圆周角概念及性质

一、教材分析

（一）教材的地位与作用

本节课是在圆的基本概念和性质以及圆心角概念和性质的基础上，对圆周角性质的探索，圆周角性质在圆的有关说理、作图、计算中有着广泛的应用，在对圆与其他平面图形的研究中起着桥梁和纽带的作用。

（二）目标分析

1、知识目标：

(1)理解圆周角的概念。

(2)经历探索圆周角与它所对的弧的关系的过程，了解并证明圆周角定理及其推论。

(3)有机渗透“由特殊到一般”、“分类”、“化归”等数学思想方法。

2、能力目标：

引导学生从形象思维向理性思维过渡，有意识地强化学生的推理能力，培养学生的实践能力与创新能力，提高数学素养。

2、情感、态度与价值观的目标：

(1)创设生活情境激发学生对数学的好奇心、求知欲，营造“民主”“和谐”的课堂氛围，让学生在愉快的学习中不断获得成功的体验。

(2)培养学生以严谨求实的态度思考数学。

（三）教学重点、难点

教学重在过程，重在研究，而不是重在结论。因此，探索并证明圆周角与它所对的弧的关系是本课时的重点。

九年级的学生虽然已具备一定的说理能力，但逻辑推理能力仍不强，根据数学的认知规律，数学思想的学习不可能“一步到位”，应当逐步递进、螺旋上升。因此，用分类、化归思想合情推理验证“圆周角与它所对的弧的关系”是本课时的难点。（“分类”、“化归”也是九年级学生的思维难点）。

二、教法、学法分析

（一）教法分析：

《课标》指出“学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者和合作者。”本课以学生的活动为主线，以突出重点、突破难点、发展学生数学素养为目的，以“探究式教学法”为主，讲授法、发现法、分组交流合作法、启发式教学法等

多种方法相结合。注重数学与生活的联系，创设一系列有启发性、挑战性的问题情境激发学生学习的兴趣，引导学生用数学的眼光思考问题、发现规律、验证猜想。注重学生的个体差异，因材施教、分层教学。注重师生互动、生生互动，让不同层次的学生动眼、动脑、动口、动手，参与数学思维活动，充分发挥学生的主体作用。善于运用多元的评价对学生适时、有度的“激励”，帮助学生认识自我、建立自信，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，不仅“学会”，而且“会学”、“乐学”。

（二）学法分析：

在具体的问题情境下，引导学生采用动手实践、自主探究、合作交流的学习方法进行学习，充分发挥其主体的积极作用，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发挥潜能，使知识和能力得到内化，体现“主动获取，落实双基，发展能力”的原则。

（三）课前准备：

教师：直尺、圆规、三角板、若干块小磁铁等教学用具和课件。

学生：画有圆的A4纸若干张、直尺、圆规、量角器等学习用具。

三、教学过程分析

（一）情境导入

设计意图：让学生感受到生活之中的数学问题，激发学习兴趣。

（二）自我探究

1、圆周角的概念

设计意图：让学生能形象地感知圆周角，理解圆周角概念。

2、合作交流，动手操作

设计意图：学生动手画圆周角，进一步熟悉圆周角，另一方面，预先探究出圆心与圆周角的三种位置关系，将难点分散，为后面证明圆周角定理作铺垫，降低证明难度。

3、实验探究

设计意图：学生合作交流，探究并猜想同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，教师再通过电脑测量来验证，让学生进一步明确它们之间的关系。

4、证明定理

设计意图：教师引导，学生证明出圆周角定理及其推论，验证其猜想的正确性，激发学生学习数学的兴趣与成就感。

(三）应用巩固

(四)解决问题：

设计意图：学以致用，数学来源于生活，服务于生活，运用数学解决问题。（五)总结拓展

1、本节学习的数学知识是圆周角的定义和圆周角定理及其推论。

2、本节学习的数学思想是分类讨论和转化思想。

设计意图：自我总结反思自己本节课的收获，养成良好的学习习惯。

（六）作业巩固

设计意图：数学是“做”出来的，即要学又要练。运用本节课所学知识进行检测与反馈，进一步巩固、掌握所学新识

四、评价分析

本节课根据新《课标》的要求和新课程的理念“数学的学习是学生的主动性、能动性、独立性不断生成、张扬、发展、提升的过程”。通过创设富有挑战性的问题情景，营造民主和谐的课堂氛围，让学生有充分的从事数学活动的时间和空间，意在使学生经历探索，体验成功，感受数学创造的乐趣；增强学好数学的信心，形成应用意识、创新意识。

圆周角

范湖乡初级中学崔浅霞教学目标

1、理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并会运用它进行论证和计算。

2、经历圆周角定理的证明，使学生了解分类证明命题的思想和方法，体会类比、分类的教学方法。

3、通过学生主动探索圆周角定理及其推论，合作交流的学习过程，学习成长的快乐及数学的应用价值。

教学重点难点

教学重点：圆周角的概念、圆周角定理及其应用。

教学难点：圆周角定理的分类证明。

教学过程

一、情境导入

足球场上的数学：在足球比赛中，甲带球向对方球门PQ进攻,当他冲到A点时，同伴乙已经冲到B点。有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门。问哪一种射门方式进球的可能性大？(提示：仅从射门角度考虑，射门角度越大越好。)

设计意图：让学生感受到生活之中的数学问题，激发学习兴趣。

二、自我探究

1、圆周角的概念

观察图形：∠APB的顶点P从圆心O移动到圆周上（电脑动画）。

教师指出∠APB是圆周角。由圆心角顺利迁移到圆周角。

学生对比圆心角的定义，尝试给出圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角，叫圆周角。

辨析概念：判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。

思考特征：圆周角具有什么特征？

明确结论：①顶点在圆上；②两边都和圆相交。

设计意图：让学生能形象地感知圆周角，理解圆周角概念。

2、合作交流，动手操作

学生先动手画圆周角，再相互交流、比较，探究圆心与圆周角的位置关系，并请学生代表上讲台用投影展示交流成果。教师再利用电脑，动画展示圆心与圆周角可能具有的不同的位置关系，并由学生归纳出圆心与圆周角具有三种不同的位置关系：

①圆心在圆周角的一边上；

②圆心在圆周角的内部；

③圆心在圆周角的外部。

设计意图：学生动手画圆周角，进一步熟悉圆周角，另一方面，预先探究出圆心与圆周角的三种位置关系，将难点分散，为后面证明圆周角定理作铺垫，降低证明难度。

3、实验探究

探究问题同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系？

试验操作

学生利用手中学案，当圆心角分别是锐角（450）、钝角（1100）和平角（1800）时，动手测量出弧BC所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数，比较它们的大小，然后在优弧BAC上任意取一点E，测量∠BEC的度数，探究同弧所对的圆周角与圆心角的关系。

猜想结论同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

电脑验证教师改变圆心角∠BOC的度数，再通过电脑测量弧AB所对的圆周角∠BAC和∠BDC的度数，进一步验证学生的猜想。

设计意图：学生合作交流，探究并猜想同弧所对的圆周角与圆心角的数量关系，教师再通过电脑测量来验证，让学生进一步明确它们之间的关系。

4、证明定理

命题分析命题：（电脑显示）同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。学生说出已知、求证。

问题：圆心与圆周角的三种位置关系中，哪一种位置关系最特殊？此时你能不能证明∠A= ∠BOC？

三种情况：

第一种情况：圆心在圆周角一边上；

第二种情况：圆心在圆周角的内部；

第三种情况：圆心在圆周角的外部。

定理证明学生证明第一种情形（圆心在圆周角的一边上的情形）：

作直径AD。

∵OA＝OC

∴∠A＝∠C

又∵∠BOC＝∠A＋∠C

∴∠BOC＝2∠A

即∠A＝∠BOC

利用基本图形（小红旗）及其对应的基本结论，引导学生证明当圆心在圆周角内部时的情形：

∵∠BAD＝∠BOD，∠CAD＝∠COD

∴∠BAD＋∠CAD＝∠BOD＋∠COD

即∠BAC＝∠BOC

情形（3）的证明推导，学生自己完成，教师用电脑展示。

电脑动画展示：等圆中等弧的问题通过移动、旋转转化为同圆中中同弧的问题，从而得到圆周角定理：

圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

进一步，由学生分析出，当圆心角是180°时，圆周角为90°，再通过电脑动画展示，当圆心角逐渐变为180°时，对应的圆周角变为90°，从而得到圆周角定理的推论：

圆周角定理推论半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

设计意图：教师引导，学生证明出圆周角定理及其推论，验证其猜想的正确性，激发学生学习数学的兴趣与成就感。

三、应用巩固

例1 如图，如果∠A=60°，则∠BOD=____°，∠BDC=____°

例2 如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是一定相等的角？

拓展若∠1=∠2=60°，判断△BCD的形状并证明你的结论。

设计意图：及时巩固本节课所学的核心知识，并注重知识的延伸，拓宽学生思维的深度和广度。

四、解决问题：

解决问题情境中的足球问题：过点P 、B、Q三点作圆，建立相应数学模型，学生分析题意，给出问题的答案：

解法1：连结PD。

∵∠B=∠PDQ, ∠PDQ>∠A

∴∠B>∠A

∴将球传给乙,让乙射门好。

解法2：连结CQ。

∵∠B=∠PCQ, ∠PCQ>∠A

∴∠B>∠A

∴将球传给乙,让乙射门好。

设计意图：学以致用，数学来源于生活，服务于生活，运用数学解决问题。

五、总结拓展

1、本节学习的数学知识是圆周角的定义和圆周角定理及其推论。

2、本节学习的数学思想是分类讨论和转化思想。

设计意图：自我总结反思自己本节课的收获，养成良好的学习习惯。

六、作业巩固

设计意图：数学是“做”出来的，即要学又要练。运用本节课所学知识进行检测与反馈，进一步巩固、掌握所学新识