan()(1tantan)

()

例：若AB45，则(1tanA)(1tanB)2．（反之不一定成立）

8、二倍角公式：（1）、S2：sin22sincos（2）、降次公式：（多用于研究性质）

C：2

1

2sin2

cos2cossincossin2

2

122

2sin2cos

1 sin 2

1c os

2

21

2

cos2

1

2

T：2 ta2n

1

2t an

2

tan

2

cos

1c os

2

21

2

cos2

1

2

9

（3）、二倍角公式的常用变形：①、1cos22|sin|，1cos22|cos|；

11

11

②、cos2|sin|，cos2|cos|

2222

③、 sin

4 4

cos

1 2 sin 2 2 cos 1 2 sin2

2 44 ；cossincos2

；

④半角：

1cos

sin ，

22

1cos

cos ，

22

tan

2

1 1 c os cos

1 cos sin

1 s in cos

9、三角函数的图象性质

（1）、函数的周期性：①、定义：对于函数f （x ），若存在一个非零常数T ，当x 取定义域内的每一个值 时，都有：f （x+T ）=f （x ），那么函数f （x ）叫周期函数，非零常数T 叫这个函数的周期；

②、如果函数f （x ）的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小的正数叫f （x ）的最小正周期。 （2）、函数的奇偶性：①、定义：对于函数f （x ）的定义域内的任意一个x ，

都有：f （-x ）=-f （x ），则称f （x ）是奇函数，f （-x ）=f （x ），则称f （x ）是偶函数

②、奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称； ③、奇函数，偶函数的定义域关于原点对称； （3）、正弦、余弦、正切函数的性质（kZ ） 函数定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间 ysinxR[-1，1]T2奇函数k2k

x2,ysinxR[-1，1]T2奇函数k2k

22

2 3 2k,2k 2

ycosxR[-1，1]T2偶函数(2k1),2k2k,(2k1)

x ytan}

x{xxk （-∞,+∞）T 奇函数kk

|

,2

22

ysinx 图象的五个关键点：（0，0），（ 2

，1），（，0），（

3 2 ，-1），（2，0）；

ycosx 图象的五个关键点：（0，1），（

y 2

，0），（，-1），（

3 2

，0），（2，1）； ysinx1

3

2 2

2

x

y 2

-1

y 3

2 2

o

2

3x

2

1

ycosx

ytanx

3

10 2

2

2

x

2-1