【易错题】高中必修一数学上期末一模试题带答案(1)

【易错题】高中必修一数学上期末一模试题带答案(1)

一、选择题

1．已知函数1

()ln(1)f x x x

=

+-；则()y f x =的图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

2．设集合{}

1

|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =e（ ）

A ．()0,1

B ．[)0,1

C ．(]0,1

D ．[]0,1

3．已知函数1

()log ()(011

a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．

12

B 2

C ．

22

D ．2

4．若函数()2log ,?

0,? 0x x x f x e x >?=?≤?

，则

12f f ?

?

??= ? ?????

（ ） A ．

1e

B ．e

C ．

2

1e D ．2e

5．已知函数()()y f x x R =∈满足(1)()0f x f x ++-=，若方程1

()21

f x x =

-有2022

个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ），则1232022x x x x ++++=L ( ) A ．1010 B ．2020 C ．1011

D ．2022

6．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t

（单位：小时）之间的函数关系为0kt

P P e -=?（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4

个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8

B ．9

C ．10

D ．14

7．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,

2x π??

∈????

时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ??

∈????

时，()f x =（ ） A ．1sin x +

B ．1sin x -

C ．1sin x --

D ．1sin x -+

8．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（ ） A ．1

ln

||

y x = B ．3y x = C ．||2x y =

D ．cos y x =

9．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]

1,0x ∈-时，()cos 12

x

f x π=-，若函数

()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．()3,5

B ．

()2,4

C ．11,42??

???

D ．11,53?? ???

10．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0 B ．1

C ．2

D ．﹣1

11．函数y ＝1

1

x -在[2，3]上的最小值为( ) A ．2 B ．

12 C ．

13

D ．－

12

12．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()1

52

x -三个值中的最小值，则()f x （ ）

A ．无最大值，无最小值

B ．有最大值2，最小值1

C ．有最大值1，无最小值

D ．有最大值2，无最小值

二、填空题

13．已知函数()()2

2,03,0

x x f x x x ?+≤?=?->??，则关于x 的方程()()()()

2

00,3f af x a x -=∈的所有实数根的和为_______. 14．已知log log log 22a a a

x y x y +-=，则x y

的值为_________________． 15．已知函数2,1,

(){1,1,

x ax x f x ax x -+≤=->若1212,,x x R x x ?∈≠，使得12()()f x f x =成立，

则实数a 的取值范围是 ．

16．己知函数()2

21f x x ax a =-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a =______.

17．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 18．函数2sin 21

=

+++x

y x x 的最大值和最小值之和为______ 19．2

()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1

()f x -=________

20．已知函数2,01,()1(1),13,2

x x f x f x x ?<≤?=?-<≤??则关于x 的方程4()0x

f x k -=的所有根的和

的最大值是_______. 三、解答题

21．定义在()(),00,-∞?+∞上的函数()y f x =满足()()1f xy f x f y ??

=-

???

，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数.

（1）求()1f -，并证明函数()y f x =是偶函数； （2）若()21f =，解不等式4121f f x x ?

???

-

-≤ ? ?????

. 22．已知函数2

()ln(3)f x x ax =-+.

(1)若()f x 在(,1]-∞上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)当3a =时，解不等式()x f e x ≥. 23．

计算221

(1).log 24lg

log lg 2log 32

+--

32

601(8)9??

--- ?

??

－　

24．已知函数()()()log 1log 1a a f x x x =+--(0a >，1a ≠)，且()31f =. (1)求a 的值，并判定()f x 在定义域内的单调性，请说明理由；

(2)对于[]2,6x ∈，()()()log 17a

m

f x x x >--恒成立，求实数m 的取值范围.

25．已知函数31

()31

x x

f x m -=?+是定义域为R 的奇函数. （1）求证：函数()f x 在R 上是增函数； （2）不等式(

)

2

1

cos sin 32

f x a x --<

对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围. 26．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的

成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()300301800

29030100x f x x x x <≤??

=?+-<

，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答

下列问题：

（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【解析】

试题分析：设()ln(1)g x x x =+-，则()1x

g x x

'=-

+，∴()g x 在()1,0-上为增函数,在()0,∞+上为减函数，∴()()00g x g <=，1

()0()f x g x =<，得0x >或10x -<<均有

()0f x <排除选项A ，C ，又1()ln(1)f x x x =

+-中,10

ln(1)0

x x x +>??+-≠?，得1x >-且

0x ≠，故排除D.综上，符合的只有选项B.故选B. 考点：1、函数图象；2、对数函数的性质. 2．B

解析：B 【解析】

【分析】

先化简集合A,B,再求B A e得解. 【详解】

由题得{}

10

|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.

所以{|01}B A x x =≤

本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．A

解析：A 【解析】 【分析】

由函数()1

log ()=0,1

a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0

【详解】

由函数()1

log ()=0,1

a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但

在[0，1]上为减函数，∴0

当x=1时，1

(1)log (

)=-log 2=111

a a f =+, 解得1=

2

a ， 故选A ．

本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.

4．A

解析：A 【解析】 【分析】

直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】

因为函数2log ,0(),0x

x x f x e x >?=?≤?

， 因为

102

>，所以211

()log 122f ==-，

又因为10-<，

所以1

1(1)f e

e

--==， 即11

(())2

f f e

=

，故选A. 【点睛】

该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】 函数()f x 和121=

-y x 都关于1,02??

???

对称，所有1()21f x x =-的所有零点都关于

1,02??

???

对称，根据对称性计算1232022x x x x ++++L 的值. 【详解】

()()10f x f x ++-=Q ，

()f x ∴关于1,02??

???

对称，

而函数121=-y x 也关于1,02??

???

对称，

()121f x x ∴=-的所有零点关于1,02??

???

对称， ()1

21

f x x ∴=

-的2022个不同的实数根i x （1,2,3,2022i =L ）， 有1011组关于1,02??

???

对称，

122022...101111011x x x ∴+++=?=.

故选：C 【点睛】

本题考查根据对称性计算零点之和，重点考查函数的对称性，属于中档题型.

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据已知条件得出415k

e

-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200

kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】

由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0kt

P P e -=?，所以

()400

180%k

P Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 5

4

k =， 则由000.5%kt

P P e -=，得ln 5

ln 0.0054

t =-

， 所以()23554ln 200

4log 2004log 52ln 5

t ===?5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.

故选：C. 【点睛】

本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】 【详解】

因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ??∈????

时，()()3πf x f x =-，

此时13,02x -π∈-π??

????

,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π??-∈????

,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,

故()1sin f x x =-，故选B.

8．A

解析：A 【解析】

本题考察函数的单调性与奇偶性 由函数的奇偶性定义易得1ln

||

y x =，||

2x y =，cos y x =是偶函数，3y x =是奇函数 cos y x =是周期为2π的周期函数，单调区间为[2,(21)]()k k k z ππ+∈

0x >时，||2x y =变形为2x y =，由于2>1,所以在区间(0,)+∞上单调递增 0x >时，1ln

||y x =变形为1ln y x =，可看成1

ln ,y t t x

==的复合，易知ln (0)y t t =>为增函数，1

(0)t x x

=>为减函数，所以1ln ||y x =在区间(0,)+∞上单调递减的函数

故选择A

9．D

解析：D 【解析】

试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数

()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只

有3个交点.由数形结合分析可知，01

11

{log 31,53

log 51

a a a a <<>-?

<<<-，故D 正确. 考点：函数零点

【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

10．B

解析：B 【解析】

试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．

解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．

又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．

因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1

故选B．

考点：函数奇偶性的性质．11．B

解析：B

【解析】

y＝1 1

x-

在[2，3]上单调递减，所以x=3时取最小值为

1

2

，选B.

12．D

解析：D

【解析】

【分析】

由题意画出函数图像，利用图像性质求解

【详解】

画出()

f x的图像，如图（实线部分），由

()

1

1

5

2

y x

y x

=+

?

?

?

=-

??

得()

1,2

A．

故()

f x有最大值2，无最小值

故选：D

【点睛】

本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．

二、填空题

13．【解析】【分析】由可得出和作出函数的图象由图象可得出方程的根将方程的根视为直线与函数图象交点的横坐标利用对称性可得出方程的所有根之和进而可求出原方程所有实根之和【详解】或方程的根可视为直线与函数图象

解析：3

【解析】

【分析】

由()()

20

f x af x

-=可得出()0

f x=和()()

()

0,3

f x a a

=∈，作出函数()

y f x

=的图象，由图象可得出方程()0

f x=的根，将方程()()

()

0,3

f x a a

=∈的根视为直线y a

=

与函数()y f x =图象交点的横坐标，利用对称性可得出方程()()()

0,3f x a a =∈的所有根之和，进而可求出原方程所有实根之和. 【详解】

()()()2003f x af x a -=<

方程()()03f x a a =<<的根可视为直线y a =与函数()y f x =图象交点的横坐标， 作出函数()y f x =和直线y a =的图象如下图：

由图象可知，关于x 的方程()0f x =的实数根为2-、3.

由于函数()2

2y x =+的图象关于直线2x =-对称，函数3y x =-的图象关于直线3x =对称，

关于x 的方程()()03f x a a =<<存在四个实数根1x 、2x 、3x 、4x 如图所示， 且

12

22+=-x x ，3432

x x +=，1234462x x x x ∴+++=-+=， 因此，所求方程的实数根的和为2323-++=. 故答案为：3. 【点睛】

本题考查方程的根之和，本质上就是求函数的零点之和，利用图象的对称性求解是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

14．【解析】【分析】首先根据对数的运算性质化简可知：即解方程即可【详解】因为且所以即整理得：所以或因为所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查对数的运算性质同时考查了学生的计算能力属于中档题 解析：322+【解析】 【分析】

首先根据对数的运算性质化简可知：2

()2

x y xy -=，即2()6()10x x y y -+=，解方程即可.

【详解】 因为log log log 22

a a a

x y

x y +-=，且x y >， 所以2log log ()2

a

a x y xy -=，即2

()2x y xy -=.

整理得：22

60x y xy +-=，2()6()10x x y y

-+=. 26432?=-=，所以

632322x y -==-或322x y =+.

因为0x y >>，所以1x

y >.所以322x y

=+. 故答案为：322+ 【点睛】

本题主要考查对数的运算性质，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.

15．【解析】【分析】【详解】故答案为 解析：

【解析】 【分析】 【详解】

故答案为.

16．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与

解析：1-或2. 【解析】 【分析】

由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】

函数()2

2

2

21()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，

对称轴方程为为x a =；

当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；

当2

max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，

即210,a a a --==

（舍去），或a = 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===， 综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】

本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.

17．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析：2(0)x x ≥

【解析】 【分析】

根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解． 【详解】

因为点(4,2)在幂函数()()f x x R α

α=∈的图象上，所以24α=，解得1

2

α=

， 所以幂函数的解析式为12

y x =， 则2

x y =，所以原函数的反函数为1

2()(0)f x x x -=≥．

故答案为：1

2()(0)f x x x -=≥

【点睛】

本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

18．4【解析】【分析】设则是奇函数设出的最大值则最小值为求出的最大值与最小值的和即可【详解】∵函数∴设则∴是奇函数设的最大值根据奇函数图象关于原点对称的性质∴的最小值为又∴故答案为：4【点睛】本题主要考

解析：4 【解析】 【分析】 设()2

sin 1

x

g x x x =

++，则()g x 是奇函数，设出()g x 的最大值M ，则最小值为M -，

求出2sin 21

=+++x

y x x 的最大值与最小值的和即可. 【详解】

∵函数2

sin 21

=

+++x

y x x ， ∴设()2

sin 1x g x x x =

++，则()()2sin 1

x

g x x g x x --=-=-+， ∴()g x 是奇函数， 设()g x 的最大值M ，

根据奇函数图象关于原点对称的性质，∴()g x 的最小值为M -， 又()max max 22g x y M =+=+，()min min 22g x y M =+=-， ∴max min 224y y M M +=++-=， 故答案为：4. 【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性与最值的应用问题，求出()2sin 1

x

g x x x =++的奇偶性以及最值是解题的关键，属于中档题.

19．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对

1（0x ≥） 【解析】 【分析】

设()2

2f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.

【详解】

设()2

2f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=

±

因为x≥0，所以x =()1

1f x -=

.

因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()1

1f x -=

，0x （）

≥.

1，0x （）≥ 【点睛】

本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.

20．5【解析】【分析】将化简为同时设可得的函数解析式可得当k 等于8时与的

交点的所有根的和的最大可得答案【详解】解：由可得：设由函数的性质与图像可得当k等于8时与的交点的所有根的和的最大此时根分别为：当时

解析：5

【解析】

【分析】

将

2,01,

()1

(1),13,

2

x x

f

x

f x x

?<≤

?

=?

-<≤

??

化简为

2,01,

1

()2,12,

4

1

2,23,

16

x

x

x

x

f x x

x

?

?<≤

?

?

=?<≤

?

?

?

?<≤

??

同时设

4()()

x f x g x

=，可得()

g x的函数解析式，可得当k等于8时与()

g x的交点的所有根的和的最大，可得答案.

【详解】

解：由

2,01,

()1

(1),13,

2

x x

f x

f x x

?<≤

?

=?

-<≤

??

可得：

2,01,

1

()2,12,

4

1

2,23,

16

x

x

x

x

f x x

x

?

?<≤

?

?

=?<≤

?

?

?

?<≤

??

设4()()

x f x g x

=，

8,01,

1

()8,12,

4

1

8,23,

16

x

x

x

x

g x x

x

?

?<≤

?

?

=?<≤

?

?

?

?<≤

??

由()

g x函数的性质与图像可得，

当k 等于8时与()g x 的交点的所有根的和的最大， 此时根分别为：当01x <≤时，188x =，11x =， 当12x <≤时，

21848x ?=，253

x =， 当23x <≤时，

318816

x ?=，373x =，

此时所有根的和的最大值为：1235x x x ++=， 故答案为：5. 【点睛】

本题主要考查分段函数的图像与性质，注意分段函数需分对分段区间进行讨论，属于中档题.

三、解答题

21．（1）()10f -=，证明见解析；（2）[1,2)(2,3]? 【解析】 【分析】

（1）根据函数解析式，对自变量进行合理赋值即可求得函数值，同时也可以得到()f x 与

()f x -之间的关系，进而证明；

（2）利用函数的奇偶性和单调性，合理转化求解不等式即可. 【详解】

（1）令10y x =≠，则()111f x f x f x x ??

???

?=- ? ??? ?

??

，

得()()()10f f x f x =-=，

再令1x =，1y =-，可得()()()111f f f -=--， 得()()2110f f -==，所以()10f -=， 令1y =-，可得()()()()1f x f x f f x -=--=， 又该函数定义域关于原点对称， 所以()f x 是偶函数，即证.

（2）因为()21f =，又该函数为偶函数，所以()21f -=. 因为函数()f x 在(),0-∞上是减函数，且是偶函数 所以函数()f x 在()0,∞+上是增函数.又

412f f x x ?

???--

? ?????

()2424x f x f x x -??

=?=- ???， 所以()()242f x f -≤，等价于240,242,x x ->??-≤?或240,

242,x x -

解得23x <≤或12x ≤<. 所以不等式4121f f x x ?

???

--≤ ? ?????

的解集为[1,2)(2,3]?. 【点睛】

本题考查抽象函数求函数值、证明奇偶性，以及利用函数奇偶性和单调性求解不等式. 22．(1)24a ≤<；(2){

0x x ≤或}ln3x ≥ 【解析】 【分析】

（1）根据复合函数单调性的性质,结合二次函数性质即可求得a 的取值范围.

（2）将3a =代入函数解析式,结合不等式可变形为关于x e 的不等式,解不等式即可求解. 【详解】

（1）()f x Q 在(,1]-∞上单调递减,根据复合函数单调性的性质可知23y x ax =

-+需单调

递减则12130

a

a ?≥?

??-+>?

解得24a ≤<.

（2）将3a =代入函数解析式可得2

()ln(33)f x x x =-+

则由()x

f e x ≥,代入可得

()2ln 33x x e e x -+≥

同取对数可得233x x x e e e -+≥ 即2

(e )430x x

e -+≥, 所以(

)

(e 1)30x x

e --≥ 即e 1x ≤或3x e ≥

0x ∴≤或ln x ≥3,

所以原不等式的解集为{}

0ln 3x x x ≤≥或 【点睛】

本题考查了对数型复合函数单调性与二次函数单调性的综合应用,对数不等式与指数不等式的解法,属于中档题. 23．（1）3

2

.（2）44. 【解析】

【详解】

试题分析：（1）底数相同的对数先加减运算，根号化为分数指数.（2）根号化为分数指数，再用积的乘方运算. 试题解析：

223

222321

(1).log 24lg log lg 2log 3

2

1

(log 24log 3)(lg lg 2)log 32

333

log 8lg13222

+--=-++-=+-=-=

32

6

1(-8)9??

-- ?

??

－　1136

2

322

(32()3)

1-

-=?--9827144=?--=

考点：1.对数运算，指数运算.2.分数指数，零指数等运算. 24．(1)2a =，单调递减，理由见解析；(2) 07m << 【解析】 【分析】

（1）代入(3)1f =解得a ，可由复合函数单调性得出函数的单调性，也可用定义证明； （2）由对数函数的单调性化简不等式，再由分母为正可直接去分母变为整式不等式，从而转化为求函数的最值． 【详解】

(1)由()3log 4log 2log 21a a a f =-==，所以2a =. 函数()f x 的定义域为()1,+∞，

()()()222

212log 1log 1log log 111x f x x x x x +?

?=+--==+ ?--??

. 因为2

11

y x =+

-在()1,+∞上是单调递减， (注:未用定义法证明不扣分)

所以函数()f x 在定义域()1,+∞上为单调递减函数. (2)由(1)可知()()()2

21log log 117x m

f x x x x +=>---，[]2,6x ∈，

所以

()()

10117x m

x x x +>>---. 所以()()()2

201767316m x x x x x <<+-=-++=--+在[]2,6x ∈恒成立.

当[]2,6x ∈时，函数()2

316y x =--+的最小值min 7y =.

所以07m <<.

本题考查对数函数的性质，考查不等式恒成立，解题关键是问题的转化．由对数不等式转化为整式不等式，再转化为求函数最值． 25．（1）证明见解析（2）44a -≤≤ 【解析】 【分析】

（1）先由函数()f x 为奇函数，可得1m =，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的性质可将问题转化为2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】

解：（1）∵函数31

()31x x

f x m -=?+是定义域为R 的奇函数， ()()f x f x ∴-=-31313131x x x x m m ----∴=-?+?+3131

331

x x x x

m m --∴=+?+，()(1)310x a ∴--=，

等式(

)

(1)310x

m --=对于任意的x ∈R 均恒成立，得1m =，

则31

()31

x x f x -=+，

即2

()131

x f x =-

+， 设12,x x 为任意两个实数，且12x x <，

()()()()()

12121

2122332231313131x x x x x x f x f x -?

?-=---= ?++++??， 因为12x x <，则1233x x ≤，

所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， 因此函数()f x 在R 上是增函数; （2）由不等式(

)

2

1

cos sin 32

f x a x --≤

对任意的x ∈R 恒成立， 则()

2

cos sin 3(1)f x a x f --≤.由（1）知，函数()f x 在R 上是增函数，

则2cos sin 31x a x --≤，即2sin sin 30x a x ++≥在R 上恒成立.令sin x t =，

[1,1]t ∈-，则2

22

()33024a a g t t at t ??=++=++-≥ ???

在[1,1]-上恒成立.

①当12

a

-

>时，即2a <-，可知min ()(1)40g t g a ==+≥，即4a ≥-， 所以42a -≤<-；

②当112a -≤-≤时，即22a -≤≤，可知2min ()3024a a g t g ??

=-=-≥ ???

.

即a -≤≤22a -≤≤； ③当12

a

-

<-时，即2a >，可知min ()(1)40g t g a =-=-≥，即4a ≤， 所以24a <≤，

综上，当44a -≤≤时，不等式(

)

2

1

cos sin 32

f x a x --≤对任意的x ∈R 恒成立. 【点睛】

本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题.

26．(1) ()45100x ，

∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. 【解析】 【分析】

（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；

（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义． 【详解】

（1）由题意知，当30100x <<时，

()1800

29040f x x x

=+

->， 即2659000x x -+>， 解得20x <或45x >，

∴()45100x ∈，

时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，

()()30%401%4010

x

g x x x =?+-=-

； 当30100x <<时，

()()218013290%401%585010x g x x x x x x ??

=+-?+-=-+ ???

；

∴()24010

13585010

x g x x x ?

-??=??-+??；

当032.5x <<时，()g x 单调递减； 当32.5100x <<时，()g x 单调递增；

说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；

有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；

当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．

【点睛】

本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．