人教版高中数学必修2、选修2-1知识点

必修 2知识点

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征 1.2空间几何体的三视图和直观图

1 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 2直观图：斜二测画法. 步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变；（3）.画法要写好。 1.3 空间几何体的表面积与体积（一）空间几何体的表面积

1 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和

2 圆柱的表面积

3 圆锥的表面积2

r rl S ππ+= 4 圆台的表面积2

R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2

4R S π= （二）空间几何体的体积

1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31

3台体的体积 h S S S S V ?++

=)3

下下

上上（ 4球体的体积 33

R V π=

第二章直线与平面的位置关系

2.1

（1符号表示为 A ∈L

B ∈

L => L α A ∈α B ∈α

公理（2符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α

，使A ∈α、B ∈α、C ∈α。异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 3 4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， ]；

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

L A

C · B

A · α

2π222r rl S ππ+=

2.1.3 —2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α

符号表示：

a β

b β

a∩b = P β∥α

a∥α

b∥α

（1）用定义；（2）判定定理；（3

线面平行则线线平行。

a β a∥b

α∩β= b

、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

梭 l β

位线定理、平行四边形的性质定理、梯形中位线定理、平行线分线段成比例定理的推论。.

直线与直线平行???→←???判定性质

直线与平面平行???→←???

判定

性质

平面与平面平 2.证明线面垂直、面面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法有：等腰三角形三线合一的性质、勾股定理的逆定理等.

直线与直线垂直???→

←???判定性质直线与平面垂直???→←???判定

性质

平面与平面垂直第三章直线与方程

（1）直线的倾斜角

定义：x 轴正向与直线向上方向或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率

①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。即当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.

注意：一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在.

当[)

90,0∈α时，0≥k ；当()

180,90∈α时，0

90=α时，k 不存在。

②过两点P 1 (x 1,y 1), P 2 (x 2,y 2),x 1≠x 2的直线斜率公式：)(211

2x x x x y y k ≠--=

注意：当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

（5）两条直线的交点

0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交交点坐标即方程组??

?=++=++0

222111C y B x A C y B x A 的一组解。方程组无解21//l l ? ；方程组有无数解?1l 与2l 重合

（6

设1122(,),A x y B x y ，（）

（7点()00,y x P 到直线:1l

（8两平行线为1l ：0

1=++C By Ax ，2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 注意点：x ，y 对应项系数应相等。

（9）平行直线与垂直直线设法：

1、圆定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆半径。

2（1

r 。

点M 222

（2当D ?

? ?

?--2,2E D ，半径为F E D r 42

122-+= 当042

=-+F E D 时，表示一个点；

当042

2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。（3）求圆方程的方法：

一般都采用待定系数法：先设后求。

需三个独立条件，若用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若用一般方程，需要求出D ，E ，F ；另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系(用圆心到直线的距离来判断)：

直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l

0d r >???<

相离； 0d r =???=相切； 0d r 相交还可利用直线方程与圆的方程联立方程组22

Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=??

?求解，通过解的个数来判断。

注:(1)过圆外一点的切线：①k ②k k ，得方程

(x-a)2+(y-b)2=r 2004，与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。

设圆()()2

21211:r b y a x C =-+-，()()222222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条；

当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，公切线三条；

当r R d r R +<<-时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条公切线；当0=d 时，为同心圆。

判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线；圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点。 5、中点坐标公式

6、两圆相交则连心线垂直平分相交弦

7、线圆相交，计算弦长，常用勾股定理：弦长一半、半径、弦心距。

8、光线反射问题：入射点的“像”在反射光线的反向延长线上，反射点的“像”在入反射光线的反向延长线上

4.3.1空间直角坐标系

1、点M 对应有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、y 、z 轴上的坐标

2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。

4.3.2空间两点间的距离公式 1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),

,(2222z y x P 之间的距离公式

选修2－1

第一章：命题与逻辑结构 1、

2．真假性之间的关系：

()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

3、若

p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 4、（1）当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；有一个是假命题时，p q ∧是假命题．（2）当p 、q 有一个是真命题时，p q ∨是真命题；两个都是假命题时，p q ∨是假命题．（3）对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ?．

若p 是真命题，则p ?必是假命题；若p 是假命题，则p ?必是真命题． 5、（1）全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ?∈M ，()p x ”．

全称命题

p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?。是特称命题。

（2）特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”

，记作“x ?∈M ，()p x ”．特称命题

p ：x ?∈M ，()p x ，它的否定p ?：x ?∈M ，()p x ?。是全称命题。

第二章：圆锥曲线

1、求曲线的方程（点的轨迹方程）的步骤：建、设、限、代、化 ①建立适当的直角坐标系；②设动点(),M

x y 及其他的点；③找出满足限制条件的等式；④将点的坐标

代入等式；⑤化简方程，并验证（查漏除杂）。 2、平面内与两个定点

1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12

F F ）的点的轨迹称为椭圆。

()12222MF MF a a c +=>

3、椭圆的几何性质：

7、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．

8、过焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB，称为“通径”，即2p

AB=．

9、抛物线的几何性质：

标准方程

y px

()0

y px

()0

x py

()0

x py

()0

图形

顶点()

0,0

对称轴x轴y轴

焦点,0

准线方程

x=-

y=-

离心率1

范围0

x≥0

x≤0

y ≥0

y≤

焦半径

F x

P=+

F x

P=-+

F y

P=+

F y

P=-+

第三章：空间向量

1、空间向量的概念：

2、空间向量的加法和减法：

()1向量的加法，它遵循三角形法和平行四边形法则．()2向量的减法，它遵循三角形法则．

3、向量的数乘运算．当0

λ>时，aλ与a方向相同；当0

λ<时，aλ与a方向相反；

当0

λ=时，a

λ为零向量，记为0．a

λ的长度是a的长度的λ倍．

、λ，μ为实数，a，b是向量，则分配律：()

a b a b

λλλ

+=+；结合律：()()

a a

λμλμ

=．

5、有向线段所在直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量。零向量与任何向量都共线．

6、向量共线充要条件：对向量a，()0

b b≠，//

a b的充要条件是存在实数λ，使a bλ

=．

7、平行于同一个平面的向量称为共面向量．

8、向量共面定理：点P在平面C

AB内的充要条件是存在实数x，y，使x y C

A P=A B+A；或

对空间任一定点O，有x y C

OP=OA+AB+A；

或若四点P ，A ，B ，C 共面，则()1x y z C x y z OP =OA+OB+O ++=．

9、向量a ，b 的夹角（起点相同），记作,a b ??．两个向量夹角的取值范围是：[],0,a b π??∈． 10、a ，b 的数量积，cos ,a b a b a b ?=??．零向量与任何向量的数量积为0．

11、a b ?等于a 的长度

a 与

b 在a 的方向上的投影cos ,b a b ??的乘积．

12、若a ，b 为非零向量，e 为单位向量，则有

()1cos ,e a a e a a e ?=?=??；

()20a b a b ⊥??=；()3()

()

a b a b a b a b a b ??

?=?

-??

与同向与反向，2

a a a

?=，

a a a

=?；

()4cos ,a b a b a b

???=

；

()

5a b a b

?≤．

13运算律

()1a b b a ?=?；()2()()()a b a b a b λλλ?=?=?；()3()a b c a c b c +?=?+?．

14、空间向量基本定理：若三个向量a ，b ，c 不共面，则对空间任一向量p ，存在实数组{},,x y z ，

使得

p xa yb zc =++．

{},,a b c 称为空间的一个基底，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．

15、设()111,,a

x y z =，()222,,b x y z =，则()1()121212,,a b x x y y z z +=+++．

()2()121212,,a b x x y y z z -=---． ()3()111,,a x y z λλλλ=． ()4121212a b x x y y z z ?=++．

()5若a 、b 为非零向量，则12121200a b a b x x y y z z ⊥??=?++=． ()6若0b ≠，则121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ?=?===．

()

721a a a x =?=+

()821

cos ,a b a b a b

x ???=

+．

()9()111,,x y z A ，()222,,x y z B =，则(d x AB =

AB =

16、若空间不重合两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ，则////a b

a b ??()a b R λλ=∈， 0a b a b a b ⊥?⊥??=．

17、若直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且a α?，则////a a α

α?0a n a n ?⊥??=， //a a a n a n ααλ⊥?⊥??=．

18、若空间不重合的两个平面α，β的法向量分别为a ，b ，则////a b α

β??a b λ=， 0a b a b αβ⊥?⊥??=．

19、用向量法求线线角、线面角、面面角公式；点面距离公式。（略）