浅谈数学发展史中的三次“危机”

数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机的产与发展，并给出了我对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。

一、数学史上的第一次“危机”

第一次数学危机是发生在公元前580～568年之间的古希腊。那时的数学正值昌盛，特别是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为“万物皆数”。所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。在那个时期，上述思想是绝对权威、是“真理”。但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的，绝对的权威受到了严重的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，按照他们的观点，这种长度不是数！另一方面，他们不承认自己的观点有问题，这就陷入了极大的矛盾之中，这是第一次数学危机。

二、数学史上的第二次“危机”

第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到很多年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地——微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中，第一步用了无穷小量作分母进行除法，当然无穷小量不能为零；第二步牛顿又把无穷小量看作零，去掉那些包含它的项，从而得到所要的公式，在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾。直到19世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零，都说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量，因此本质上它是变量，而且是以零为极限的量，至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外Weistrass 创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。

三、数学史上的第三次“危机”

1.悖论的产生及意义

（1）什么是悖论

悖论来自希腊语，意思是“多想一想”。这个次的意义比较丰富，它包括一

切与人的知觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。悖论是自相矛盾的命题，即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出原命题成立。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，他们震撼了逻辑学和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。

（2）悖论产生的意义

悖论是在数学学科理论体系发展到相当高的阶段才出现的。它是对数学学科理论体系可能存在的内在矛盾的揭示。虽然暂时引起人们的思想混乱，对正常的科学研究可能会形成一定的冲击，但它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾，对于揭露原有理论的缺陷或局限性，对于这一步深入理解，任何和评价原有科学理念，对于原有的科学概念或理论的进一步充实完善和促进科学管理的产生都有相当重要的意义，同时也为科学研究提供了新的课题和研究方向。

2.第三次数学危机的产生与解决

（1）什么是数学危机

为了讲清楚第三次数学危机的来龙去脉，我们首先要说明什么是数学危机。一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的，即便以确定无疑著称的数学也不例外。数学中有大大小小的许多矛盾，比如正与负、加法与减法、微分与积分、有理数与无理数、实数与虚数等等。但是整个数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与离散，乃至存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与计算等等。在整个数学发展的历史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。而在矛盾激化到涉及整个数学的基础时，就产生数学危机。

（2）“罗素悖论”与第三次数学危机

第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。

十九世纪七十年代康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。十九世纪末，戴德金及皮亚诺对算术及实数理论进行公理化，推动了公理化运动。而公理化运动的最大成就则是希尔伯特在1899年对于初等几何的公理。

1919年罗素提出著名的罗素悖论，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质："理发师是否自己给自己刮脸？"如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。

罗素悖论使整个数学大厦动摇了。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第2卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。

罗素悖论除了集合概念外并不涉及任何其他概念，从而明白无疑地揭示了集合论本身确实存在着矛盾，在数学界引起了一片震惊。因为，此时的数学大厦几

乎完全建立在集合论基础上。第三次数学危机出现了，并且其危险程度远远高于前两次，人们进行极大的努力试图消除这个危机，却都没有获得满意的结果，但这个过程同样极大地发展了数学，同时也改变了人们的数学观念。

承认无穷集合，承认无穷基数，就好像一切灾难都出来了，这就是第三次数学危机的实质。尽管悖论可以消除，矛盾可以解决，然而数学的确定性却在一步一步地丧失。现代公理集合论的大堆公理，简直难说孰真孰假，可是又不能把它们都消除掉，它们跟整个数学是血肉相连的。所以，第三次危机表面上解决了，实质上更深刻地以其它形式延续着。

（3）第三次数学危机的解决

罗素的悖论产生后，数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法，其中之一是把集合论建立在一组公理之上，以回避悖论。首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗，他提出七条公理，建立了一种不会产生悖论的集合论，又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进，形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓ZF公理系统），这场数学危机到此缓和下来。现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为Cantor集合论和Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来的。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。三次数学危机是我们数学史发展中的一个奠基，他为我们日后更详细、深入的研究数学做了很好的铺垫，我想以后也许会有第四次数学危机，但数学家也会把它化解掉，只有出现危机，才能使我们的数学研究达到更高的境界。

四、结论

第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。

矛盾的消除，危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。

日本数学发展史

简述日本数学发展史专业：09数学与应用数学学号：N0939121 姓名：彭璐

人类从何时才开始定居于日本列岛，至今仍无定论。公元四世纪中叶，日本建立了第一个统一的国家。在十世纪以前，日本主要吸收外来的文化。中国、朝鲜和印度的文化对日本都有很大的影响，十世纪以后，真正的日本文化才发展起来。日本数学的繁荣则更晚，是十七世纪以后的事。日本人把受西方数学影响以前，按自己的特点发展起来的数学叫和算，也算日本传统数学。十七世纪后期至十九世纪中叶是和算的兴盛时期。和算在中国古代数学的影响下发展起来。公元六世纪始，中国的历法和数学就直接或间接地﹝通过朝鲜﹞传入日本，日本政府亦多次派留学生到中国唐朝学习数学。到八世纪初，日本已仿照隋唐时期的数学教育制度设立算学博士并采用《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《缀术》等中国古算书作为教材，这是中国数学输入日本的第一个时期。十三至十七世纪，是中国数学传入日本的第二个时期，《杨辉算法》、《算学启蒙》、《算法统宗》等陆续传入日本，对日本数学的发展有重要的影响。吉田光由的《尘劫记》﹝1627﹞使珠算术在日本迅速得到普及，其内容与《算法统宗》极为相似，只是其中许多例题是根据日本的实际情况编写的。这时期还有几本着作是专门介绍和解释《算学启蒙》的。十七世纪初，日本数学家开始写出自己的著作，如毛利重能的《割算书》﹝1622﹞、今村知商的《竖亥录》﹝1639﹞等。到十七世纪末期，通过关孝和等人的工作，逐渐形成了日本数学体系──和算。关孝和在日本被尊为「算圣」，十七世纪末到十八世纪初，以他为核心形成一个学派﹝关流﹞，这一学派的主要成就是「点术」和「圆理」。「点术」是把由中国传入的天文术改为笔算，并改进了算式的记法，是和算特有的笔算代数学。「圆理」可看作是和算特有的数学分析。建部贤弘求得弧长的无穷级数表达式，又称圆理公式。久留岛义太推广了圆理公式，发展了圆理的极数术﹝极值问题﹞，并在西方数学家之前发现了欧拉函数和行列式展开定理。关氏学派的第四代大师安岛直圆深入到微积分领域，提出一种求弧长的方法；又将此法推广，形成二重积分，求出了两相交圆柱公共部份的体积。晚期的关氏学派数学家和田宁进一步改进了圆理，使计算弧长、面积、体积等问题更加简化，他使用的方法和现在积分法的原理相近。除了关氏学派外，还有一些较小的学派。他们总结了和算中的各种几何问题；深入研究了计算椭圆、球面等面积和体积的公式；探讨了代数方程理论等等。十九世纪中叶，日本政府采取了开国政策，西方数学大量传入。明治维新时期，日本政府实行「和算废止，洋算专用」政策，和算迅速衰废﹝只有珠算沿用至今﹞，同时开始了近代数学的研究。时至今日，日本已步入世界上数学研究先进国家的行列。美国，法国，英国，日本以及德国是公认的数学大国。日本的数学在20世纪后半叶进步很快，尤其在代数，微分几何，代数几何等领域日本数学家都做出了巨大的贡献。Kobayashi和Nomizu的两卷本Foundations of Differential Geometry是微分几何的经典教材。1960年仅37岁就因病去世的Yamabe是当时几何分析领域的绝对权威。日本数学家Oka在二十世纪三，四十年代解决了一系列多复变函数论的难题，被法国著名数学家H.Cartan誉为super-human task。代数数论中Iwasawa理论就是日本数学家岩泽健吉的杰作，成为后来Wiles证明费马大定理的主要工具之一。下面介绍一下日本的数学家。

中国数学发展史

中国数学发展史——宋元数学中国数学发展史概述中国是世界文明古国之一，地处亚洲东部，濒太平洋西岸。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家——夏朝（前2033-前1562）,共经历十三世、十六王。其后又有奴隶制国家商（前562年—1066年,共历十七世三十一王）和西周［前1027年—前771年,共历约二百五十七年，传十一世、十二王］。随后出现了中国历史上的第一次全国性大分裂形成的时期——春秋（前770年-前476年）战国（前403年-前221年），春秋后期,中国文明进入封建时代,到公元前221年秦王赢政统一全国,出现了中国历史上第一个封建帝制国家——秦朝（前221年—前206年）,在以后的时间里,中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展,经历了统一强盛的西汉（公元前206年—公元8年）帝国、东汉王朝（公元25年—公元220年）、战乱频仍与分裂的三国时期（公元208年-公元280年）、西晋（公元265年—公元316年）与东晋王朝（公元317年—公元420年）、汉民族以外的少数民族统治的南朝（公元420年—公元589年）与北朝（公元386年—公元518年）。到了公元581年，由隋再次统一了全国，建立了大一统的隋朝（公元581—618年），接着经历了强大富庶文化繁荣的大唐王朝（公元618年—907年）、北方少数民族政权辽（公元916年-公元1125年）、经济和文化发达的北宋（公元960年~公元1127年）与南宋（公元1127年-公元1279年）、蒙古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝（公元1271年-1368年）、元朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝——明朝（公元1368年-公元1644年），明王朝于17世纪中为少数民族女真族（满族）建立的清朝（公元1616年-公元1911年）所代替。清朝是中国最后一个封建帝制国家。自此之后，中国脱离了帝制而转入了现代民主国家。中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明，但与其他文明截然不同，它其持续发展两千余年之久，在世界文明史上是绝无仅有的。这种文明十分注重社会事务的管理，强调实际与经验，关心人和自然的和谐与人伦社会的秩序，儒家思想作为调解社会矛盾、维系这一文明持续发展的重要思想基础。一、中国数学的起源与早期发展据《易?系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。

中国数学发展史概述

中国数学发展史概述中国是世界文明古国之一，地处亚洲东部，濒太平洋西岸。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家──夏朝（前2033-前1562）,共经历十三世、十六王。其后又有奴隶制国家商（前562年1066年,共历十七世三十一王）和西周﹝前1027年前771年,共历约二百五十七年，传十一世、十二王﹞。随后出现了中国历史上的第一次全国性大分裂形成的时期──春秋（前770年-前476年）战国（前403年-前221年），春秋后期,中国文明进入封建时代,到公元前221年秦王赢政统一全国,出现了中国历史上第一个封建帝制国家──秦朝（前221年前206年）,在以后的时间里,中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展,经历了统一强盛的西汉（公元前206年公元8年）帝国、东汉王朝（公元25年公元220年）、战乱频仍与分裂的三国时期（公元208年-公元280年）、西晋（公元265年公元316年）与东晋王朝（公元317年公元420年）、汉民族以外的少数民族统治的南朝（公元420年公元589年）与北朝（公元386年公元518年）。到了公元581年，由隋再次统一了全国，建立了大一统的隋朝（公元581618年），接着经历了强大富庶文化繁荣的大唐王朝（公元618年907年）、北方少数民族政权辽（公元916年-公元1125年）、经济和文化发达的北宋（公元960年~公元1127年）与南宋（公元1127年-公元1279

年）、蒙古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝（公元1271年-1368年）、元朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝──明朝（公元1368年-公元1644年），明王朝于17世纪中为少数民族女真族（满族）建立的清朝（公元1616年-公元1911年）所代替。清朝是中国最后一个封建帝制国家。自此之后，中国脱离了帝制而转入了现代民主国家。中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明，但与其他文明截然不同，它其持续发展两千余年之久，在世界文明史上是绝无仅有的。这种文明十分注重社会事务的管理，强调实际与经验，关心人和自然的和谐与人伦社会的秩序，儒家思想作为调解社会矛盾、维系这一文明持续发展的重要思想基础。一、中国数学的起源与早期发展据《易系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。用算筹记数，有纵、横两种方式：表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间﹝法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当﹞，

数学发展简史数学发展简史

数学发展简史数学发展简史 Last revised by LE LE in 2021

数学发展简史数学发展简史一、数学起源 1．希腊人发现了推理的作用古典时期（公元前600－前300年）的希腊人，认识到人类有智慧、有思维，能够发现真理。 2．最早提出自然界数学模式的是以毕达哥拉斯（Pythagoras）为领袖的座落于意大利南部的毕达哥拉斯学派。 3．继毕达哥拉斯学派之后，最有影响的是由柏拉图学派，他控制了公元前4世纪这一重要时期希腊人的思想，他是雅典柏拉图学院的创立者，存在了九百年之久。 4．亚里士多德是柏拉图的学生，他批评柏拉图的冥世思想以及把科学归结为数学的认识。他是一个物理学家，他相信真正的知识是从感性的经验通过直观和抽象而获得。他认为，基本概念应该是不可定义的，否则就没有起始点。他又区分了公理和公设。公理――对所有思想领域皆真。公设――适用于专业学科，如几何学。 5．欧几里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）、丢番图等属于希腊文化的第二个重要时期，亚历山大里亚时期（公元前300年－公元600年）欧几里得（公元前约300年），他的代表作《几何原本》是一本集希腊数学大成的巨着，成为两千年来用公理法建立演绎的数学体系的典范。二、数学的繁荣（文艺复兴（15世纪初到17世纪的200年） 1．希腊人的宗旨――自然是依数学设计的，与文艺复兴时的信念――上帝是这个设计的作者，融汇在一起，统治了欧洲。 2．笛卡儿（Descartes，1596－1650）被誉为数学王冠上的明珠之一，但他首先是一个哲学家，其次是宇宙学家，第三是物理学家，第四是生物学家，第五才是数学家。极其敏锐的直觉和对结果的演绎――这就是笛卡儿认识哲学的实质。笛卡儿认为：思维只有两种方法，这就是：直觉和演绎。笛卡儿对数学本并没有提出什么新定理，但他却提供了一种非常有效的研究方法，即《解释几何》。在科学上，笛卡儿的贡献，虽然不如像哥白尼、开普勒以及牛顿那样辉煌灿烂，但也不容轻视。 3．帕斯卡（Pascal）：是17世纪伟大的数学家之一。 4．伽利略与笛卡尔齐名，他的主要贡献是他在科学方法上的许多变革。 a) 他要研究和证明的是一些运动的性质而不考虑为会什么会这样。 b) 他坚持向自然科学家提议：不要研究为什么会这样，只要讨论怎样定量描述。 c) 他的另一个原则是：科学的任一分支都可用数学模型模仿出来。 5．牛顿是剑桥大学的数学教授，被称为最伟大的数学家之一，牛顿认为数学是枯燥和乏味的，只是表述自然定律的一种工具。牛顿的真正的成就在于证明了开普勒经过多年观测和研究得出的开普勒三定律可以由万有引力定律和运动三定律用数学方法推导出来。拉普拉斯曾说过，牛顿是最幸运的人，因为只有一个宇宙，而他成功地发现了它的定律。 6．

简述中国数学发展史

中国数学发展史【摘要】数学发展史就是数学这门学科的发展历程。人们的思想在不断的发生变化，数学中的很多思想也是人类不断发展的体现。该论文就围绕中国数学的发展历程和思想进行了简单的概括和论述。介绍了从古至今中国数学的发展历程，讲述了中国数学思想的特点及中国数学对世界的影响以及中外数学文化的交流影响，总结了从数学发展史中得到的启示。【关键词】中国数学；数学发展史；数学思想一、中国数学的发展历程 1.1中国数学的起源与早期发展据《易·系辞》记载：“伏羲作结绳”，“上古结绳而治”，后世圣人易之以书契。其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。这是位值制的最早使用。算筹是中国古代的计算工具，这种方法称为筹算。筹算在春秋时代已很普遍。在几何学方面《史记·夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现“勾三股四弦五”这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。在公元前2500年，我国已有圆、方、平、直的概念。对几何工具也有深刻认识。算术四则运算在春秋时期已经确立，乘法运算已广为流行。“九九表”一直流行了约1600年。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题。《庄子》中则强调抽象的数学思想。其中几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想。此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。 1.2 中国数学体系的形成与奠基这一时期包括从秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。秦汉是中国古代数学体系的形成时期。在这一时期，数学知识系统化、理论化，数学方面的专书陆续出现。现传中国历史最早的数学专著是1984年在湖北江陵张家山出土的成书于西汉初的汉简《算数书》。西汉末年﹝公元前一世纪﹞编纂的《周髀算经》，尽管是谈论盖天说宇宙论的天文学著作，但包含许多数学内容，在数学方面主要有两项成就：(1)分数、等差数列、勾股定理于测量术；(2)测太阳高、远的陈子测日法，为后来重差术（勾股测量法）的先驱。此外，还有比例知识。《九章算术》是一部经几代人整理、删减补充和修订而成的古代数学经典著作，约成书于东汉初年。全书编排方法是：先举出例子，然后给出答案，通过对一类问题解法的考察和研究，最后给出“术”。它的成书标志着我国传统数学理论体系——初等数学理论体系的形成。比欧洲早了1400多年。

数学发展简史

数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。一、数学形成时期（——公元前5 世纪）建立自然数的概念，创造简单的计算法，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。二、常量数学时期（前5 世纪——公元17 世纪）也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成中学数学的主要内容。 1．古希腊（前5 世纪——公元17 世纪）毕达哥拉斯——“万物皆数” 欧几里得——《几何原本》阿基米德——面积、体积阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》托勒密——三角学

丢番图——不定方程 2．东方（公元2 世纪——15 世纪） 1）中国西汉（前2 世纪）——《周髀算经》、《九章算术》魏晋南北朝（公元3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算π 宋元时期（公元10 世纪——14 世纪）——宋元四大家杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰天元术、正负开方术——高次方程数值求解；大衍总数术——一次同余式组求解 2）印度现代记数法（公元8 世纪）——印度数码、有0；十进制（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）

数学与天文学交织在一起阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元499 年）开创弧度制度量婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12 世纪）算术、代数、组合学 3）阿拉伯国家（公元8 世纪——15 世纪）花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本 “代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。阿布尔．维法奥马尔．海亚姆

中国数学发展简史起源

中国数学发展简史—起源翻开任何一部中国数学发展史，你都不难发现，祖先们每前进一步，都伴随着奋斗的汗水。 (1)中国数学的起源（上古~西汉末期）古希腊学者毕达哥拉斯（约公元约前580~约前500年）有这样一句名言：“凡物皆数”。的确，一个没有数的世界是不堪设想的。今天，我们会不屑一顾从1数到10这样的小事，然而上万年以前，我们祖先为了这事可煞费苦心了。在7000年以前，我们的祖先甚至连2以上的数字还数不上来，如果要问他们所捕的4只野兽是多少，他们会回答：“很多只”。如果当时要有人能数到10，那一定会被认为是杰出的天才了。后来人们慢慢地会把数字和双手联系在一起了。每只手各拿一件东西，就是2。数到3时又被难住了，于是把第3件东西放在脚边，“难题”才得到解决。就这样，在逐步摸索中，祖先从混混沌沌的世界中走出来了。先是结绳记数，然后又发展到“书契”，五六千年前就会写 1~30的数字，到了2019多年前的春秋时代，祖先们不但能写3000以上的数学，还有了加法和乘法的意识。在金文周《※鼎》中有这样一段话：“东宫迺曰：偿※禾十秭，遗十秭为廾秭，来岁弗偿，则付秭。”这段话包含着一个利滚利的问题。说的是，如果借了10捆粟子，晚点还，就从借时的10

捆变成20捆。如果隔年才还，就得从借时的10捆涨到40捆。用数学式子表达即： 10+10=20 20×2=40 除了在记数和算法上有了较大的进步外，祖先还开始把一些数字知识记载在书上。春秋时代孔子（公元前551~前479）年修改过的古典书籍之一《周易》中，就出现了八卦。这神奇的八卦至今在中国和外国仍然是人们努力研究和对象，它在数学、天文、物理等多方面都发挥着不可低估和作用。到了战国时期，祖先们的数学知识已远远超出了会数1~3000的水平。这一阶段他们在算术、几何，甚至在现代应用数学的领域，都开始了耕耘播种。算术领域，四则运算在这一时期内得到了确立，乘法中诀已经在《管子》、《荀子》、《周逸书》等著作中零散出现，分数计算也开始被应用于种植土地、分配粮食等方面。几何领域，出现了勾股定理。代数领域，出现了负数概念的萌芽。最令后人惊异的是，在这一时期出现了“对策论”的萌芽，对策论是现代应用数学领域的问题。它是运筹学的一个分支，主要是用数学方法来研究有利害冲突的双方，在竞争性的活动中，是否存自己制胜对方的最优策略，以及如何找出这些策略等问题。这一数学分支是在本世纪第二次世界大战期间或以后，才作为一门学科形成的，可是早在2019多年前，战国时期著名的军事家孙膑（公元

世界数学发展史

第一节数学发展的主要阶段 2009-10-12 10:05:28 来源：中外数学网浏览：7次乔治·萨顿曾说过：“科学史是人类认识自然的经验的历史回顾。”数学史是数学发展历史的回顾，它研究数学产生发展的历史过程，探求其发展的规律。研究数学史，可以通过历史留下的丰富材料，了解数学何时兴旺发达，何时停滞衰退，从中总结经验教训，以利于数学更进一步的发展。关于数学发展史的分期，一般来说，可以按照数学本身由低级到高级分阶段进行，也就是分成四个本质不同的发展时期，每一新时期的开始都以卓越的科学成就作标志，这些成就确定了数学向本质上崭新的状态过渡．这里我们主要介绍世界数学史的发展。一、数学的萌芽时期这一时期大体上从远古到公元前六世纪．根据目前考古学的成果，可以追溯到几十万年以前．这一时期可以分为两段，一是史前时期，从几十万年前到公元前大约五千年；二是从公元前五千年到公元前六世纪．数学萌芽时期的特点，是人类在长期的生产实践中，逐步形成了数的概念，并初步掌握了数的运算方法，积累了一些数学知识．由于土地丈量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但是这些知识是片断和零碎的，缺乏逻辑因素，基本上看不到命题的证明．这个时期的数学还未形成演绎的科学．这一时期对数学的发展作出贡献的主要是中国、埃及、巴比伦和印度．从很久以前的年代起，我们中华民族勤劳的祖先就已经懂得数和形的概念了．在漫长的萌芽时期中，数学迈出了十分重要的一步，形成了最初的数学概念，如自然数、分数；最简单的几何图形，如正方形、矩形、三角形、圆形等．一些简单的数学计算知识也开始产生了，如数的符号、记数方法、计算方法等等．中小学数学中关于算术和几何的最简单的概念，就是在这个时期的日常生活实践基础上形成的．总之，这一时期是最初的数学知识积累时期，是数学发展过程中的渐变阶段．二、初等数学时期从公元前六世纪到公元十七世纪初，是数学发展的第二个时期，通常称为常量数学或初等数学时期．这一时期也可以分成两段，一是初等数学的开创时代，二是初等数学的交流和发展时代． 1．初等数学的开创时代．这一时代主要是希腊数学．从泰勒斯(Thales，公元前636—前546)到公元641年亚历山大图书馆被焚，前后延续千余年之久，一般把它划分为以下几个阶段： (1)爱奥尼亚阶段(公元前600—前480年)； (2)雅典阶段(公元前480—前330年)； (3)希腊化阶段(公元前330—前200年)； (4)罗马阶段(公元前200—公元600年)．爱奥尼亚阶段的主要代表有米利都学派、毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前572—前497)学派和巧辩学派．在这个阶段上数学取得了极为重要的成就，其中有：开始了命题的逻辑证明，发现了不可通约量，提出了几何作图的三大难题——三等分任意角、倍立方和化圆为方，并且试图用“穷竭法”去解决化圆为方的问题．所有这些成就，对数学后来的发展产生了深远的影响．雅典阶段的主要代表有柏拉图(Plato，公元前427—前347)学派、亚里斯多德(Aristotle，公元前384—前322)的吕园学派、埃利亚学派和原子学派．他们在数学上取得的成果，十分令人赞叹，如柏拉图强调几何对培养逻辑思维能力的重要作用；亚里斯多德建立了形式逻辑，并且把它作为证明的工具．所有这些成就把数学向前推进了一大步．上述两个阶段称为古典时期．这一时期的数学发展，在希腊化阶段上开花结果，取得了

数学发展简史

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数学发展简史数学发展史大致可以分为四个阶段。一、数学形成时期（——公元前 5 世纪）建立自然数的概念，创造简单的计算法，认识简单的几何图形；算术与几何尚未分开。二、常量数学时期（前 5 世纪——公元 17 世纪）也称初等数学时期，形成了初等数学的主要分支：算术、几何、代数、三角。该时期的基本成果，构成中学数学的主要内容。 1．古希腊（前 5 世纪——公元 17 世纪）毕达哥拉斯——“万物皆数” 欧几里得——《几何原本》阿基米德——面积、体积阿波罗尼奥斯——《圆锥曲线论》

托勒密——三角学丢番图——不定方程 2．东方（公元 2 世纪——15 世纪） 1）中国西汉（前 2 世纪）——《周髀算经》、《九章算术》魏晋南北朝（公元 3 世纪——5 世纪）——刘徽、祖冲之出入相补原理，割圆术，算π 宋元时期（公元 10 世纪——14 世纪）——宋元四大家杨辉、秦九韶、李冶、朱世杰天元术、正负开方术——高次方程数值求解；大衍总数术——一次同余式组求解 2）印度现代记数法（公元 8 世纪）——印度数码、有 0；十进制

（后经阿拉伯传入欧洲，也称阿拉伯记数法）数学与天文学交织在一起阿耶波多——《阿耶波多历数书》（公元 499 年）开创弧度制度量婆罗摩笈多——《婆罗摩修正体系》、《肯特卡迪亚格》代数成就可贵婆什迦罗——《莉拉沃蒂》、《算法本源》（12 世纪）算术、代数、组合学 3）阿拉伯国家（公元 8 世纪——15 世纪）花粒子米——《代数学》曾长期作为欧洲的数学课本 “代数”一词，即起源于此；阿拉伯语原意是“还原”，即“移项”；此后，代数学的内容，主要是解方程。阿布尔．维法

数学发展简史

数学发展简史 (摘自张顺燕《数学的源与流》，高等教育出版设2001) 大数学家庞加莱说:“若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状”。法国人类学家斯特劳斯说:“如果他不知道他来自何处，那就没有人知道他去向何方”。我们需要知道，我们现在出在何处，我们是如何到达这里的，我们将去何方。数学史将公司我们来自何处。数学的发展史大致可以分为四个基本上本质不同的阶段。第一个时期——数学形成时期。这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念。简单的计算法，并认识了最简单的几何形式，逐步的形成了理论与证明之间的逻辑关系的“纯粹”数学。算术与几何还没有分开，彼此紧密地交错着。第二个时期称为初等数学，即常数数学时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，知道17世纪，大约持续了两千年。在这个时期，逐渐形成了初等数学的主要分支:算术、几何、代数、三角。按照历史条件不同，可以把初等数学史分为三个不同的时期:希腊的、东方的和欧洲文艺复兴时代的。希腊时期正好与希腊文化普遍繁荣的时代一致。到公元前3世纪，在最伟大的古代几何学家欧几里德、阿基米德、阿波罗尼奥斯的时代达到了顶峰，而终止于公元6世纪。当时最光辉的著作是欧几里德的《几何原本》。尽管这部书是两千多年钱写成的，但是它的一般内容和叙述的特征，却与我们现在通用的几何教科书非常接近。

希腊人不仅发展了初等几何，并把它导向完整的体系，还得到许多非常重要的结果。例如，他们研究了圆锥曲线:椭圆、双曲线、抛物线;证明了某些属于射影几何的定理，一天问学的需要为指南，建立了球面几何，以及三家学的原理，并计算出最初的正弦表，确定了许多复杂图形的面积和体积。在算术与代数方面，希腊人也做了比绍工作。他们奠定了数论的基础，并研究了丢番图方程，吗发现了无理数，找到了求平方根、立方根的方法，知道了算术级数与几何级数的性质。在几何方面希腊人已接近“高等数学”。阿基米德在计算面积与体积时已接近积分运算，阿波罗尼奥斯关于圆锥曲线的研究接近于解析几何。应该指出，当时我国的算术与代数已达到很高的水平。在公元前2世纪到1世纪已有了三元一次方程组的解法。同时在历史上第一次利用负数，并且叙述了对负数进行运算的规则，也找到了求平方根与立方根的方法。随着希腊科学的终结，在欧洲出现了科学萧条，数学发展的中心移到了印度、中亚细亚和阿拉伯国家。在这些地方从5世纪到15世纪的一千年中间，数学主要由于计算的需要，特别是由于天问学的需要而得到发展。印度人发明了现代记数法，引进了负数，并把正数与负数的对立和财产的对立联系了起来，他们开始像运用有理数一样运用无理数，他们给出了表示各种代数运算包括求更运算的符号。由于他们没有对无理数与有理数的区别困惑，从而为代数打开了真正的发展道路。 “代数”这个词起源于9世纪的数学家和天问学家穆罕穆德花拉子花。花拉子花的著作基本上建立了解方程的方法。从这时起，求方程的解作为代数的基本特征被长期保持了下来。他的代数著作在数学史上起了重大作用，因为这部作品被翻译成拉丁语，曾长期作为欧洲主要的教科书。

中国数学发展简史

中国数学发展简史翻开任何一部中国数学发展史，你都不难发现，祖先们每前进一步，都伴随着奋斗的汗水。中国数学的起源（上古~西汉末期）古希腊学者毕达哥拉斯（约公元约前580~约前500年）有这样一句名言：“凡物皆数”。的确，一个没有数的世界是不堪设想的。今天，我们会不屑一顾从1数到10这样的小事，然而上万年以前，我们祖先为了这事可煞费苦心了。在7000年以前，我们的祖先甚至连2以上的数字还数不上来，如果要问他们所捕的4只野兽是多少，他们会回答：“很多只”。如果当时要有人能数到10，那一定会被认为是杰出的天才了。后来人们慢慢地会把数字和双手联系在一起了。每只手各拿一件东西，就是2数到3时又被难住了，于是把第3件东西放在脚边，“难题”才得到解决。先是结绳记数，然后又发展到“书契”，五六千年前就会写1~30的数字，到了2000多年前的春秋时代，祖先们不但能写3000以上的数学，还有了加法和乘法的意识。就这样，在逐步摸索中，祖先从混混沌沌的世界中走出来了。到了战国时期，祖先们的数学知识已远远超出了会数1~3000的水平。这一阶段他们在算术、几何，甚至在现代应用数学的领域，都开始了耕耘播种。算术领域，四则运算在这一时期内得到了确立，乘法中诀已经各种著作中零散出现，分数计算也开始被应用于种植土地、分配粮食等方面。几何领域，出现了勾股定理。代数领域，出现了负数概念的萌芽。当历史推进到秦汉时期，我们发现，这一时期在算术方面乘除法算例明显增多，还出现了多步乘除法和趋于完整的九九乘法中诀。在几何方面，对于长方形面积的计算以及体积计算的知识也具备了。（2）中国数学的发展繁荣时期（西汉末期~隋朝中叶）（3）这是中国数学理论的第一个高峰期。这个高峰的标志就是数学专著《九章算术》的诞生。这本书的诞生，不仅说明我国古代完整的数学体系已经形成，而且在世界上，当时也很难找到另一本能同媲美的数学专著。在这一数学理论发展的高峰期，除了《九章算术》这部巨著之外，还出现祖冲之的《缀术》等数学专著。这一时期，创造数学新成果的杰出人还有三国人赵爽、魏晋人刘徽。（3）数学全盛时期（隋中叶~元后期）从隋朝中叶到元代末年，经济和科学技术得到了迅速的发展，而作为科学技术一部分的数学，也在此时进入了它的全盛时期。在这一时期，数学教育的正规化和数学人才辈出，是最主要的特点。隋以前，学校里的教育并不重视数学，而到了隋朝，这一局面被打破了，在相当于大学的学校里，开始设置算学专业。到了唐朝，最高学府国子监，还添设了算学馆，其中博士、助教一应俱全，专门培养数学人才。数学教育从这时开始也走向逐步完善。科学历来是全人类共同的财富，当时中国的数学水平很快引起了朝鲜、日本的注意，他们开始往中国派留学生、书商。经过一段学习，在算法引进了关于田亩、交租、谷物交换等知识；在办学中吸取了国子监的课程设置和考试制度。由此看来，在这一阶段，我国已处于世界数学发展的潮头了。（4）缓慢发展时期（元后期~清中期）后来到元后期至清中期数学的发展十分缓慢，和上面讲的数学盛世相比，这一阶段几乎是黯然失色了。从宋朝末年到元朝建立中央集权制，中国大地上烽火连年，科学技术不受重视，大量宝贵的数学遗产遭受损失。明朝建立以后，生产曾在一个短暂时期里有所发展，但马上又由于封建统治的腐败，走向了衰

数学发展史

数学发展简史数学是人类最古老的科学知识之一。就人类对数的认识和运用来看，一般讲从公元前3000年左右的埃及象形文字就已开始，迄今已有5000年的历史。那么到底什么是数学呢？实际上数学是一门历史性很强的科学或者说累积性很强,它的内涵随着时代的变化而变化,给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。从公元前4世纪的希腊哲学家亚里士多德到17世纪的笛卡儿、19世纪的恩格斯、20世纪的罗素等很多数学家都曾给数学下过定义。用的较多也较容易理解的是恩格斯的定义。他说，数学,是研究数量关系与空间形式的一门科学。 20世纪80年代的一批美国学者将数学定义为：数学这个领域已被称作模式的科学，其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。这一定义以其高度的概括性，已日益引起关注并获得大多数数学家的认同与接受。第一阶段：数学的萌芽阶段（公元前3000年—公元前600年）这一阶段，我们称之为数学的萌芽阶段，或者说准学科阶段。在这一阶段里，数学还没有发展成为一门有明确结构的独立的理性的学科，还不具备抽象，还没有方法论，还没有论证和推理。数学文化在这一阶段的杰出代表是古巴比伦数学、中国数学、埃及数学、印度数学等。这一阶段的世界数学文化呈一种多元发展态势。第二阶段：数学的形成阶段（公元前5世纪—公元16世纪）这一阶段，通常称之为数学科学的形成时期，它的开始是以希腊人的出场为典型标志，结束于公元16世纪，也就是在变量数学产生之前，人们常称此阶段为常量数学阶段，也就是数学学科完成了以常量为主要内容的框架体系。这一时期，希腊数学家取得辉煌成绩，他们引入了证明，提出了抽象，发现了自然数，发现了无理数（注：这是数学史上第一次危机。《原本》第五卷中将

数学的发展历史知识讲解

数学的发展历史数学是一门伟大的科学，数学作为一门科学具有悠久的历史，与自然科学相比，数学更是积累性科学，它是经过上千年的演化发展才逐渐兴盛起来。同时数学也反映着每个时代的特征，美国数学史家克莱因曾经说过:"一个时代的总的特征在很大程度上与这个时代的数学活动密切相关。这种关系在我们这个时代尤为明显"。"数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说"。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。而数学的历史更从另一个侧面反映了数学的发展。但有一点值得注意的是，人是这一方面的创造者，因此人本身的作用起着举足轻重的作用，首先表现为是否爱数学，是否愿为数学贡献毕生的精力。正是这主导着数学。数学史是研究数学发展历史的学科，是数学的一个分支，和所有的自然科学史一样，数学史也是自然科学和历史科学之间的交叉学科。数学史和数学研究的各个分支，和社会史与文化史的各个方面都有着密切的联系，这表明数学史具有多学科交叉与综合性强的性质。数学出现于包含著数量、结构、空间及变化等困难问题内。一开始，出现于贸易、土地测量及之后的天文学；今日，所有的科学都存在着值得数学家研究的问题，且数学本身亦存在了许多的问题。而这一切都源于数学的历史。数学的演进大约可以看成是抽象化的持续发展，或是题材的延展。从历史时代的一开始，数学内的主要原理是为了做测量等相关计算，为了了解数字间的关系，为了测量土地，以及为了预测天文事件而形成的。这些需要可以简单地被概括为数学对数量、结构方面的研究。数学从古至今便一直不断地延展，且与科学有丰富的相互作用，并使两者都得到好处。数学在历史上有着许多的发现，并且直至今日都还不断地发现中。数学发展具有阶段性，因此根据一定的原则把数学史分成若干时期。目前通常将数学发展划分为以下五个时期： 1．数学萌芽期（公元前600年以前）； 2．初等数学时期（公元前600年至17世纪中叶）； 3．变量数学时期（17世纪中叶至19世纪20年代）； 4．近代数学时期（19世纪20年代至第二次世界大战）； 5．现代数学时期（20世纪40年代以来）

1数学史试题及答案

填空 1．世界上第一个把π计算到＜π＜的数学家是祖冲之 2．我国元代数学著作《四元玉鉴》的作者是(朱世杰 3．就微分学与积分学的起源而言(积分学早于微分学) 4．在现存的中国古代数学著作中，最早的一部是(《周髀算经》 5．发现著名公式e iθ=cosθ+isinθ的是( 欧拉 6．中国古典数学发展的顶峰时期是(宋元时期)。 7．最早使用“函数”(function)这一术语的数学家是(.莱布尼茨)。 8．1834 年有位数学家发现了一个处处连续但处处不可微的函数例子，这位数学家是(波尔查诺)。9．古埃及的数学知识常常记载在（纸草书上）。 10．大数学家欧拉出生于（瑞士） 11．首先获得四次方程一般解法的数学家是(费拉利。 12．《九章算术》的“少广”章主要讨论（开方术）。 13．最早采用位值制记数的国家或民族是(美索不达米亚)。 14．希尔伯特在历史上第一次明确地提出了选择和组织公理系统的原则，即：相容性、__完备性__、独立性 15．在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的一部。卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了勾股定理的一般形式。 16．二项式展开式的系数图表，在中学课本中称其为__杨辉__三角，而数学史学者常常称它为_贾宪__三角。

17．欧几里得《几何原本》全书共分13 卷，包括有_5_条公理、_5条公设。 18．两千年来有关欧几里得《几何原本》第五公设的争议，导致了《非欧几何》的诞生。1 9.阿拉伯数学家花拉子米的《代数学》第一次给出了一次和二次方程的一般解法，并用__几何__方法对这一解法给出了证明。 20．在微积分方法正式发明之前，许多数学家的工作已经显示着微积分的萌芽，如开普勒的旋转体体积计算、巴罗的微分三角形方法以及瓦里士的曲线弧长的计算等。语言的数学家是维尔斯特拉斯。 21．1882 年德国数学家林德曼证明了数的超越性。 22．数学家们为研究古希腊三大尺规作图难题花费了两千年的时间， 23．罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点，至少有两条年德国数学家林德曼证明了数直线与已知直线平行，而且在该几何体系中，三角形内角和__小于___两直角。 24．被称为“现代分析之父”的数学家是柯西，被称为“数学之王”的数学家是高斯 25．第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家帕斯卡于1642 年发明的。 26．1900年，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出了_23__ 个尚未解决的数学问题，在整个二十世纪，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。 27．首先将三次方程一般解法公开的是意大利数学家_卡当__，首先获得四次方程一般解法的数学家是__费拉利。 28．欧氏几何、罗巴契夫斯基几何都是三维空间中黎曼几何的特例，其中欧氏几何对应的情形是曲率恒等于零，罗巴契夫斯基几何对应的情形是曲率为负常数。 29．中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《九章算术》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的__赵爽__。 30．世界上讲述方程最早的著作是(中国的《九章算术》) 31．《数学汇编》是一部荟萃总结前人成果的典型著作，它被认为是古希腊数学的安魂曲，其作者为(.帕波斯)。

浅析中国数学发展史

浅析中国数学发展史摘要：数学发展史就是数学这门学科的发展历程。人们的思想在不断的发生变化，数学中的很多思想也是人类不断发展的体现。本文围绕中国数学的发展历程和思想进行了简单的概括和论述。介绍了从古至今中国数学的发展历程，讲述了中国数学思想的特点及中国数学对世界的影响以及中外数学文化的交流影响，总结了从数学发展史中得到的启示。关键词：中国数学史、数学思想、数学历史一、中国古代数学数学在中国历史久矣。在殷墟出土的甲骨文中有一些是记录数字的文字，包括从一至十，以及百、千、万，最大的数字为三万；司马迁的史记提到大禹治水使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，而且知道“勾三股四弦五”；据说《易经》还包含组合数学与二进制思想。2002年在湖南发掘的秦代古墓中，考古人员发现了距今大约2200多年的九九乘法表，与现代小学生使用的乘法口诀“小九九”十分相似。算筹是中国古代的计算工具，它在春秋时期已经很普遍；使用算筹进行计算称为筹算。中国古代数学的最大特点是建立在筹算基础之上，这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。乘除的运算规则在后来的"孙子算经"(公元三世纪)内有了详细的记载。中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。"孙子算经"用十六字来表明它，"一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。"和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。现有的史料指出，中国古代数学书"九章算术"(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，"九章算术"的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。中国数学发展繁荣时期大约在西汉末期至隋朝中叶。这是中国数学理论的第一个高峰期。这个高峰的标志就是数学专著<九章算术>的诞生。至少有1800年的《九章算术》，其作者是谁？由谁编纂？至今无从考证。史学家们只知道，它是中国秦汉时期一二百年的数学知识结晶，到公元1世纪时开始流传使用。中国数学的全盛时期是隋中叶至元后期。在

浅谈数学发展史中的三次“危机”

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