数列分组求和法

分组求和法 典题导入

[例1] (2011·山东高考)等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.

第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行

9

8

18

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . [自主解答] (1)当a 1＝3时，不合题意；

当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．

因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18.所以公比q ＝3，故a n ＝2·3n －

1.

(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ＝2·3n －

1＋(－1)n ln(2·3n －

1)＝2·3n －

1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，

所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －

1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n 2n ]ln 3＝2×

1－32n

1－3

＋n ln 3＝32n ＋n ln 3－1. 由题悟法

分组转化法求和的常见类型

(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和．

(2)通项公式为a n ＝?

????

b n ，n 为奇数，

c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数

列，可采用分组求和法求和．

以题试法

1．(2013·威海模拟)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列．求：

(1)p ，q 的值；

(2)数列{x n }前n 项和S n 的公式．

解：(1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又因为x 4＝24p ＋4q ， x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ， 解得p ＝1，q ＝1.

(2)由(1)，知x n ＝2n ＋n ，所以S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋

1－2＋n (n ＋1)2

.

2.数列112，314，518，71

16，…的前n 项和S n 为( )．

A ．n 2＋1－

12

n －1

B ．n 2＋2－1

2n

C ．n 2＋1－1

2

n

D ．n 2＋2－

12n －1

解析 由题意知已知数列的通项为a n ＝2n －1＋1

2

n ，

则S n ＝

n 1＋2n －1

2

＋12? ?

??

?1－12n 1－12

＝n 2＋1－1

2n .

答案 C

3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 15＝225.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，

由题意，得?

??

a 1

＋2d ＝5，

15a 1

＋15×14

2d ＝225，

解得??

?

a 1＝1，

d ＝2，

∴a n ＝2n －1.

(2)∵b n ＝2a n ＋2n ＝1

2·4n ＋2n ，

∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n

＝1

2

(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n ) ＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23·4n ＋n 2＋n －23

.

4.设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.

(1)求{a n }的通项公式；

(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 解析 (1)设q 为等比数列{a n }的公比，则由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4，即

q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因此q ＝2. 所以{a n }的通项为a n ＝2·2n －1＝2n (n ∈N *)

(2)S n ＝

2

1－2n

1－2

＋n ×1＋

n n －1

2

×2＝2n ＋1＋n 2－2.

5.求和S n ＝1＋????1＋12＋????1＋12＋1

4＋…＋?

???1＋12＋14＋…＋12n －1. 解 和式中第k 项为 a k ＝1＋12＋14＋…＋1

2

k －1＝

1－????12k

1－12

＝2???

?1－12k . ∴S n ＝2???

?????1－12＋????1－122＋…＋????1－12n ＝2[(1＋1＋…＋1)n 个－(12＋122＋…＋1

2n

)] ＝2? ??

??n －12??

??1－12n 1－12

＝1

2n －1

＋2n －2. 6.数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则S 100＝________.

答案 2 600

解析 由a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n 知a 2k ＋2－a 2k ＝2，

a 2k ＋1－a 2k －1＝0，∴a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2n －1＝1，数列{a 2k }是等差数列，a 2k ＝2k . ∴S 100＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100)

＝50＋(2＋4＋6＋…＋100)＝50＋(100＋2)×50

2＝2 600.

7.求和：(1)S n ＝32＋94＋258＋65

16＋…＋n ·2n ＋12n ；

(2)S n ＝????x ＋1x 2＋????x 2＋1x 22＋…＋?

???x n ＋1x n 2. 解 (1)由于a n ＝n ·2n ＋12n ＝n ＋1

2n

，

∴S n ＝????1＋121＋????2＋122＋????3＋123＋…＋???

?n ＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋????12＋122＋123＋…＋12n ＝n (n ＋1)2＋12??

??

1－12n 1－12＝n (n ＋1)2－12

n ＋1.

(2)当x ＝±1时，S n ＝4n .当x ≠±1时，

S n ＝????x ＋1x 2＋????x 2＋1x 22＋…＋?

???x n ＋1x n 2 ＝????x 2＋2＋1x 2＋????x 4＋2＋1x 4＋…＋?

???x 2n ＋2＋1

x 2n

＝(x 2＋x 4＋…＋x 2n )＋2n ＋????1x 2＋1x 4＋…＋1x 2n ＝x 2(x 2n －1)x 2－1＋x －

2(1－x －

2n )

1－x －

2

＋2n ＝(x 2n －1)(x 2n ＋

2＋1)x 2n (x 2－1)

＋2n .

∴S n ＝????

?

4n (x ＝±1)，(x 2n －1)(x 2n ＋2＋1)x 2n (x 2－1)

＋2n (x ≠±1).

8.已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则这个数列前30项的绝对值的和是________． 答案 765

解析 由题意知{a n }是等差数列，a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，令a n ≥0，解得n ≥21. ∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|

＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋…＋a 30)

＝S 30－2S 20＝(－60＋90－63)×30

2－(－60＋60－63)×20＝765.

9.数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________. 答案 66

解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.

∴a n ＝?

????

－1 (n ＝1)2n －5 (n ≥2).

令2n －5≤0，得n ≤5

2

，

∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，

∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66.

10.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －

1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( ) A ．200 B ．－200 C ．400 D ．－400 答案 B

解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.

11.(2012·课标全国)数列{a n }满足a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为________． 答案 1 830

解析 ∵a n ＋1＋(－1)n a n ＝2n －1，

∴a 2＝1＋a 1，a 3＝2－a 1，a 4＝7－a 1，a 5＝a 1，a 6＝9＋a 1，a 7＝2－a 1，a 8＝15－a 1，a 9＝a 1，a 10＝17＋a 1，a 11＝2－a 1，a 12＝23－a 1，…，a 57＝a 1，a 58＝113＋a 1，a 59＝2－a 1，a 60＝119－a 1，

∴a 1＋a 2＋…＋a 60＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)＋…＋(a 57＋a 58＋a 59＋a 60)＝10＋26＋42＋…＋234

＝15×(10＋234)2

＝1 830.

12.已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…这个数列的特点是从第二项起，每一项都

等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 013项之和S 2 013等于 ( ) A ．1 B ．2 010 C ．4 018 D ．0 答案 C

解析 由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1 (n ≥2)，∴a n ＋1＝a n －a n －1.

故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1，2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0.∵2 013＝6×335＋3，∴S 2 013＝S 3＝4 018. 13.设2

21

)(+=

x x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求

)0()4()5(f f f ++-+-Λ)6()5(...f f +++的值为

A ．23

B ．2

C ．22

D ．

2

2 解：由于2

2

)1()(=

-+x f x f ，则原式)]5()4([)]6()5({[21f f f f +-++-=

)]}5()6([-+++f f Λ232

2122

1=??=，选A

14.数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足：11=a ，t S t tS n n 3)32(31=+--，其中0>t ，+

∈N n

且2≥n （Ⅰ）求证：数列}{n a 是等比数列；

（Ⅱ）设数列}{n a 的公比为)(t f ，数列}{n b 满足11

1

1,(

)(2),n n b b f n b -==≥求n b 的通项式.

（Ⅲ）记,12221254433221+--++-+-=n n n n n b b b b b b b b b b b b T Λ求证：.9

20-≤n T 解（Ⅰ）当2≥n 时，t S t tS n n 3)32(31=+--① ,t S t tS n n 3)32(31=+-+②

②—①得：0)32(31=+-+n n a t ta 123

3n n a t a t

++∴

=

（2≥n ） 又11211,3()(23)3a t a a t a t =+-+=，解得：t

t a 33

22+=

, n

n a a a a a a 123

12+===∴

Λ233t t += }{n a ∴是首项为1，公比为

23

3t t

+的等比数列。

（Ⅱ）3

2

32333

2

,332)(

111

1

+=+=

+=+=----n n n n n

b b b b b t

t t f , ,321=

-∴-n n b b 则3

1

3232)1(1+=?-+=n n b n （Ⅲ）)()()(12122534312+--++-+-=n n n n b b b b b b b b b T Λ

9

20

954,32,2)32(9

49)64(22)

31

435(34)(3422242-

=?-≤∴+≥+-=+-=++?-=+++-=n n T n n n n n n n n n b b b 为增时当Λ 15.22222212979899100-++-+-Λ的值是

A ．2525

B ．5050

C ．10100

D ．20200 解：原式5050)12()9798()99100(=++++++=Λ，选B

16.等差数列{a n }的公差不为零，a 4＝7，a 1，a 2，a 5成等比数列，数列{T n }满足条件T n ＝a 2＋a 4＋a 8＋…＋n 2a ，则T n ＝________.

解析：设{a n }的公差为d ≠0，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得a 22＝a 1a 5， 即(7－2d )2＝(7－3d )(7＋d ) ∴d ＝2或d ＝0(舍去)． ∴a n ＝7＋(n －4)×2＝2n －1. 又n 2a ＝2·2n －1＝2n ＋

1－1，

∴T n ＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n ＋

1－1) ＝(22＋23＋…＋2n ＋

1)－n ＝2n ＋

2－n －4.