黑龙江省实验中学2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 文(含解析)
黑龙江省高二数学上学期期末考试试题 文（含解析）
一、选择题
1.命题“0x R ?∈，使0
02x e
x <+”否定是（ ）
A. x R ?∈，2x e x ≤+
B. x R ?∈，2x e x ≥+
C. x R ??，2x e x <+
D. x R ?∈，2x e x >+
【答案】B 【解析】 【分析】
由特称命题与全称命题的否定求解即可.
【详解】解：由特称命题的否定为全称命题可得：命题“0x R ?∈，使0
02x e x <+”否定是
“x R ?∈，2x e x ≥+”， 故选：B.
【点睛】本题考查了特称命题与全称命题的否定，属基础题.
2.(),2m ∈-∞-是方程22
152
x y m m +=-+表示的图形为双曲线的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
方程22
152
x y m m +=-+表示的图形为双曲线的充要条件为(5)(2)0m m -+<，
再判断“(),2m ∈-∞-”与 “(,2)(5,)m ∈-∞-?+∞”的充要性即可.
【详解】解：方程22
152
x y m m +=-+表示的图形为双曲线的充要条件为(5)(2)0m m -+<，
即2m <-或5m >，即(,2)(5,)m ∈-∞-?+∞， 又“(),2m ∈-∞-”能推出 “(,2)(5,)m ∈-∞-?+∞”
但 “(,2)(5,)m ∈-∞-?+∞”不能推出 “(),2m ∈-∞-”， 即“(),2m ∈-∞-”是 “(,2)(5,)m ∈-∞-?+∞”
的
充分不必要条件，
即(),2m ∈-∞-是方程22
152
x y m m +=-+表示的图形为双曲线的充分不必要条件，
故选：A.
【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，重点考查了充分必要条件，属基础题.
3.已知函数2
()3f x x =，则(3)f '= （ ）
A. 6
B. 12
C. 18
D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】
先求出导函数()f x '
，再计算导数值．
【详解】∵2
()3f x x =，∴()6f x x '=，∴(3)6318f '=?=．
故选：C ．
【点睛】本题考查导数的运算，掌握基本初等函数的导数公式和导数运算法则是解题基础． 4. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ） A. （￢p ）∨（￢q ） B. p∨（￢q ） C. （￢p ）∧（￢q ）
D. p∨q
【答案】A 【解析】
试题分析：由“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义可知是“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”,故应选A. 考点：复合命题的构成及运用.
【易错点晴】本题是一道命题的真假和复合命题的真假的实际运用问题.求解时先搞清楚所给的两个命题的内容,再选择复合命题的形式将所求问题的表达方式.首先欲求问题中的命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”的含义是指“有一位学员或两位学员没有降落”，因此将其已知两个命题的内容进行联系，从而将问题转化为“甲学员没有降落在指定范围或乙学员没有降落在指定范围”.
5.双曲线22
194
x y -=-的渐近线方程是（ ）
A. 32
y x =± B. 94y x =±
C. 23
y x =±
D. 4
9
y x =±
【答案】C 【解析】 【分析】
根据双曲线渐近线方程的求法，求得双曲线的渐近线.
【详解】焦点在y 轴上，双曲线的标准方程为22149
y x -=，2,3a b ==，所以渐近线方程2
3
y x =±.
故选：C
【点睛】本小题主要考查双曲线渐近线方程的求法，属于基础题.
6.已知椭圆C 的上、下顶点分别为1B 、2B ，左、右焦点分别为1F 、2F ，若四边形1122B F B F 是正方形，则此椭圆的离心率e 等于 A.
13
B.
12
C.
22
D.
32
【答案】C 【解析】
试题分析：设椭圆的方程为：
，则由题意可得
，所以椭圆的离心
率．
考点：椭圆离心率．
7.已知函数2sin ()x x
f x x
+=，则该函数的导函数'()f x =
A. 2
2cos x x x +
B. 22
cos sin x x x x x +-
C.
2
2cos sin x x x x
x
+- D. 2cos x x -
【答案】B 【解析】
由题意可得2222
(2cos )(sin )cos sin '()x x x x x x x x x
f x x x +-++-==
，故选B ． 8.过椭圆2
2
4520x y +=内一点(1,1)P 引一条恰好被P 点平分的弦，则这条弦所在直线的方程是（ ） A. 4590x y +-=
B. 5490x y +-=
C. 4510x y -+=
D.
5410x y --=
【答案】A 【解析】 由
2222
11224520,4520,
x y x y +=+=作差得
2222
121244()5()04(21)5(21)05
x x y y k k -+-=∴?+?=∴=-
4
1(1)5
y x ∴-=--∴ 4590x y +-=，选A.
点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB 所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB 的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k ，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
9.设12,F F 是双曲线2
2
13
y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且123||5||PF PF =，则
12PF F ?的面积等于( )
A. B. C. 6
D. 10
【答案】C 【解析】 根据双曲线定义
1222PF PF a -==，联立12
35PF PF =解得125,3PF PF ==，
由于
24c =，故12PF F ?为直角三角形，故面积为1
3462
??=.
10.若函数()2
12ln 2
f x x x a x =-+有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1a > B. 10a -<<
C. 1a <
D. 01a <<
【答案】D 【解析】 【分析】
求出函数的导数，结合二次函数的性质得到关于a 的不等式组，解出即可． 【详解】()f x 的定义域是（0，+∞），
()222a x x a
f x x x x
-+'=-+=
， 若函数()f x 有两个不同的极值点，
则()2
2g x x x a =-+在（0，+∞）由2个不同的实数根，
故1440
202a x ?=->???-=
>??
，解得：01a <<， 故选D ．
【点睛】本题考查了函数的极值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题． 11.若点P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的一个动点，B （3，2），则|PB|+|PF|的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B 【解析】 【分析】
利用抛物线的定义||PF 等于P 到准线的距离，数形结合即可求出答案.
【详解】抛物线2
4y x =的准线l 方程为1x =-，过点P 做PD l ⊥，垂直为D ，
||||||||||4PB PF PB PD BD +=+≥=，
当且仅当，,,
P B D三点共线时，等号成立.
故选:B
【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是基础题．
12.已知函数()
2
ln
,0
2,0
x
x
f x x
x x x
?
>
?
=?
?+
?
，若函数()(
y f x a a
=-为常数)有三个零点，则实数a 的取值范围为（）
A.
1
,
e
??
+∞
?
??
B.
1
1,
e
??
- ?
??
C.
1
{1}0,
e
??
-? ?
??
D.
1
(,1),
e
??
-∞-?+∞
?
??
【答案】B
【解析】
【分析】
分段函数，利用导数研究函数单调性，逐段分析函数单调性及极值、端点值；因为函数()(
y f x a a
=-为常数)有三个零点，则曲线()
y f x
=与直线y a
=有三个交点，结合()
y f x
=的值域分析，即可求解。
【详解】①当0
x>时，
ln
()
x
f x
x
=，
2
1ln
'()
x
f x
x
-
=，
令'()0
f x=，则x e
=
(0,)
x e
∴∈时，'()0,()
f x f x
>单调递增，
1
()(,)
f x
e
∈-∞；
(,)x e ∈+∞时，'()0,()f x f x <单调递增，1
()(0,)f x e
∈
②当0x ≤时，2
()2f x x x =+，二次函数，开口向上，对称轴1x =-，且(1)1,(0)0f f -=-=
(,1)x ∴∈-∞-时，()f x 单调递减，()(1,)f x ∈-+∞；(1,0)x ∈-时，()f x 单调递增，
()(1,0)f x ∈-.
因为函数()(y f x a a =-为常数)有三个零点，则曲线()y f x =与直线y a =有三个交点，则
1(1,)a e
∈-
故选：B.
【点睛】函数()y f x a =-有零点问题，转化为方程()f x a =的根的问题. 二、填空题
13.函数()x
f x xe =在0x =处的切线方程是________.
【答案】y x = 【解析】 【分析】
先求函数的导函数，再求斜率，然后利用直线的点斜式方程求解即可. 【详解】解：由函数()x
f x xe =，
求导可得()'
(1)x f x x e =+，
所以()'
01f
=，
又()00f =，
即函数()x
f x xe =在0x =处的切线方程是01(0)y x -=?-，即y x =，
故答案为：y x =.
【点睛】本题考查了导数的几何意义，重点考查了曲线在某点处的切线方程的求法，属基础题.
14.已知实数x ，y 满足06040x y y x y -≥??
+≥??+-≤?
，则2x +y 的最小值是_____；
【答案】-18
【解析】 【分析】
作出可行域后,根据目标函数的斜率找到最优解即可得到答案. 【详解】画出可行域，如图所示:
设z ＝2x +y 变形得y ＝﹣2x +z ，作直线y ＝﹣2x +z ， 由图知,当该直线过A （﹣6，﹣6）时,z 取得最小值﹣18； 则z ＝2x +y 的最小值是﹣18． 故答案
:18-.
【点睛】本题考查了简单的线性规划求最值,根据斜率关系找到最优解是解题关键,属于基础题.
15.已知抛物线C ： 2
4y x =的焦点为F ，直线l ： 1y x =-交抛物线于A ， B 两点，则AB
等于__________． 【答案】8 【解析】
由题意得F （1，0），所以直线l 过焦点，因此由焦点弦公式得AB 220
24
8sin sin 45p θ=
== 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若
00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02
p
PF x =+
；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关
系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．
16.若函数()1
ln f x x ax x
=++在[)1,+∞上是单调减函数，则a 的取值范围是________. 【答案】1,4
??-∞- ??
?
【解析】 【分析】
函数()1ln f x x ax x =++
在[)1,+∞上是单调减函数等价于()'
2110f x a x x
=+-≤在[)1,+∞上恒成立，再利用分离变量最值法求解即可.
【详解】解：因为函数()1
ln f x x ax x
=++， 所以()'
211f
x a x x
=
+-， 由函数()1
ln f x x ax x
=++在[)1,+∞上是单调减函数， 则()'
211
0f
x a x x
=
+-≤在[)1,+∞上恒成立， 即211
a x x
≤
-在[)1,+∞上恒成立， 设[)211
(),1,g x x x x
=
-∈+∞， 则[)2111
()(
),1,24
g x x x =--∈+∞， 当2x =时，min 1
()4
g x =-， 即14
a -
≤， 即a 的取值范围是1,4??-∞- ??
?
，
故答案为：1,4
??-∞- ??
?
.
【点睛】本题考查了函数导函数的求法，重点考查了利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题.
三、解答题
17.已知抛物线2
2(0)y px p =>的准线方程为1x =-. （Ⅰ）求p 的值；
（Ⅱ）直线:1l y x =-交抛物线于A 、B 两点，求弦长AB . 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）8. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）依已知得12p
=，所以2p =；（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由214y x y x
=-??=?消去y ，
得2610x x -+=,再利用韦达定理求弦长AB . 【详解】（Ⅰ）依已知得
12
p
=，所以2p =； （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由21
4y x y x
=-??=?消去y ，得2610x x -+=，
则126x x +=，121x x =， 所以
AB =
=
=
8==.
【点睛】本题主要考查抛物线的
简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.
18.已知直线l 的参数方程是12{
()2
x t y t
=
+=-是参数，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4π
ρθ+．
（1）求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；
（2）设圆C 与直线l 交于A 、B 两点，若P 点的直角坐标为(1,0)
，求PA PB +的值． 【答案】（1）直线l 的方程为10x y +-=,圆C 的方程为()()2
2
112x y -++=（2）
PA PB +=