高中数学_变化率与导数导数的计算教学设计学情分析教材分析课后反思

第十节变化率与导数、导数的计算

知识目标：1.了解导数概念的实际背景.

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.

3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1

x，y＝x2，y＝x3，y

＝x的导数.

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

教学重点：求简单函数的导数，理解导数的几何意义,会求切线方程。

教学难点：能利用基本初等函数的导数公式求导数，求切线方程。

教学过程：一、（共同进行知识梳理）看课件：

知识点1导数的概念

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx＝lim

Δx→0

Δy

Δx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)

或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim

Δx→0Δy

Δx＝lim

Δx→0

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝lim

Δx→0f(x＋Δx)－f(x)

Δx为f(x)的导函数．

知识点2基本初等函数的导数公式

(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)[

f (x )

g (x )]′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2

(g (x )≠0)． 二、学生自己订正答案，反馈学案中的学情自测

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)f ′(x 0)是导函数f ′(x )在x ＝x 0处的函数值．( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．(教材改编)若f (x )＝x ·e x ，则f ′(1)＝( C ) A ．0

B ．e

C ．2e

D ．e 2

（安排学生课前展示）3．某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－1

2gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )

A ．14 m /s 2

B ．4 m/s 2

C ．10 m /s 2

D ．－4 m/s 2

【答案】 A

4．(2014·广东高考)曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为____________．

【答案】 5x ＋y ＋2＝0

例1．若f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于________． 【解析】 易知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，∴f ′(1)＝4a ＋2b ＝2， ∴f ′(－1)＝－4a －2b ＝－(4a ＋2b )＝－2. 【答案】 －2

例2．求下列函数的导数．

(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋1x ；(3)y ＝cos x

e x ； (4)y ＝x ? ??

??

x 2＋1x ＋1x 4.

【解】 (1)y ′＝(x 2)′·sin x ＋x 2·(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝? ????ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋? ??

??

1x ′＝1x －1x 2.

(3)y ′＝? ????

cos x e x ′＝(cos x )′·e x

－cos x (e x

)′(e x )2＝－sin x ＋cos x e x .

(4)y ＝? ??

??x 3

＋1＋1x 3， ∴y ′＝? ?

???x 3＋1＋1x 3′＝(x 3)′＋(1)′＋(x －3)′

＝3x 2－3x －4＝3x 2－3

x 4.

（看课件，总结方法）导数计算的原则和方法只共同讲第4个，其他的三个学生当练习。并安排学生展示。

共同讲：例题二

●1．已知曲线y ＝13x 3＋4

3.

(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．

【解】 (1)根据已知得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′|x ＝2＝4. ∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.

(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ? ?

?

??x 0，13x 30

＋43，则切线的斜率为y ′|x ＝x 0

＝x 2

0.

∴切线方程为y －? ????1

3x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即

y ＝x 2

0·x －23

x 30＋43

.

∵点P (2,4)在切线上，

∴4＝2x 20－23x 30＋43，

即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 2

0＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，

∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为x 20＝1，x 0＝±1. 切点为(－1,1)或? ?

?

??1，53，

∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －5

3＝x －1， 即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0. 练习：

1．(2016·郑州模拟)已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1

2，则切点的横坐标为( )

A ．3

B ．2

C ．1 D.1

2 【解析】 设切点的横坐标为x 0，

∵曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为1

2，

∴y ′＝x 2－3x ，即x 02－3x 0

＝1

2，解得x 0＝3或x 0＝－2(舍去，不符合题意)，即

切点的横坐标为3.

【答案】 A

2．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.

【解析】 ∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，

∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 【答案】 1

3．(2016·泉州模拟)函数y ＝e x 的切线方程为y ＝mx ，则m ＝________. 【解析】 设切点坐标为P (x 0，y 0)，由y ′＝e x ，得

y ′| x ＝x 0

＝e x 0，从而切线方程为y －e x 0＝e x

0 (x －x 0)，又切线过定点(0,0)，从

而－e x 0＝e x

0 (－x 0)，解得x 0＝1，则m ＝e. 【答案】 e

我教的班是文科艺术班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我采取讲练结合的教学方式，大量安排学生在黑板展示，一是摸清学情，二是给学生一个规范的步骤。另我校一节课是45分钟.

通过本节课的学习 ，学生渗透了极限的思想，知道导数概念的实际背景.通过函数图象直观理解导数的几何意义.从而能求出在一点处与过一点处切线的方程能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

指导思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法． 导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科，就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题，还能解决一些复杂曲线的切线问题.导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat)为解决极大、极小问题而引入的.为了描述现

实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．”故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．

1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()

A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)

C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)

2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)等于()

A．－e B．－1

C．1D．e

3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是()

A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0

C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0

4．(2017·郑州模拟)已知曲线y＝x2

4－3ln x的一条切线的斜率为－

1

2，则切点

的横坐标为()

A．3B．2

C．1 D.1 2

5．已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于()

A．4B．5

C.25

4 D.

13

2

6．(2017·郑州二次质量预测)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是

________．

7．若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.

反思总结

1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导

法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.

2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误.

1.了解导数概念的实际背景.

2.通过函数图象直观理解导数的几何意义.

3.能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝1

x，y＝x2，y＝x3，y

＝x的导数.

4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．