高考数学二轮总复习 基本不等式及其应用
2015届高考数学二轮总复习 基本不等式及其应用
【例3】 (1)(2013·天津高考)设a ＋b ＝2，b >0，则12|a |＋|a |b
的最小值为________． (2)(2014·湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：
米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000 v v 2＋18 ＋20l
. ①如果不限定车型，l ＝6.05，则最大车流量为______辆/小时；
②如果限定车型，l ＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．
【解析】 (1)分a >0和a <0，去掉绝对值符号，用均值不等式求解．
当a >0时，12|a |＋|a |b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋(b 4a ＋a b )≥54
； 当a <0时，12|a |＋|a |b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b ＝－14＋(b －4a ＋－a b )≥－14＋1＝34
. 综上所述，12|a |＋|a |b 的最小值是34
. (2)①F ＝76 000v ＋20×6.05v
＋18≤76 0002121＋18＝1 900， 当且仅当v ＝11时等号成立． ②F ＝76 000v ＋20×5v
＋18≤76 0002100＋18＝2 000，当且仅当v ＝10时等号成立，2 000－1 900＝100.
【答案】 (1)34
(2)①1 900 ②100 【规律方法】 利用基本不等式求函数最值应注意的问题：
(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．解题时应根据已知条件适当进行添(拆)项，创造应用基本不等式的条件．
注意：在使用基本不等式时，一般要把求最值的函数或代数式化为ax ＋b x
的形式，常用的方法是变量分离和配凑法．
[创新预测] 3．(1)(2014·洛阳统考)若正实数x ，y ，z 满足x 2＋4y 2＝z ＋3xy ，则当xy z 取最大值时，1x ＋12y －1z
的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12
【解析】 ∵z ＝x 2＋4y 2－3xy ，x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴xy z ＝xy x 2＋4y 2－3xy ＝1x y ＋4y x
－3≤1(当且仅当x ＝2y 时等号成立)，此时1x ＋12y －1z ＝1y －12y 2，令1y ＝t >0，则1x ＋12y －1z ＝t －12t 2≤12
(当且仅当t ＝1时等号成立)．故选D.
【答案】 D
(2)(2014·潍坊联考)已知不等式x ＋2x ＋1
<0的解集为{x |a
的最小值为( ) A ．4 2 B ．8 C ．9 D ．12
【解析】 易知不等式x ＋2x ＋1
<0的解集为(－2，－1)，所以a ＝－2，b ＝－1，则2m ＋n ＝1，2m ＋1n ＝(2m ＋n )(2m ＋1n )＝5＋2m n ＋2n m ≥5＋4＝9(当且仅当m ＝n ＝13时取等号)，所以2m ＋1n 的最小值为9.
【答案】 C
[总结提升] 通过本节课的学习，需掌握如下三点：
失分盲点
1．(1)不等式变形时，不等号的方向易出错．
(2)二次项的系数中含有参数时，该不等式不一定是二次不等式．
(3)同向不等式可以相加，但能否相乘是有条件的．
2．(1)不等式(组)表示的区域确定错误．
(2)线性目标函数的斜率与可行域的边界斜率大小分不清．
(3)y ＝a b x ＋z b
中截距的符号弄反，导致平移时上下方向错误．
3．利用基本不等式求最值时，一定要注意基本不等式的适用条件，否则容易出错． 答题指导
1．(1)看到不等式需要变形，想到用性质有根有据进行．
(2)看到解含参数的不等式，想到参数对求解过程的影响．
(3)看到求不等式中的参数，想到数形结合(画数轴或画函数图象)．
2．(1)看到不等式组的表示区域，想到“直线定界，特殊点定域”．
(2)看到求线性目标函数最值，想到平移目标函数等直线进行观察．
(3)看到求约束条件或目标函数中的参数，想到由目标函数的最值列方程(组)求解．
3．(1)看到和为定值，想到积是否有最值．
(2)看到积为定值，想到和是否有最值．
方法规律
一元二次不等式的解法，分离参数法解决不等式恒成立问题，利用“穿根法”求解高次不等式.