高中数学必修三《线性回归》练习题

线性回归练习题

1．（2015 ·张掖高一检测）有几组变量：

①汽车的重量和汽车每消耗 1 升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；

③立方体的棱长和体积．其中两个变量成正相关的是（）

A ．①③

B ．②③

C．② D ．③

解析：选 C.①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系． 2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（）

A ．都可以分析出两个变量的关系

B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系

C．都可以作出散点图

D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系

解析：选 C.由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系， A 错；不具有线性相关的

两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系， B， D 错．

3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程^y＝^a＋^bx 中，回归系数^b（）

A ．不能小于 0

B ．不能大于 0

C．不能等于 0 D ．只能小于 0

解析：选 C.当b^＝0时， r＝0，这时不具有线性相关关系，但^b能大于 0，也能小于0.

4．（2013 ·高考湖北卷）四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y 之间的

相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：（）

① y与x负相关且^y＝2.347x－6.423；② y与x负相关且^y＝－ 3.476x＋ 5.648；③ y与x正相关

且^y＝5.437x＋8.493；④ y与x正相关且^y＝－4.326x－4.578. 其中一定不正确的结论的序号是（）

A ．①②

B ．②③

C．③④ D ．①④

解析：选 D.由正负相关性的定义知①④一定不正确．

5．设某大学的女生体重 y（单位： kg）与身高 x（单位： cm）具有线性相关关系，

根据一组样本数据（x i，y i）（i＝1，2，?，n），用最小二乘法建立的回归方程为^y

＝0.85x－ 85.71，则下列结论中不正确的是（）

A．y与 x具有正的线性相关关系

B ．回归直线过样本点的中心（－x ，－y ）

C．若该大学某女生身高增加 1 cm，则其体重约增加 0.85 kg

D．若该大学某女生身高为 170 cm，则可断定其体重必为 58.79 kg 解析：选 D.当x＝170时，^y＝0.85×170－85.71＝58.79，体重的估计值为 58.79 kg，故 D 不正确．6．已知一个回归直线方程为^y＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19} ，则 y ＝．

1

解析：因为 x ＝（1＋ 7＋5＋13＋ 19）＝9，

5

且回归直线过样本中心点（x， y），

所以 y ＝ 1.5 ×9＋45＝58.5.

答案： 58.5

7．对具有线性相关关系的变量 x 和 y，测得一组数据如下表，若已求得它们回归直线的斜率

为 6.5 ，则这条回归直线的方程为_ .

解析：设回归直线方程为^y＝^b x＋^a，则^b＝ 6.5 ，易知 y ＝ 50， x ＝ 5，所以^a＝y －b^x ＝50 － 32.5＝17.5，即回归直线方程为^y＝ 6.5x＋17.5.

答案：^y＝ 6.5x＋ 17.5

8．对某台机器购置后的运营年限x（x＝1，2，3，?）与当年利润 y 的统计分析知具备线性相关

关系，线性回归方程为^y＝10.47－ 1.3x，估计该台机器使用年最合算．

解析：只要预计利润不为负数，使用该机器就算合算，即^y≥0，所以 10.47－

1.3x≥0，解得 x≤ 8.05，所以该台机器使用 8 年最合算．

答案： 8 9．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

（1）求回归直线方程^

y＝

^b

x＋

^

a，其中

^b＝－ 20，^a＝－y －^b－

x；

（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是 4 元/件，为使

工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润＝销售收入－成本）

解：（1）由于－x ＝16（8＋ 8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9）＝8.5，

－1

y ＝6（90＋84＋ 83＋80＋75＋ 68）＝80.

所以^a＝－y －^b－x＝ 80＋ 20×8.5＝ 250，

从而回归直线方程为^y＝－ 20x＋250.

（2）设工厂获得的利润为 L 元，依题意得

L＝ x（－ 20x＋250）－ 4（－20x＋ 250）

＝－ 20x2＋330x－ 1 000 33 2

＝－ 20（x－4）2＋ 361.25.

当且仅当 x＝8.25 时，L 取得最大值．

故当单价定为 8.25 元时，工厂可获得最大利润．

10．（2013 ·高考重庆卷）从某居民区随机抽取 10个家庭，获得第 i 个家庭的月收入 x i（单位：千

10

元）与月储蓄 y i（单位：千元）的数据资料，算得y i=80，

i＝1

10 10 10

2

y i =20, x i y i=184 ， x i =720.

i＝ 1 i＝ 1 i＝1

（1）求家庭的月储蓄 y 对月收入 x的线性回归方程 y＝bx＋ a；

（ 2）判断变量 x与 y 之间是正相关还是负相关；

（3）若该居民区某家庭月收入为 7 千元，预测该家庭的月储蓄 .

n --

x i y i -nxy

附：线性回归方程 y＝bx＋a 中， b=i＝1a= －y －b－x ，其中为－x ,－y样本的平均值，线

n

2 -2

x i- nx i＝1

性回归方程也可写为^y=b^x+a^

－1 n 80

解：（ 1）由题意知 n=10, －x =1 x i＝80＝8,

n i＝1i 10

n

2

-2 2

又x i2- n x2=720-10 ×82=80,

i＝1

n --

x i y i -nxy＝184－10×8×2＝ 24，

i＝1

24 - -

由此得 b＝＝0.3，a＝y,－bx,＝2－0.3 ×8＝－ 0.4，

80

故所求线性回归方程为 y＝0.3x－ 0.4.

（2）由于变量 y的值随 x值的增加而增加（b＝0.3>0），故 x与 y之间是正相关．（3）将 x＝7 代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3 ×7－0.4＝1.7（千元）．

[B. 能力提升 ]

1．回归直线方程的系数 ^

a ， ^

b 是最小二乘法估计中使函数 Q （^

a ，

b ^

）取得最小函数

值时所满足的 条件，其中 Q （^a ， ^b ）的表达式是 （ ）

n

^^2

A. （y i － a － bx i ）2

）

i ＝1 解析：选 A.用最小二乘法确定两变量之间的线性回归方程的思想， 即求a ^，^b 使 n 个样本点（x i ，

y i ）（i ＝ 1，2，? ，n ）与直线 y ＝^a+b ^x 的“距离 ”的平方和最小， 即使得 Q

（^

a ，^

b ）=（ y 1－ ^

a －

b ^

x 1） 2

+（ y 2 n

2 2 2

－ ^a － ^

b

x2）2

+? +（yn

－^a －^

b

xn ）2=

（yi

－ ^a －b ^xi ）2

）达到最小，故选 A.

i ＝1

2．对于两个变量的散点图：①若所有点都落在某一函数曲线上，则变量之间具有函数关系； ②若所有点都落在某一曲线附近，则变量之间具有相关关系；③若所有点都落在某一直线附 近， 则变量之间具有线性相关关系； ④若所有点都杂乱无章， 则变量之间不具有相关关系． 其 中正确的是 （ ） A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④ 解析：选 D.①②③④四个说法全部正确．

3．（2015 江·西重点中学盟校联考 ）某车间为了规定工时定额， 需要确定加工零件所花费的时间，

为此进行了 5 次试验．根据收集到的数据 （如下表 ），由最小二乘法求得回归方程 ^y ＝0.67x ＋ 54.9.

现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为 ___

解析：由已知可计算求出 x ＝30，而回归直线方程必过点 （x ，－y ），则－y ＝ 0.67 ×30＋ 54.9＝ 75， 设模糊数字为

a ，则a ＋62＋75

5＋81＋89

＝75， 5

计算得 a ＝ 68. 答案： 68

4．近年来，我国高等教育事业有了迅速发展，为了解某省从 2000 年到 2014 年 18岁

到 24 岁

的青年人每年考入大学的人数，我们把农村、县镇和城市分别标记为一组、二组、三组分开 统计．为了便于计算，把 2000 年编号为 1，2001年编号为 2，?，2014 年编号为 15，如果把

B. n ^ ^ 2 |y i

－a － bx i

|2）

^^2 C. （y i － a D.

^^

|y i －a －

年份从 1到 15 作为自变量进行回归分析，可得三个回归方程：农村：^y＝ 0.42x＋1.80；县镇：

^y＝2.32x＋ 6.72；城市：^y＝ 2.84x＋ 9.50（y 的单位是万）．则下列说法中正确的是_________________________________________________________________ ．（把

你认为正确说法的序号填上）

①三个组的两个变量都是正相关关系；②对于县镇组而言，每年考入大学的人数约是上一年

的 2.32 倍；③在这一阶段，城市组的大学入学人数增长最快；④ 0.42 表示农村青年考入大学 的人数以每年约 4 200 人递增．

解析：①由于三个组的线性回归方程中 x 的系数均为正数， 故三个组的两个变量都是正相关关

系，故①正确；②中县镇组的线性回归直线方程 ^

y ＝2.32x ＋6.72 的意义是县镇考入大学的人数

每年大约比上一年增加 23 200 人，故②不正确，由此可推知④正确；由于三个组的线性回归 方程中，城市组所对应的方程的 x 的系数最大，表示城市组入学人数增加得最快，故③正确． 答案：①③④

88

(2)可求得 x ＝37，y ＝7，

x i 2=11 920， x i y i ＝2 257. i ＝ 1 i ＝1

设线性回归方程为 ^y ＝ a ^

＋ ^

b x ，

2 257－ 8×37 ×7 185

2 ＝ ≈ 11 920－ 8×372 968 ^a ＝－y －b ^－x ＝ 7－ 0.19 ×37＝－ 0.03. 所以线性回归方程为 ^y ＝ 0.19x －0.03.

6．(选做题 )在某种产品表面进行腐蚀性实验， 得到腐蚀深度与腐蚀时间之间对应的一组数据：

0.19，

8

-- x i y i -8xy

则^b ＝

i ＝