单级倒立摆的智能控制及其GUI动画演示

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论文题目：单级倒立摆的智能控制及GUI动画演示姓名：XX

系别：机电工程系

专业：电气工程及其自动化

班级、学号：

指导教师：xxx

倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、动态系统，对于倒立摆的控制研究无论在理论上和方法上都有深远的意义。

本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介绍倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性如何构成；研究倒立摆系统的几种控制方式，并设计出对应的控制器，以MATLAB软件为平台为，经行大量的模拟仿真实验，对不同控制方法的效果及优缺点作出总结；利用MATLAB软件中的GUI组件设计出模拟的倒立摆系统演示系统，让大家能直观的了解控制方法的作用。

关键词：倒立摆，PID控制器，MATLAB，GUI

Inverted Pendulum System is a typical multivariable, nonlinear, fast, dynamic system.On inverted pendulum control both in theory and methodology will have far-reaching significance.

The main research content of this article : Roughly describe the current situation of research of automatic control and Inverted Pendulum System, introduce the hardware components of Inverted Pendulum System, model the Single Inverted Pendulum System and analyze the formation of the stability. Research on several types of Inverted Pendulum System controlling, and design the dedicated controller for corresponding type. Based on mass test result on Malatb platform, summarize the advantages and disadvantages of different type of controlling. Using the GUI component of Malatb Software design the mimetic demo system of Inverted Pendulum System. In order to let everyone can intuitive understand the role of control method.

Keywords:Inverted Pendulum, PIDController,Malatb , GUI

目录

摘要................................................................................................. I Abstract .............................................................................................. II 1 绪论. (1)

1.1 课题研究背景及意义 (1)

1.2 倒立摆系统介绍及其研究意义 (1)

1.3本论文的主要工作 (2)

2 单级倒立摆的数学模型 (3)

2.1 模型的推导原理 (3)

2.2单级倒立摆系统描述 (3)

2.3 单级倒立摆系统数学建模 (4)

2.4 本章小结 (5)

3 最优控制方法设计 (6)

3.1 最优控制概述 (6)

3.2 最优控制器的设计 (7)

3.3 最优控制MATLAB仿真 (10)

3.4 本章小结 (14)

4 单级倒立摆的PID控制系统设计 (16)

4.1 PID控制概述 (16)

4.2 PID控制系统设计的原理 (17)

4.3 摆杆角度控制 (18)

4.4 小车位置控制 (19)

4.5 PID控制算法的MATLAB仿真 (20)

4.6 本章小结 (24)

5 基于GUI的倒立摆LQR控制动画演示 (25)

5.1 GUI介绍 (25)

5.2 演示程序的构成 (25)

5.3 主程序的实现 (25)

5.4 演示界面的设计 (26)

5.5 演示过程 (27)

5.6本章小结 (28)

6 结论 (29)

致谢 (30)

参考文献 (31)

附录 (33)

1 绪论

1.1 课题研究背景及意义

控制理论的发展，起于“经典控制理论”。早期最有代表性的自动控制系统是18世纪的蒸汽机调速器。20世纪前，主要集中在温度、压力、液位、转速等控制。20世纪起，应用范围扩大到电压、电流的反馈控制，频率调节，锅炉控制，电机转速控制等。二战期间，为设计和制造飞机及船用自动驾驶仪、火炮定位系统、雷达跟踪系统及其他基于反馈原理的军用装备，促进了自动控制理论的发展。至二战结束时，经典控制理论形成以传递函数为基础的理论体系，主要研究单输入-单输出、线性定常系统的分析问题。经典控制理论的研究对象是线性单输入单输出系统，用常系数微分方程来描述。它包含利用各种曲线图的频率响应法和利用拉普拉斯变换求解微分方程的时域分析法。这些方法现在仍是人们学习控制理论的入门之道[1][5][6]。

1.2 倒立摆系统介绍及其研究意义

倒立摆控制系统[2]是一个非线性动态系统, 是作为理论教学及开展各种控制实验的理想平台。许多抽象的控制概念如控制系统的稳定性、可控性、系统收敛速度和系统抗干扰能力等，都可以利用倒立摆系统直接的展现出来。除了用于教学，在自动控制领域中，倒立摆系统的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性使得许多现代控制理论的研究人员一直将它作为研究对象。他们通过对倒立摆系统的研究出新的控制方法，并将其应用于航天科技和机器人学等各种高新科技领域。倒立摆仿真或实物控制实验，已成为检验一个新的控制理论是否有效的试金石，同时也是产生一个新的控制方法必须依据的基础实验平台[3]。

常见的倒立摆系统一般由小车和摆杆两部分构成，其中摆杆可能是一级、两级甚至多级。在复杂的倒立摆系统中，摆杆长度和质量均可变化。据研究的目的和方法不同，又有悬挂式倒立摆、球平衡系统和平行式倒立摆等倒立摆的研究具有重要的工程背景。机器人行走倒立摆系统。从日常生活中所见到的任何重心在上、也是支点在下的控制问题，到空间飞行器和各类伺服云台的稳定，都和倒立摆系统的稳定控制有很大相似性，故对其稳定控制在实际中有很多用场，如海上钻井平台的稳定控制、卫星发射架的稳定控制、火箭姿态

控制、飞机安全着陆、化工过程控制等[4]。

1.3本论文的主要工作

一、为了对被控对象有一个充分的认识，文中首先建立了倒立摆系统的数学模型，并线性化处理了在平衡点的系统，得到了倒立摆系统的线性化模型;在此模型的基础上，对系统的稳定性、能控性和能观性进行分析，阐述了倒立摆系统的运动规律和各个变量之间的相互关系。

二、目前有多种方法可以稳定控制倒立摆系统，本文主要简述了两种常见的控制器，包括PID控制和最优LQR控制，基于上述理论方法设计了控制器，并实现了对倒立摆的MATLAB仿真，分析了它们的特点。

三、通过MATLAB中的GUI工具设计出倒立摆最优LQR控制的模拟效果动画。

2 单级倒立摆的数学模型

2.1 模型的推导原理

推导控制系统的数学模型有两种基本方法。方法一，对系统各部分的运动机理进行分析，根据它们所依据的物理规律建立对应的运动方程，整合后即成为描述整个系统的方程。方法二，通过给系统施加某种测试参数，记录其输出，并用适当的数学模型去逼近，这种方法适用于系统运动过程复杂因而难以分析或不可能分析的情况。

系统的建模原则：

（1）建模之前，要对系统的特征和运动机理进行一个全面细致的了解，确定研究的目标以及系统对于准确性要求，分析时选用正确的方法。

（2）按照确定的分析法，确定建立何种数学模型；

（3）系统规定的误差范围内，对分析方法的准确性进行考量，然后建立简洁正确的数学模型。因为倒立摆有比较规则的形状，并且是一个极不稳定的动态系统，且不能利用通过测量其频率特性来获取数学模型，因此非常适合利用数学工具对其进行进行理论推导。

2.2单级倒立摆系统描述

在控制理论研究中经常把小车倒立摆系统作为研究对象，研究过程中只要认定是小车倒立摆系统，即认为数学模型已经定型。并且小车倒立摆的数学模型与驱动系统有关，因此此模型只适用于执行机构是直流电机的情况下，并不适用于交流电机驱动的倒立摆系统。本文分析的倒立摆系统即为直流电机作为动力核心。小车倒立摆系统是检验控制方式好坏的一个典型对象，其特点是高阶次、不稳定、非线性、强耦合，只有采取有效的控制方式才能稳定控制。

L

1

小车M

u

x

2.1单级倒立摆系统的原理图

图中u 是施加于小车的水平方向的作用力，x 是小车的位移，θ是摆的倾斜角。若不给小车施加控制力，倒摆会向左或向右倾斜，控制的目的是当倒摆出现偏角时，在 水平方向上给小车以作用力，通过小车的水平运动，使倒摆保持在垂直的位置。即控制系统的状态参数，以保持摆的倒立稳定。

2.3 单级倒立摆系统数学建模

为了建立倒立摆系统的数学模型，先作如下假设: （1）倒立摆与摆杆均为匀质刚体。 （2）忽略倒立摆运动过程中的摩擦。 2.3.1结构参数

倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制力作用在它的上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在平面内运动。控制力u 作用于小车上。摆杆长度为L ，质量为m ，小车的质量为M ，小车瞬时位移为x ，摆杆瞬时位置为()θsin ×+l x ，在外力的作用下，系统产生运动。假 设摆杆的重心位于其几何中心。设输入为作用力u ，输出为摆角θ。

2.3.2系统的运动方程

图2-2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中监测和执行机构的正负方向已经事先确定，因此得到如下矢量方向定义图，图中箭头所指方向即为倒立摆系统的矢量正方向。

应用Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下：

分析小车水平方向所受的合力，可以得到方程：N x b F x M --=

小车

M

x

x

bx

N

F

P

θ

1L N

mg

P

（a)小车隔离受力图 （b ）摆杆隔离受力图

图2-2小车和摆杆的受力分析图

通过对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

2

2(sin )d N m x l dt

θ=+ （2-1）

即：2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-

把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程：

F ml ml x b x m M =-+++θθθθsin cos )(2

（2-2） 接下来推出系统的第二运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行了分析，得到下面方程：

2

2(cos )d P mg m l dt

θ-=- （2-3）

即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+ （2-4） 力矩平衡方程如下：

θθθ I Nl Pl =--cos sin （2-5）

注：上式中力矩的方向，由于θφθφφπθsin sin ,cos cos ,-=-=+=，故等式前面有负号。

合并这两个方程，经过处理，得到第二个运动方程：

θθθc o s s i n )(2x ml mgl ml I -=++ （2-6）

2.4 本章小结

因为倒立摆系统具有非常典型的非线性、变量多以及不稳定性，以倒立摆系统作为被控对象的控制系统可以直观的表现许多抽象的控制概念。因此这一章的目的是建立单级倒立摆的数学模型，通过对倒立摆数学模型的推导，加深对系统建模和模型线性化问题的了解，同时对系统建立数学模型也是一个系统分析、设计的前提，一个准确又简练的数学模型可以极大的减少后期的工作量，降低解决问题的难度。

3 最优控制方法设计

3.1 最优控制概述

控制系统的最优控制问题一般提法为：对于通过动态方程来描述的系统，在特定的初始和最终状态条件下，在系统所规定的控制系统集合中寻找一个控制，令测试系统的性能目标函数最优化。

最优控制问题的完整描述要包括以下个方面。

（1）系统的动态方程，大多数情况下只需要有系统的状态方程。对于连续的系统，其状态方程为

()()()()t t u t x f t x ,,= （3-1）

对于离散系统，其状态方程为

()()()()k k u k x f k x ,,1=+ （3-2）

系统状态方程指出了系统内部状态由于系统控制输入的改变而变化，或者说是内部状态的一种约束关系。

（2）系统状态的始端和终端条件。系统的状态方程定义了系统状态在整个控制过程中的约束关系，始端和终端条件却给出了系统状态在系统控制开始和结束时刻的约束条件。端点条件包括以下三种类型：固定端、自由端、和可变端。

固定端就是指时间和状态值都确定的端点。例如，初始时间0t 及其初始状态()0t X 都固定就是称初始固定条件，

而终端时间f t 及其终端状态()f t X 都固定就称终端固定条件。一般来说，最简单的状态就是始、终端都确定的状态。

自由端是指端点时间固定，但端点的状态值不受任何限制。分为始端或终端自由两种。

可变端就是端点时间及其状态值都不确定的端点。但它一般都有一定的约束条件，例如()0=f t C ，或()[]

0,=f f t t X N 。

（3）系统控制域。在实际控制系统中，控制输入()t u 通常是无法任意取值的，例如作为伺服电机，其输出力矩就有最大力矩的限制。因此多数最优控制问题中，必须给定一个允许的控制域。

（4）系统目标泛函，即系统的性能指标。因为最优控制问题中的性能指标一般都是一个函数的函数，即泛函，所以称系统目标泛函。

对于连续时间系统，目标泛函一般为

()()()()()?+Φ=f t t f dt t t u t x L t x J 0

,, （3-3）

对于离散时间系统，目标泛函一般为

()()()()()∑-=+Φ=1

0,,l k k k u k x L l x J （3-4）

以上泛函称为综合型，其第一部分表示对系统的终端状态的要求，而第二部分表示对系统的整个控制过程的要求。

如果系统目标泛函只取以上指标中的第一项，即

()()f t x J Φ= （3-5）

或

()()l x J Φ= （3-6）

那么称为终端型性能指标。反之若只取其中第二部分，即

()()()?=f

t t dt t t u t x L J 0,, （3-7）

或

()()()∑-==1

0,,l k k k u k x L J （3-8）

则称为积分型性能指标。

最优控制问题就是在上述（1），（2），（3）点所定义的问题空间内找到一个控制()t U ，使得系统目标泛函J 达到最大或最小。这样的控制()t U 就称为系统的最优控制()t U *，将()t U *代入系统方程就可以解得系统的状态轨迹()t X *。

3.2 最优控制器的设计

我们的输入是脉冲量，并且在设计控制器时，只能对摆杆的角度进行控制，而对小车的位移并不做考量。但是，对一个倒立摆系统来说，把它作为单输出系统是不严谨也不够科学，因此如果将倒立摆系统作为多输出系统来设计，用状态空间法分析要相对简单一些，在这一节我们将设计一个对摆杆角度和小车位移都

进行控制的系统。下面的公式即倒立摆系统的状态方程：

Du

CX Y Bu AX X

+=+= （3-9）

设定倒立摆的相关参数为：

M 小车质量

0.5 Kg

m 摆杆质量 0.2 Kg b 小车摩擦系数

0.1 N/m/sec

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3 m

I 摆杆惯量 0.006 kg*m*m T 采样时间

0.005秒

根据以上的条件，可建立如下的状态方程系数矩阵：

???????

??

???--=01818

.314545.00100006727.21818.000010

A ；?????

?

??????=5455.408182.10B ；??????=01000001C ；??

????=00D

最优控制的前提条件是系统是能控的，下面来判断一下系统的能控能观性。 系统的能控矩阵的秩 23[]4rank B AB A B A B =。 系统的能观矩阵的秩 23[]4rank C CA CA CA =。

故系统是能控能观的。因此通过给系统加上最优控制器可以使得系统闭环稳定，同时符合暂态性能指标。采用LQR 最优控制算法进行控制器设计时，关键就是取得反馈向量K 的值，而通过上节推导可知，设计系统状态反馈控制器时，主要的问题同样是二次型性能指标泛函中加权矩阵Q 和R 的取值。如何才能使问题思路清晰并且加权矩阵具有比较明确的物理意义是设计关键。

在这里我们令Q 取为对角阵。假设

?????

??

??

???=443322110

00

00000

0000Q Q Q Q Q ；][r R =

这样得到的性能指标泛函为

[

]

?∞

++++=0

22

444233322222111dt ru x Q x Q x Q x Q J （3-10）

由上式可以看出，ii Q 是对i x 的平方的加权，ii Q 的相对增加就代表了对i x 的要求更加严格，占据了更大比重的性能指标，也就是减小了i x 的偏差状态。

r 是对控制量u 的平方加权，当r 相对较大时，代表了控制费用增加，此时

控制能量较小，反馈减弱，系统动态反应迟缓，但是当r 值变小时，系统的控制费用也相应减小，此时反馈增加，系统动态响应更加迅速。

由于一阶倒立摆系统在运行过程中，系统的输出量x 和φ作为主要的被控量，由于11Q 代表小车位置的权重，而33Q 是摆杆角度的权重，因此在选取加权对角阵Q 的各元素值时，只选取了11Q 、33Q ，而04422==Q Q 。

但是在选取Q 和R 时需要注意以下几点：

（1）我们采用的系统模型是线性化的结果，所以要求系统能够在线性范围内工作，此时各状态量不应过大。

（2）为了克服系统的非线性摩擦，闭环系统需要一对共轭复数极点，但系统对噪声过于敏感，因此需要控制系统主导极点的模在一定范围内避免系统频带过宽，导致系统不能正常工作。

（3）加权矩阵R 的减小，会导致大的控制能量，应注意控制U 的大小，将系统执行机构的能力控制在额定范围内，避免放大器处于过饱和状态。

控制系统如图3-1所示，图中R 是施加在小车上的阶跃输入，四个状态量分

别是小车位移x 、小车速度x

、摆杆位置φ和摆杆角速度φ ，输出[]'=φ,x y 包括小车位置和摆杆角度。我们要设计的目标是，当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，但通过控制器的调整然后回到垂直位置，并且小车到达新的命令位置。

x Ax By y Cx

=+=K

R

y

y

x

+

-

图3-1 控制系统图

3.3 最优控制MATLAB 仿真

最优控制仿真程序如下：

% ------ lqr1.m ------ % 最优控制

% 确定开环极点的程序如下 M = 0.5;m = 0.2;b = 0.1; I = 0.006;g = 9.8;

l = 0.3;p = I*(M+m)+M*m*l^2;

A = [0 1 0 0;0 -(I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0; 0 0 0 1;0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0];

B = [ 0; (I+m*l^2)/p; 0; m*l/p ];

C = [1 0 0 0;0 0 1 0];

D = [0; 0]; p = eig(A) % 求向量K x = 1;y = 1;

Q = [x 0 0 0;0 0 0 0; 0 0 y 0 0 0 0 0]; R = 1;

K = lqr(A,B,Q,R)

% 计算LQR 控制的阶跃响应并画出曲线 Ac = [(A-B*K)];Bc = [B]; Cc = [C] Dc = [D]; T = 0:0.005:5;

U = 0.2*ones(size(T));

% 求阶跃响应并显示，小车位置为虚线，摆杆角度为实线 [Y ,X] = lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T); plot(T,Y(:,1),':',T,Y(:,2),'-')

legend('Cart Position','Pendulum Angle') grid

% ------ end ------

（1）运行LQR1.M ，可以确定系统的开环极点为0、5.5651、-0.1428、-5.6041，可以看出有一个极点位于S 平面的右半部分，这说明开环系统不稳定。

（2）在取101144222211=====R Q Q Q Q ，，，的条件下，得到反馈控制向量

[]4594.36854

.186567

.10000

.1--=K

（3）LQR 控制的阶跃响应如图3-2所示。

其中，实线表示摆杆角度，虚线表示小车位置。从图中可以看出，系统响应

的超调量很小，而且摆杆的稳定和上升所消耗的时间偏长，小车向相反的方向移动是像预计的跟随摆杆移动。

0.51 1.52 2.53 3.54 4.55

-0.25-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0.05

0.1

Cart Position

Pendulum Angle

图3-2系统响应曲线

可以发现，在Q 矩阵中，增加11Q 降低摆杆稳定所消耗的时间和上升时间，并且使摆杆的摆动幅度减小。在这里取450011=Q ，在15033=Q ，则

[]20.226102.3405

36.2547

-67.082

-=K

响应曲线如图3-3所示。

0.51 1.52 2.53 3.54 4.55

-3-2

-1

1

2

3

x 10

-3

Cart Position Pendulum Angle

图3-3 系统响应曲线

此时，如果再增加11Q 和33Q 值，系统的响应还会改善。但在保证11Q 和33Q 足够小的情况下，系统响应已经满足要求了。

上述的设计中，是在输出信号得到反馈之后与系数矩阵K 相乘，然后再减去输入量，即可得到控制信号。但是，这样会导致输入和反馈的量纲相异，因此为了不发生这样的矛盾，我们可以给输入乘以一个增益NBar ，如图3-4所示

x Ax By y Cx

=+=K

R

y

y

x

+

-

ar

NB

图3-4 控制系统框图

此时具有量纲匹配的最优控制LQR 仿真文件LQR2.m 如下：

% 最优控制（量纲匹配） % 确定开环极点的程序如下 M = 0.5;m = 0.2; b = 0.1;I = 0.006; g = 9.8;

l = 0.3; I*(M+m)+M*m*l^2;

A = [0 1 0 0;

0 -(I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0;

0 0 0 1;

0 -(m*l*b)/p m*g*l*(M+m)/p 0];

B = [ 0; (I+m*l^2)/p; 0;m*l/p ];

C = [1 0 0 0;0 0 1 0];

D = [0;0]; p = eig(A);

% 求向量K

x = 5000;

y = 100;

Q = [x 0 0 0;

0 0 0 0;

0 0 y 0

0 0 0 0];

R = 1;

K = lqr(A,B,Q,R)

% 计算LQR控制矩阵

Ac = [(A-B*K)];

Bc = [B];Cc = [C];Dc = [D];

% 计算增益Nbar

Cn = [1 0 0 0];

Nbar = rscale(A,B,Cn,0,K);

Bcn = [Nbar*B];

% 求阶跃响应并显示，小车位置为虚线，摆杆角度为实线

T = 0:0.005:5;

U = 0.2*ones(size(T));

[Y,X] = Lsim(Ac,Bcn,Cc,Dc,U,T);

plot(T,Y(:,1),':',T,Y(:,2),'-')

legend('Cart Position','Pendulum Angle')

grid

% ------ end ------

在仿真的过程中需要用到输入/输出匹配系数函数rscale,由于它不是Matlab 工具，因此需要将其拷贝到rscale.m文件中，并将其与源文件LQR2.m一起复制到Matlab工作区内，方可正常仿真，rscale.m如下：

% ---- rscale.m ----

% 求取输入输出匹配系数

function[Nbar] = rscale(A,B,C,D,K)

s = size(A,1);

Z = [zeros([1,s]) 1];

N = inv([A,B;C,D])*Z';

Nx = N(1:s);

Nu = N(1+s);

Nbar = Nu + K*Nx; % ------ end ------

利用函数recale 来计算N ，运行程序，计算出：

K = -70.7107 -37.8345 105.5298 20.9238

即Nbar=rscale ()=0=n

K C B A rscale Nbar -70.7107 ,可以看出，事实上

Nbar 和K 向量中与小车位置x 对应的那一项相等。此时系统的响应曲线如图3-5所示：

0.51 1.52 2.53 3.54 4.55

-0.2-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.25

Cart Position Pendulum Angle

图3-5 系统响应曲线

从系统曲线上反映出，小车位置跟踪输入信号，并且摆杆超调足够小，稳态误差满足要求，上升时间和稳定时间也符合了设计指标。

3.4 本章小结

最优控制理论是现代控制理论中的重要内容，过去因为许多复杂的计算难以实现，但随着计算机技术的不断进步，复杂的计算可以通过计算机进行处理，因此最优控制在工程技术应用的越来越广泛。

而最用控制算法（LQR ）的目的是在一定性能指标下，使系统获得最佳的控制效果，达到最小的状态误差。

在仿真的过程中我首先对倒立摆系统如何缩短稳定时间和上升时间进行了仿真，通过不断的调试，使得系统的响应时间满足了设计要求。然后为了使系统

输入和反馈的量纲相互匹配，给输入乘以了增益Nbar，然后进行仿真之后使得小车位置跟踪输入信号，而且摆杆超调最够小，稳态误差满足了要求，上升时间和稳定时间也满足设计指标。