高中数学综合测试题及答案
必修4综合检测
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列命题中正确的是（ ）
A ．第一象限角必是锐角
B ．终边相同的角相等
C ．相等的角终边必相同
D ．不相等的角其终边必不相同 2．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ）
A ．
3
π B ．－
3
π C ．
6π D ．－
6
π 3．已知角α的终边过点()m m P 34，
-，()0≠m ，则ααcos sin 2+的值是（ ） A ．1或－1 B ．
52或52- C ．1或52- D ．－1或5
2 4、若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是（ ）
A.35(,)(,)244
πππ
πU B.5(,)(,)424ππππU
C.353(,)(,)2442ππππU
D.33(,)(,)244
πππ
πU
5. 若|2|=a ，2||=b 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ）
（A ）6
π
（B ）
4π （C ）3π
（D ）π12
5 6.已知函数B x A y ++=)sin(??的一部分图象如右图所示，如果2
||,0,0π
??<
>>A ，则（ ）
A.4=A
B.1=?
C.6
π
?=
D.4=B
7. 设集合{}x y y x A 2sin 2|)(==，，集合{}x y y x B ==|)(，，则（ ） A ．B A ?中有3个元素 B ．B A ?中有1个元素 C ．B A ?中有2个元素 D ．B A ?R = ８．已知==
-∈x x x 2tan ,5
4
cos ),0,2
(则π
（ ）
A ．
24
7
B ．24
7-
C ．7
24
D ．7
24-
9. 同时具有以下性质：“①最小正周期实π；②图象关于直线x ＝π3对称；③在[－π6，π
3]上是增函数”的一个函数是 （ ）
A. y ＝sin(x 2＋π
6)
B. y ＝cos(2x ＋π
3)
C. y ＝sin(2x －π6)
D. y ＝cos(2x －π
6)
10. 设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki －4j,若a ⊥b ，则实数k 的值为（ ） A ．－6 B ．－3 C ．3 D ．6
11. 函数)34cos(3)34sin(3x x y -+-=π
π的最小正周期为 （ ）
A ．3
2π
B ．3
π
C ．8
D ．4
12. 20XX 年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是θθ22cos sin ,251
-则的值等于（ ）
A ．1
B ．2524-
C ．257
D ．－25
7
二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 已知3
3
22
cos
2
sin
=
+θ
θ
，那么θsin 的值为 ，θ2cos 的值为 。 14. 已知|a|=3,|b|=5, 且向量a 在向量b 方向上的投影为
12
5
，则a·b= 。 15. 已知向量OP X OB OA OP 是直线设),1,5(),7,1(),1,2(===上的一点（O 为坐标原点），那么?的最小值是___________________。 16．给出下列6种图像变换方法：
①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
2
1
；②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移3π个单位；④图像向左平移3
π
个单位；⑤图像向
右平移32π个单位；⑥图像向左平移3
2π
个单位。请写出用上述变换将函数y = sinx 的图像变
换到函数y = sin (2x +3
π
)的图像的一个变换______________．(按变换顺序写上序号即可)
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明或演算步骤） 17、（12分）已知cos(α－2β)=19-,sin(2αβ-)=2
3
,且α∈(2π,π),β∈(0,2π),求cos 2αβ+的值. 18. (12分)已知4
34π
<α<π，40π<β<，53)4cos(-=+απ，135)43sin(=β+π，求()βα+sin 的
值.
19.（12分）已知向量)23sin 23(cos
x x ，=a ，)2
sin 2(cos x
x -=，b ，)13(-=，c ，其中R ∈x ．（Ⅰ）
当b a ⊥时，求x 值的集合；（Ⅱ）求||c a -的最大值。
20、（12分）已知函数.,12sin sin 2)(2R x x x x f ∈-+=
（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 取得最大值时x 的集合； （2）在平面直角坐标系中画出函数)(x f 在],0[π上的图象. 21、（12分）设、是两个不共线的非零向量（R t ∈）
（1）记),(3
1
,,t +===那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？
（2）若ο1201||||夹角为与且==，那么实数x 为何值时||x -的值最小？
22、（14分）某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向200km 的海面P 处，并正以20km/h 的速度向北偏西θ方向移动（其中19
cos 20
θ=
）,台风当前影响半径为10km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？
参考答案C2. D3．B 4、B 5、B 6、C 7、A8、D 9、C. 10、D11、A12、D
１３、31，9
7
14、12 15．－8 16． ④②或②⑥
17、已知cos(α－2β)=19-,sin(2αβ-)=2
3
,且α∈(2π,π),β∈(0,2π),求cos 2αβ+的值. 18. 解：∵
4
34π
<
α<π ∴π<α+π<π42 又5
3)4cos(-=α+π ∴54)4sin(=α+π
∵40π<β< ∴π<β+π<π4343 又13
5
)43sin(=β+π ∴13
12
)43cos(-=β+π
∴sin(α + β) = -sin[π + (α + β)] = )]4
3()4sin[(β+π
+α+π-
)]43sin()4cos()43cos()4[sin(β+πα+π+β+πα+π-=65
63
]13553)1312(54[=?--?-=
１９解：（Ⅰ）由b a ⊥，得0=?b a ，即02
sin 23sin 2cos 23cos =-x
x x x ．…………4分
则02cos =x ，得)(4π
2πZ ∈+=
k k x ．…………………………………5分 ∴ ?
??
???∈+=
Z k k x x ，4π2π|为所求．…………………………………6分 （Ⅱ）+-=-22)323(cos
||x c a =+2)123(sin x )3
π
23sin(45-+x ，……………10分
所以||c a -有最大值为3．……………………………………………………12分 ２０解：（I ）x x x x x x x f 2cos 2sin )sin 21(2sin 12sin sin 2)(22-=--=-+=
=)42sin(2π
-x …………………………5分
所以)(x f 的最小正周期是π……………6分
∈x Θ R ，所以当∈+
=+
=-
k k x k x (8
3,2
24
2π
ππ
ππ
即Z ）时，)(x f 的最大值为2. 即)(x f 取得最大值时x 的集合为∈+
=k k x x ,8
3|{π
πZ}………………8分 （II ）图象如下图所示：（阅卷时注意以下3点）
1．最小值2)8
3(
=π
f ， 最小值2)8
7(-=π
f .………………10分 2．增区间];,8
7[],83,
0[ππ
π 减区间]8
7,83[
π
π……………………12分 3．图象上的特殊点：（0，－1），（1,4π），（1,2π），)1,(),1,4
3(--ππ
………14分
[注：图象上的特殊点错两个扣1分，最多扣2分]
21、解：（1）A 、B 、C 三点共线知存在实数OB OA OC )1(,λλλ-+=使 即b t a b a )1()(3
1
λλ-+=+，…………………………………………………4分 则2
1
,31==t 实数λ………………………………………………………………6分
（2）,2
1
120cos ||||-=?=?οb a b a
,12||22
222++=??-?+=-∴x x b a x b x a b x a ……………9分
当2
3||,21取最小值时b x a x --=………………………12分
22、解：如右图，设该市为A ，经过t 小时后台风开始影响该城市，
则t 小时后台风经过的路程PC ＝（20t ）km ，台风半径为CD ＝（10+10t ）km ，需满足条件：CD ≥AC
θ20020t
10+10t
10北
A
P C D E
2222222()2||||||2||||cos AC PC PA PC PA PA PC
AC PC PA PA PC θ
=-=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g g 22219
200(20)22002040000400760020
t t t =+-=+-g g g
∴222400004007600(1010)t t CD t +-≤=+ 整理得23007800399000t t -+≤ 即2261330t t -+≤ 解得719t ≤≤
∴7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时。