2020年考研数学三真题与及解析

2020年考研数学三真题与及解析

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1

．若函数

0(),0x f x b x >=?≤?

在0x =处连续，则 （A ）12

ab =（B ）12

ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =

【详解】0001

112lim ()lim lim 2x x x x

f x ax ax a

+++→→→-===

，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11

22

b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（ ）

（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）

11(,)

【详解】2(3)32z y x y xy y xy y x

?=---=--?，232z x x xy y

?=--?，

2222222,2,32z z z z

y x x x y x y y x

????=-=-==-?????? 解方程组2

2320320z y xy y x

z

x x xy y

??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2AC B -，发现只有在点11(,)处满足230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）

3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则

（A ）

(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）

11()()

f f >- （D ）

11()()

f f <-

【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2()f x 是单调增加

函数．也就得到()()22(1)(1)(1)(1)

f f f f >-?

>-，所以应该选（C ）

4． 若级数2

11sin ln(1)n k n

n ∞=??--?

??

?

∑收敛，则k =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）

2-

【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ????????

--=---+=++ ? ? ? ? ?????

???? 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1n

的二阶

无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．

5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

（A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆 （C ）2T E αα+不可逆 （D ）2T E αα-不可逆 【详解】矩阵

T

αα的特征值为

1

和

1

n -个

，从而

,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1L ；2,1,1,,1L ；1,1,1,,1-L ；

3,1,1,,1L ．显然只有T E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）

． 6．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ??

?

= ? ???

，则

（A ）,A C 相似，,B C 相似 （B ）,A C 相似，,B C 不相似 （C ）,A C 不相似，,B C 相似 （D ）,A C 不相似，,B C 不相似 【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．

对于矩阵A ，0002001001E A ??

?

-=- ? ???

，秩等于

1 ，也就是矩阵A 属于特征值2

λ=存在两个线性无关的特征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．

对于矩阵B ，010*******E B -?? ?

-= ? ???

，秩等于

2 ，也就是矩阵A 属于特征值2

λ=只有一个线性无关的特征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．

7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B U 与C 相互独立的充分必要条件是（ ）

（A ）,A B 相互独立 （B ）,A B 互不相容 （C ）,AB C 相互独立 （D ）,AB C 互不相容 【详解】

(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-U ()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-U

显然，A B U 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）． 8．设

12,,,(2)

n X X X n ≥L 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若

1

1n

i

i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（ ）

（A ）21

()n

i i X μ=-∑服从2χ分布 （B ）()212n X X -服从2χ分布

（C ）21

()n

i i X X =-∑服从2χ分布 （D ）2()n X μ-服从2χ分布

解：（1）显然22()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-?-=L 且相互独立，所以

21

()n

i

i X

μ=-∑服从2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；

（2）2

2

2

22

1

(1)()

(1)~(1)n

i i n S X X n S n χσ=--=-=

-∑，所以（C ）结论也是正确的；

（3）注意

221~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X n

μμμχ?

-?-，所以（D ）结论

也是正确的；

（4）对于选项（B ）：22

111()~(0,2)~(0,1)()~(1)2

n n X X N N X X χ-??-，

所以（B ）结论是错误的，应该选择（B ）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

9．3(sin x dx π

π-=? ．

解：由对称性知3

3

(sin

22

x dx π

π

ππ-==

??

．

10．差分方程122t t t y y +-=的通解为 ． 【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2x y C =； 设122t t t y y +-=的特解为2t t y at =，代入方程，得12

a =；

所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2

t t y C t =+

11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .

【详解】答案为1(1)Q Q e -+-．

平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为

()1(1).Q C Q Q e -'=+-

12．设函数

(,)

f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知

(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =

【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，

得0C =，所以(,)y f x y xye =．

13．设矩阵101112011A ??

?

= ? ???，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩为

．

【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ??????

? ? ?

=→→ ? ? ? ? ? ???????

，知矩阵A 的秩为2，由于123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．

14．设随机变量X 的概率分布为{}122

P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，

若0EX =，则DX = ．

【详解】显然由概率分布的性质，知112

a b ++=

12133102EX a b a b =-?+?+?=+-=，解得11

,44

a b ==

29292EX a b =++=，229

()2

DX EX E X =-=．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限0lim t x dt +

→【详解】令x t u -=，则,t x u

dt du =-=-

，0

t x u dt du -=?

?

00

002

lim

lim lim

lim 3

3t

x

u

u x x x x x dt e

du du +

+

+

+---→→→→==== 16．（本题满分10分）

计算积分3242

(1)D

y dxdy x y ++??，其中D

是第一象限中以曲线y =x 轴为边界的无界区域． 【详解】

33

2422420024

242

00220(1)(1)1(1)4(1)1111411282D

y y dxdy dx dy x y x y x y dx x y dx x x π+∞+∞

+∞=++++++=++???=

-=- ? ++????

?????

17．（本题满分10分） 求2

1lim ln 1n

n k k k n

n →∞

=??

+ ???∑ 【详解】由定积分的定义

1

20111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24

n

n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞

→∞==????+=+=+ ? ?????=+=∑∑??

18．（本题满分10分） 已知方程

11

ln(1)k

x x

-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．

【详解】设11

(),(0,1)ln(1)f x x x x

=

-∈+，则 22

222

211(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)

x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++

令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-

2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=

2(ln(1))

()0,(0,1)1x x g x x x

+-''=

<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，

由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．

00011ln(1)1

lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++→→→??-+=-== ?++?

?，

1

(1)1ln 2

f =

-，也就是得到

111ln 22

k -<<． 19．（本题满分10分）

设01111

1,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===+=+L ，()S x 为幂级数0

n

n n a x ∞

=∑的和函数

（1）证明0

n n n a x ∞

=∑的收敛半径不小于1．

（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式． 【详解】（1）由条件11111

()(1)1

n n n n n n a na a n a na a n +-+-=

+?+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到11

1

,1,2,1

n n

n n a a n a a n +--=-

=-+L

1112110112101

(1)(1)!

n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=???=-----+L 也就得到1

11

(1),1,2,(1)!

n n n a a n n ++-=-=+L

1

1112112

1()()()(1)!

n

k n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑L

lim

1n n n ρ=≤≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数0

n

n n a x ∞

=∑， 由和函数的性质，可得11

()n n n S x na x ∞

-='=∑，

所以

1

1

1

11

10

1

111

1

11

(1)()(1)(1)((1))()

n n n

n n n n n n n

n

n n n n n

n n n n

n n n n n n n n x S x x na x

na x

na x n a x na x a n a na x a x a x

x a x xS x ∞

∞

∞

--===∞

∞

+==∞

+=∞∞

∞

+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑

也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．

解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1x

Ce S x x

-=

-，由于0(0)1S a ==，得1C =

所以()1x

e S x x

-=-．

20．（本题满分11分）

设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；

（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．

【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．

假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有

()2r A ≥，又因为31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只

有()2r A =．

（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向

量．由于31220ααα-+=，所以基础解系为121x ??

?= ? ?-??

； 又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111?? ? ? ???； 方程组Ax β=的通解为112111x k ????

? ?=+ ? ? ? ?-????

，其中k 为任意常数． 21．（本题满分11分） 设二次型

222

123123121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标

准形为221122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．

【详解】二次型矩阵21411141A a -??

?

=- ? ?-??

因为二次型的标准形为221122y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以

0A =，故 2.a =

1

141

1

1

(3)(6)4

1

2

E A λλλλλλλ---=+=+---

令0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．

通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-

的特征向量

1111ξ???=-???，属于特征值特征值26λ=

的特征向量2101ξ-??

?

=??

?，30λ=的特征

向量3121ξ??

?=???， 所以(

)123,,0Q ξξξ? ==

?为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）

设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}10{2}2

P X P X ====，Y 的

概率密度为2,01

()0,y y f y <

?其他

．

（1）求概率P Y EY ≤（）；

（2）求Z X Y =+的概率密度． 【详解】（1）1

202()2.3

Y EY yf y dy y dy +∞

-∞===??

所以{}2

30242.39P Y EY P Y ydy ?

?≤=≤==???

??

（2）Z X Y =+的分布函数为

{}{}{}{}

{}{}{}[](),0,20,2,211

{}2221

()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=

≤+≤-=+-

故Z X Y =+的概率密度为

[]1

()()()(2)2

,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==

+-≤≤??

=-≤

其他 23．（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设n 次测量结果12,,,n X X X L

相互独立

且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误差

,(1,2,,)i i Z X i n μ=-=L ，利用12,,,n Z Z Z L 估计参数σ

．

（1）求i Z 的概率密度；

（2）利用一阶矩求σ的矩估计量； （3）求参数σ最大似然估计量． 【详解】（1）先求i Z 的分布函数为

{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσ

σ?-?=≤=-≤=≤????

当0z <时，显然()0Z F z =； 当0z ≥时，{}{}()21i Z i i X z z F z P Z z P X z P μμ

σ

σσ?-???

=≤=-≤=≤=Φ-??

???

??；

所以i Z

的概率密度为2

22,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-?≥'==

．

（2

）数学期望22

20

()z i EZ z f z dz ze dz σ-

+∞

+∞

===

??

令11n

i i EZ Z Z n ===∑，解得σ

的矩估计量1

n

i i Z σ===．

（3）设12,,,n Z Z Z L 的观测值为12,,,n z z z L ．当0,1,2,i z i n >=L 时

似然函数为2

2

1

121

()(,)n

i i n n

z i i L f z σ

σσ=-

=∑==∏

，

取对数得：2

2

1

1ln ()ln 2ln(2)ln 22n

i i n L n n z σπσσ

==---∑

令2

31

ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ

最大似然估计量为σ=