20174东城二模数学理科附答案

北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）

数学（理科）

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合2

{|40}A x x

，则

A R

（A ）{|2x x 或2}x （B ）{|2x x 或2}x （C ）{|2

2}x x （D ）{|2

2}x x

（2）下列函数中为奇函数的是

（A ）cos y x x =+ （B ）sin y x x =+ （C ）y

x （D ）||e x y -=

（3）若,x y 满足10,

00,

x y x

y y

，则2x y 的最大值为

（A ）1 （B ）0 （C ）

1

2

（D ）2 （4）设,a b 是非零向量，则“,a b 共线”是“||||||a b a b ”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（5）已知等比数列{}n a 为递增数列，n S 是其前n 项和.若15

17

2

a a ，244a a ，则6=S

（A）27

16（B）27

8

（C）63

4

（D）63

2

否

1 v v x

1 i i

输出v 1

i n

0 i

数学家秦九韶（约1202

中提出了多项式求值的秦九韶算如图所示的框图给出了利用

秦九韶算法求多项式的

一个实例．若输入

的

v ，

2

x，则

程序框图计算的

是

（A）

5432

222221

（B）

5432

222225

（C）65432

2222221（D）432

22221

A

P P

A

P

（7）动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，,A P两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是

（A）（B）（C）（D）

B

D

（8）据统计某超市两种蔬菜,A B 连续n 天价格分别为123,,,

,n a a a a 和123,,,,n b b b b ，

令{|,1,2,,}m m M m a b m n =<=，若M 中元素个数大于3

4

n ，则称蔬菜A 在这n 天的价格低于蔬菜B 的

价格，记作：A B ，现有三种蔬菜,,A B C ，下列说法正确的是

（A ）若A B ，B C ，则A C

（B ）若A B ，B C 同时不成立，则A C 不成立

（C ）A B ，B A 可同时不成立 （D ）A

B ，B

A 可同时成立

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）复数i(2i)在复平面内所对应的点的坐标为 ． （10）在极坐标系中，直线

cos 3sin 10与圆2cos (0)a a 相切，

则a

_______．

（11）某校开设A 类选修课4门，B 类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门．若要求至少选一门

B 类课程，则不同的选法共有____种.（用数字作答）

（12）如图，在四边形ABCD 中，45ABD ∠=，30ADB ∠=，1BC =，2DC =，

1

cos 4BCD ∠

=，

则BD ；三角形ABD 的面积为___________.

（13）在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线2

4y

x 的焦点F ，且与该抛物线相交于,A B 两点，其中点A 在

x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60，则||OA ．

（14）已知函数|1|,(0,2],()min{|1|,|3|},(2,4],min{|3|,|5|},(4,).x x f x x x x x x x -∈??

=--∈??--∈+∞?

① 若()f x a =有且只有一个根，则实数a 的取值范围是_______．

② 若关于x 的方程()()f x T f x +=有且仅有3个不同的实根，则实数T 的取值范围是_______．

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

已知函数()2cos 2f x x a x =+?(a

R )．

（Ⅰ）若π

()

26

f ，求a 的值；

（Ⅱ）若在7[

,]1212

ππ

上单调递减，求的最大值．

()f x ()f x

（16）（本小题共13分）

小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园．根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%—60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示．小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天.

（Ⅰ）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；

（Ⅱ）设是小明游览期间遇上舒适的天数，求的分布列和数学期望；

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）

X X

C

B

A

（17）（本小题共14分）

如图，在几何体中，平面ADE

平面ABCD ，四边形为菱形，且，

2EA ED AB EF ，∥，M 为BC 中点．

（Ⅰ）求证：FM ∥平面BDE ；

（Ⅱ）求直线CF 与平面BDE 所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱CF 上是否存在点G ，使BG DE ？ 若存在，求

CG

CF

的值；若不存在，说明理由．

（18）（本小题共13分）

设函数2

()()e ()x

f x x ax a a R -=+-?∈．

ABCDEF ABCD 60DAB ∠=EF AB

（Ⅰ）当0a 时，求曲线()y f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；

（Ⅱ）设2()

1g x x x ，若对任意的[0,2]t ，存在[0,2]s 使得()

()f s g t 成立，求a 的取值范围．

（19）（本小题共13分）

已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

的短轴长为(1,0)F ，点M 是椭圆C 上异于左、右

顶点,A B 的一点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线AM 与直线2x

交于点N ，线段BN 的中点为E ．证明：点B 关于直线EF 的对称点在直线

MF 上．

（20）（本小题共13分）

对于n 维向量12(,,,)n A

a a a ，若对任意{1,2,

,}i n 均有0i a 或1i

a ，则称A 为n 维T 向量.对

于两个n 维T 向量,A B ，定义1

(,)

||n i i i d A B a b .

（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A ，(0,1,1,1,0)B ，求(,)d A B 的值.

（Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：，若1

(1,1,1,1,1)A 且满足：1(,)2i i d A A ，*i N .求证：

该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0). 123,,,

A A A

（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：，若1

12(1,1,

,1)A 个

且满足：1(,)i i d A A m ，*m N ，

1,2,3,

i ，若存在正整数j 使得12(0,0,

,0)j

A 个

，j A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m .

123,,,

A A A

东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（二）

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）A （2）B （3）C （4）B （5）D （6）A （7）C （8）C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）(1,2) （10）1 （11）14 （12）2

1 （13

（14）(1,)+∞ (4,2)(2,4)--

三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：

（Ⅰ）因为()2cos 2=2666

f a π

ππ

=?

+??， ………3分 所以

31

222

a ． ………5分

所以1a ． ………6分

（Ⅱ）由题意

，其中．………8分 所以，且

， ………9分 所以当时，． 所以． ………10分

(22)f x x x +

)x ?=

+tan ?=

T =π712122

πππ

-=12x π=

max ()sin()126

y f ?ππ==+=

+23

k k ?π

π(∈)Z

所以

． ………11分 所以π

()23sin(2)3

f x x

． ………12分 所以()f x 的最大值为 ……………………13分

（16）（共13分）

解：设表示事件“小明8月11日起第日连续两天游览主题公园”（1,2,

,9i ）.

根据题意，1

()

9

i P A ，且. …………1分

（Ⅰ）设为事件“小明连续两天都遇上拥挤”，

则47B

A A . …………2分

所以47472

()

()()()

9

P B P A A P A P A . …………5分 （Ⅱ）由题意，可知的所有可能取值为， …………6分

4784781

(0)()()()()

3

P X

P A A A P A P A P A ，…………7分 356935694(1)

()()()()()

9

P X P A A A A P A P A P A P A ， …………8分

12122

(2)

()()()

9

P X P A A P A P A ． …………9分 所以的分布列为

tan ?=

3a =i A i ()i j

A A i j

B X 0,1,2X

C

故的期望1428

123999

EX ．…………………11分 （Ⅲ）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大．…………13分 （17）（共14分）

解：（Ⅰ）取 中点，连结．

因为分别为中点， 所以∥． 又BD ?平面

且平面，

所以∥平面， 因为∥，， 所以∥，．

所以四边形EFND 为平行四边形． 所以∥． 又ED ?平面且平面，

所以∥平面， ………2分 又，

所以平面∥平面． ………3分 又FM

平面，

所以∥平面． …………4分

X CD N ,MN FN ,N M ,CD BC MN BD BDE MN BDE MN BDE EF AB 2AB EF EF CD EF

DN FN ED BDE FN

BDE FN BDE FN

MN N MFN BDE MFN FM BDE

C

（Ⅱ）取中点O ，连结EO ，

因为，所以EO 因为平面ADE 平面ABCD 所以EO 平面ABCD ，EO

，

因

为

，

所以△为等边三角形． 因为O 为中点， 所以AD BO ．

因为,,EO BO AO 两两垂直，设4AB =，以O 为原点，,,OA OB OE 为,,x y z 轴，如图建立空间直角坐标系．

…………6分

由题意得，(2,0,0)A ，(0,B

，(4,23,0)C ，(2,0,0)D ，

(0,0,E ，(1,3,23)F ． ………7分 (3,

3,23)CF

，(2,0,23)DE

，(0,23,23)BE

．

设平面BDE 的法向量为，

则

0,0,

BE DE

n n 即

0,30.

y z x

z

令，则1y ，3x ．

所以(3,1,1)n

． ………9分

设直线与平面BDE 成角为，

10

sin |cos ,|

αCF n AD EA

ED AD AB 60DAB =ADB AD O xyz -(,,)x y z =n 1z =CF α

所以直线与平面

． ……………………10分 （Ⅲ）设G 是上一点，且CG CF λ=，． ……………11分

因此点(34,)G λ-+． ……………12分

(34,,)BG λ=-．

由0BG DE

，解得49

λ

． 所以在棱上存在点G 使得BG DE ，此时

4

9

CG

CF ．………14分

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）当时，因为，

所以， …………1分

． …………2分

又因为， …………3分 所以曲线在点处的切线方程为

，即． ……………………4分

（Ⅱ）“对任意的，存在使得成立”等价于“在区间上，的最大

值大于或等于的最大值”． …………………5分 因为22

15()

1()24

g x x x x

， 所以在上的最大值为(2)1g =． 2'()

(2)e

()e x

x f x x a x ax a

CF ADE CF [0,1]λ∈CF 0a =2()

e x

f x x 2'()

(2)e x f x x x '(1)3e f (1)e f ()y

f x (1,(1))f e 3e(1)y x 3e 2e 0x y [0,2]t

[0,2]s ()

()f s g t [0,2]()f x ()g x ()g x [0,2]2e [(2)2]x x a x a

令，得或． …………………7分

① 当，即时，

在上恒成立，在上为单调递增函数， 的最大值为, 由，得． ……………9分

② 当，即时，

当(0,)x a ∈-时，，为单调递减函数，

当(2)x a ∈-，时，'()0f x >，为单调递增函数． 所以的最大值为或, 由，得；由，得．

又因为，所以． ……………11分

③ 当，即时，

在上恒成立，在上为单调递减函数， 的最大值为，

由，得，

又因为，所以．

综上所述，实数的值范围是或．……………………13分

（19）（共14分）

e (2)()x x x a '()0

f x 2x x a 0a

0a '()0f x [0,2])(x f [0,2]()f x 2

1(2)(4)

e f a 2

1(4)1e a 2e 4a 0

2a 20a '()

0f x ()f x ()f x ()f x (0)

f a 21

(2)(4)

e

f a 1a 1a 2

1(4)

1e a 2e 4a 20a 21a

2a

2a

'()0f x [0,2]()f x [0,2]()f x (0)

f a 1a

1a 2a 2a

a 1a 2e 4a

解：（Ⅰ）由题意得 解得． ……………4分

所以椭圆的方程为． ………………5分 （Ⅱ）“点关于直线的对称点在直线上”等价于“平分”．

……………6分

设直线的方程为，则．……7分

设点，由得，

得

……9分 ① 当轴时，，此时

． 所以． 此时，点在的角平分线所在的直线或，

即平分． ……10分

② 当时，直线的斜率为，

所以直线的方程为2

4(41)40kx k y k

． ……11分

所以点到直线的距离

2216d

k 22(4k

2221,.b c a b c ?=?

=??=+?

2a =C 22

143

x y +=B EF MF EF MFB AM (2)(0)y

k x k (2,4),(2,2)N k E k 00(,)M x y 2

2

(2),1,

4

3

y

k x x y 2

2

22(34)1616120k x

k x k 202

2

86

,3412.34k x k k

y k

MF

x 01x 12

k

3

(1,

),(2,2),(2,1)2

M N E E BFM 1y

x 1y

x EF MFB 1

2

k

MF 020

4114MF y k

k x k

MF E MF

22|2(41)|

|41|

k k k |2|||k BE ．

即点B 关于直线EF 的对称点在直线MF 上． …………………14分

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）由于(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，由定义1

(,)||n i i i d A B a b ，

可得(,)

4d A B . …………………………4分

（Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维向量序列，

使得1

(1,1,1,1,1)A ，(0,0,0,0,0)m

A .

因为向量1

(1,1,1,1,1)A 的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，

不妨设1A 的第(1,2,3,4,5)i i 个分量1变化了21i n 次之后变成0， 所以将1A 中所有分量1 变为0 共需要

12345(21)(21)(21)(21)(21)n n n n n 123452(2)1n n n n n 次，此数为奇数.

又因为*1(,)

2,i i d A A i

N ，说明中的分量有个数值发生改变，

进而变化到，所以共需要改变数值次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0). ……………9分 （Ⅲ）此时. ……………13分

易见当为12的因子时，给 (1分). 答出给(1分).

T 123,,,

,m A A A A i A 21i A +2(1)m -1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m =m 1,2,3,4,6,125,8,10m =

答出中任一个给(1分)，都对给(2分) m

7,9,11