【人教版】2017年中考数学：题型(4)反比例函数与一次函数综合题(含答案)

题型四 反比例函数与一次函数综合题 针对演练

1. 如图，一次函数y ＝kx ＋1(k ≠0)与反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象有公共点A (1，2)，

直线l ⊥x 轴于点N (3，0)，与一次函数和反比例函数的图象分别相交于点B ，C ，连接AC .

(1)求k 和m 的值；

(2)求点B 的坐标；

(3)求△ABC 的面积．

第1题图

2. 已知正比例函数y ＝2x 的图象与反比例函数y ＝k x (k ≠0)在第一象限内的图象交于

点A ，过点A 作x 轴的垂线，垂足为点P ，已知△OAP 的面积为1.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)有一点B 的横坐标为2，且在反比例函数图象上，则在x 轴上是否存在一点M ，使得MA ＋MB 最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

3. 如图，反比例函数2y x

=的图象与一次函数y ＝kx ＋b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1、－2，一次函数图象与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D .

(1)求一次函数的解析式；

(2)对于反比例函数2y x

=，当y ＜－1时，写出x 的取值范围； (3)在第三象限的反比例函数图象上是否存在一点P ，使得S △ODP ＝

2S △OCA ？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

第3题图

4. (2016巴中10分)已知，如图，一次函数y ＝kx ＋b (k 、b 为常数，

k ≠0)的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数y ＝n x (n 为常数且n ≠0)

的图象在第二象限交于点C .CD ⊥x 轴，垂足为D .若OB ＝2OA ＝3OD ＝6.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；

(2)求两函数图象的另一个交点坐标；

(3)直接写出不等式：kx ＋b ≤n x 的解集．

第4题图

5. 如图，点A (－2，n )，B(1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x 的

图象的两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围；

(3)若C 是x 轴上一动点，设t ＝CB －CA ，求t 的最大值，并求出此时点C 的坐标．

第5题图

6. 如图，直线y 1＝14x ＋1与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，与反比例函数y 2＝m x (x >0)

的图象交于点P ，过点P 作PB ⊥x 轴于点B ，且AC ＝BC .

(1)求点P 的坐标和反比例函数y 2的解析式；

(2)请直接写出y 1>y 2时，x 的取值范围；

(3)反比例函数y 2图象上是否存在点D ，使四边形BCPD 为菱形？如果存在，求出点D 的坐标；如果不存在，说明理由．

第6题图

7. 如图，直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点C(4，0)，与y 轴交于点B ，并与双曲线y ＝m x (x

＜0)交于点A (－1，n )．

(1)求直线与双曲线的解析式；

(2)连接OA ，求∠OAB 的正弦值；

(3)若点D 在x 轴的正半轴上，是否存在以点D 、C 、B 构成的三角形△OAB 相似？若存在求出D 点的坐标，若不存在，请说明理由．

第7题图

8. (2016金华8分)如图，直线y ＝33x －3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函

数y ＝k x (k ＞0)图象交于点C ，D ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数图象于点E .

(1)求点A 的坐标；

(2)若AE ＝AC .

①求k 的值；

②试判断点E 与点D 是否关于原点O 成中心对称？并说明理由．

第8题图

9. 如图，已知双曲线y ＝k x 经过点D (6，1)，点C 是双曲线第三象限上的动点，过点

C 作CA ⊥x 轴，过点

D 作DB ⊥y 轴，垂足分别为A ，B ，连接AB ，BC .

(1)求k 的值；

(2)若△BCD 的面积为12，求直线CD 的解析式；

(3)判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由．

第9题图

10. 如图，点B 为双曲线y ＝k x (x ＞0)上一点，直线AB 平行于y 轴，交直线y ＝x 于点

A ，交x 轴于点D ，双曲线y ＝k x 与直线y ＝x 交于点C ，若O

B 2－AB 2＝4.

(1)求k 的值；

(2)点B 的横坐标为4时，求△ABC 的面积；

(3)双曲线上是否存在点P ，使△APC ∽△AOD ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

第10题图

【答案】

1．解：(1)∵点A (1，2)是一次函数y ＝kx ＋1与反比例函数y ＝m x 的公共点，

∴k ＋1＝2，1

m ＝2，∴k ＝1，m ＝2； (2)∵直线l ⊥x 轴于点N (3，0)，且与一次函数的图象交于点B ，

∴点B 的横坐标为3，

将x ＝3代入y ＝x ＋1，得y ＝3＋1＝4，

∴点B 的坐标为(3，4)；

(3)如解图，过点A 作AD ⊥直线l ，垂足为点D ，

由题意得，点C 的横坐标为3，

∵点C 在反比例函数图象上，

∴y ＝2x

＝23， ∴C 点坐标为(3，23)， ∴BC ＝BN －CN ＝4－23＝103，

又∵AD ＝3－1＝2，

∴S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×103×2＝103.

第1题解图

2．解：(1)设A 点的坐标为(x ，y )，则OP ＝x ，P A ＝y ，

∵△OAP 的面积为1，

∴12xy ＝1，

∴xy ＝2，即k ＝2， ∴反比例函数的解析式为2y x

=； (2)存在，如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接A ′B ，交x 轴于点M ，此时MA ＋MB 最小，

∵点B 的横坐标为2，

∴点B 的纵坐标为y ＝22＝1，

即点B 的坐标为（2,1）.

又∵两个函数图象在第一象限交于A 点， ∴22x x

=， 解得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)．

∴y＝2，

∴点A的坐标为(1，2)，

∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，

设直线A′B的解析式为y＝kx＋b，代入A′(1，－2)，B(2，1)得，∴直线A′B的解析式为y＝3x－5，

令y＝0，得x＝5

3

，

∴直线y＝3x－5与x轴的交点为(5

3

，0)，

即点M的坐标为(5

3

，0)．

第2题解图

3．解：(1)∵反比例函数y＝2

x

图象上的点A、B的横坐标

分别为1、－2，

∴点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(－2，－1)，

∵点A(1，2)、B(－2，－1)在一次函数y＝kx＋b的图象上，

∴

21

,

211

k b k

k b b

+==

??

??

-+=-=

??

解得，

∴一次函数的解析式为y＝x＋1；

(2)由图象知，对于反比例函数

2

y

x

=，当y＜－1时，x的取值范围是－2＜x＜0；

(3)存在．

对于y＝x＋1，当y＝0时，x＝－1，当x＝0时，y＝1，∴点D的坐标为(－1，0)，点C的坐标为(0，1)，

设点P(m，n)，

∵S △ODP ＝2S △OCA ，

∴12×1×(－n )＝2×12×1×1，

∴n ＝－2，

∵点P (m ，－2)在反比例函数图象上，

∴－2＝ 2m

， ∴m ＝－1，

∴点P 的坐标为(－1，－2)．

4．解：(1)∵OB ＝2OA ＝3OD ＝6，

∴OA ＝3，OD ＝2.

∴A (3，0)，B (0，6)，D (－2，0)．

将点A (3，0)和B (0，6)代入y ＝kx ＋b 得，

∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋6. ……………………(3分)

将x ＝－2代入y ＝－2x ＋6，得y ＝－2×(－2)＋6＝10，

∴点C 的坐标为(－2，10)．

将点C (－2，10)代入y ＝n x ，得

10＝2

n -，解得n ＝－20， ∴反比例函数的解析式为20y x

=-；………………………(5分) (2)将两个函数解析式组成方程组，得26,20y x y x =-+???=-??

解得x 1＝－2，x 2＝5. ………………………………………(7分)

将x ＝5代入204,y x

=-=- ∴两函数图象的另一个交点坐标是(5，－4)； …………… (8分)

(3)－2≤x ＜0或x ≥5. …………………………………… (10分)

【解法提示】不等式kx ＋b ≤n x 的解集，即是直线位于双曲线下方的部分所对应

的自变量x 的取值范围，也就是－2≤x ＜0或x ≥5.

5．解：(1)∵点A (－2，n )，B (1，－2)是一次函数y ＝kx ＋b 的图象和反比例函数y ＝m x 的图象的两个交点，

∴m ＝－2， ∴反比例函数解析式为2y x

=-，

∴n ＝1，

∴点A (－2，1)，

将点A (－2，1)，B (1，－2)代入y ＝kx ＋b ，得

∴一次函数的解析式为y ＝－x －1；

(2)结合图象知：当－2＜x ＜0或x ＞1时，一次函数的值小于反比例函数的值；

(3)如解图，作点A 关于x 轴的对称点A ′，连接BA ′延长交x 轴于点C ，则点C 即为所求，

∵A (－2，1)，

∴A ′(－2，－1)，

设直线A ′B 的解析式为y ＝mx ＋n ，

∴y ＝－13x －53，

令y ＝0，得x ＝－5，

则C 点坐标为(－5，0)，

∴t 的最大值为A ′B ＝（－2－1）2＋（－1＋2）2＝10.

第5题解图

6．解：(1)∵一次函数y 1＝14x ＋1的图象与x 轴交于点A ，与

y 轴交于点C ，

∴A (－4，0)，C (0，1)，

又∵AC ＝BC ，CO ⊥AB ，

∴O 为AB 的中点，即OA ＝OB ＝4，且BP ＝2OC ＝2，

∴点P 的坐标为(4，2)，

将点P (4，2)代入y 2＝m x ，得m ＝8，

∴反比例函数的解析式为y 2＝8x

； (2)x >4；

【解法提示】由图象可知，当y 1＞y 2时，即是直线位于双曲线上方的部分，所对应的自变量x 的取值范围是x ＞4.

(3)存在．假设存在这样的D 点，使四边形BCPD 为菱形，如解图，连接DC 与PB 交于点E ，

∵四边形BCPD 为菱形，

∴CE ＝DE ＝4，

∴CD ＝8，

∴D 点的坐标为(8，1)，

将D (8，1)代入反比例函数8y x

，D 点坐标满足函数关系式，

即反比例函数图象上存在点D ，使四边形BCPD 为菱形，此时

D 点坐标为(8，1)．

第6题解图

7．解：(1)∵直线y ＝x ＋b 与x 轴交于点C (4，0)，

∴把点C (4，0)代入y ＝x ＋b ，得b ＝－4，

∴直线的解析式为y ＝x －4，

∵直线也过A 点，

∴把点A (－1，n )代入y ＝x －4，得n ＝－5，

∴A (－1，－5)，

将A (－1，－5)代入y ＝m x (x ＜0)，得m ＝5， ∴双曲线的解析式为5y x

； (2)如解图，过点O 作OM ⊥AC 于点M ，

∵点B 是直线y ＝x －4与y 轴的交点，

∴令x ＝0，得y ＝－4，

∴点B (0，－4)，∴OC ＝OB ＝4，

∴△OCB 是等腰直角三角形，

∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°，

∴在△OMB 中，sin45°＝OM OB ＝4

OM ，∴OM ＝22， ∵AO ＝12＋52＝26，

∴在△AOM 中，sin ∠OAB ＝OM OA ＝2226

＝21313； 第7题解图

(3)存在．

如解图，过点A 作AN ⊥y 轴于点N ，则AN ＝1，BN ＝1，

∴AB ＝12＋12＝2，

∵OB ＝OC ＝4，

∴BC ＝42＋42＝42，

又∵∠OBC ＝∠OCB ＝45°，

∴∠OBA ＝∠BCD ＝135°，

∴△OBA ∽△BCD 或△OBA ∽△DCB ，

∴OB BC ＝BA CD 或OB DC ＝BA BC ，

即4

42＝CD 或4DC ＝242， ∴CD ＝2或CD ＝16，

∵点C (4，0)，

∴点D 的坐标是(6，0)或(20，0)．

8．解：(1)当y ＝0时，得0＝33x －3，解得x ＝3.

∴点A 的坐标为(3，0)； ……………………………………(2分)

(2)①如解图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F .

设AE ＝AC ＝t , 点E 的坐标是(3，t ).

在Rt △AOB 中， tan ∠OAB ＝OB OA ＝33，

∴∠OAB ＝30°.

在Rt △ACF 中，∠CAF ＝30°，

∴CF ＝12t ，AF ＝AC ·cos30°＝32t ，

∴点C 的坐标是(3＋32t ，12t )．

∵点C 、E 在y ＝k x 的图象上，

∴(3＋32t )×12t ＝3t ，

解得t 1＝0(舍去)，t 2＝23，

∴k ＝3t ＝63； …………………………………………… (5分)

②点E 与点D 关于原点O 成中心对称，理由如下：

由①知，点E 的坐标为(3，23)，

设点D 的坐标是(x ，33x －3)，

∴x (33x －3)＝63，解得x 1＝6(舍去)，x 2＝－3，

∴点D 的坐标是(－3，－23)，

∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．…………………(8分)

第8题解图

9．解：(1)∵双曲线y ＝k x 经过点D (6，1)，

∴6

k ＝1，解得k ＝6； (2)设点C 到BD 的距离为h ，

∵点D 的坐标为(6，1)，DB ⊥y 轴，

∴BD ＝6，

∴S △BCD ＝12×6×h ＝12，

解得h ＝4，

∵点C是双曲线第三象限上的动点，点D的纵坐标为1，∴点C的纵坐标为1－4＝－3，

∴6

x

＝－3，解得x＝－2，

∴点C的坐标为(－2，－3)，

设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则

∴直线CD的解析式为y＝1

2x－2；

(3)AB∥CD.理由如下：

∵CA⊥x轴，DB⊥y轴，点D的坐标为(6，1)，

设点C的坐标为(c，6 c)，

∴点A、B的坐标分别为A(c，0)，B(0，1)，设直线AB的解析式为y＝mx＋n，则

∴直线AB的解析式为y＝－1

x

c

＋1，

设直线CD的解析式为y＝ex＋f，则

∴直线CD的解析式为y＝－1

x

c

＋

6

c

c

+

，

∵AB、CD的解析式中k都等于

1

c -，

∴AB与CD的位置关系是AB∥CD.

10．解：(1)设D点坐标为(a，0)，

∵AB∥y轴，点A在直线y＝x上，B为双曲线y＝k

x(x＞0)上一点，

∴A点坐标为(a，a)，B点坐标为(a，k

a)，

∴AB ＝a －k a ，BD ＝k a ，

在Rt △OBD 中，OB 2＝BD 2＋OD 2

＝(k a )2＋a 2， ∵OB 2－AB 2＝4，

∴(k a )2＋a 2－(a －k a )2＝4，

∴k ＝2；

(2)如解图，过点C 作CM ⊥AB 于点M ，

∴C 点坐标为(2，2)，

∵点B 的横坐标为4，

∴A 点坐标为(4，4)，B 点坐标为(4，12

)， ∴AB ＝4－12＝72

，CM ＝4－2， ∴S △ABC ＝12

CM ·AB ＝12

×(4－2)×72 ＝7－72

4；

第10题解图

(3)不存在，理由如下：

若△APC ∽△AOD ，

∵△AOD 为等腰直角三角形，

∴△APC 为等腰直角三角形，∠ACP ＝90°，

∴CM ＝12

AP ， 设P 点坐标为(a ，2a

)，则A 点坐标为(a ，a )， ∴AP ＝|a －2a

|， ∵C 点坐标为(2，

2)， ∴CM ＝|a －2|，

∴|a －2|＝12

|a －2a |， ∴(a －2)2＝14×22

2(2)a a -，

即(a －2)2＝14×22

2((a a a +?-， ∴4a 2－(a ＋2)2＝0，解得a ＝2或a ＝－2

3(舍去)，

∴P 点坐标为(2，2)，则此时点C 与点P 重合，所以不能构成三角形，故不存在．