应用统计大工期末复习综合1

概率的定义与性质

2、典型例题解析

题型：基本概念、公式与简单运算

例1、计算题：写出下列随机试验的样本空间及下列事件所包含的样本点：掷一颗骰子，出现奇数点。

解：掷一颗骰子，其结果有6种可能：出现1点，2点，3点，……，6点，可以记样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，那么“出现奇数点”的事件为{1，3，5}。

例2、计算题：口袋里装有若干个黑球与若干个白球，每次任取一个球，共抽取两次，设事件A 表示第一次取到黑球，事件B 表示第二次取到黑球，用A,B 的运算表示下列事件：

（1）第一次取到白球且第二次取到黑球 （2）两次都取到白球 （3）两次取到球的颜色不一致 （4）两次取到球的颜色一致

解：（1）第一次取到白球且第二次取到黑球，意味着第一次不取到黑球且第二次取到黑球，即事件A 不发生且事件B 发生，可用积事件B A _

表示

（2）两次都取到白球，意味着第一次取到白球且第二次也取到白球，即事件A 与 B 同时不发生，可用积事件_

_B A 表示

（3）两次取到球的颜色不一致，意味着第一次取到黑球且第二次取到白球，或者第一次取到白球且第二次取到黑球，即积事件B A _

发生或积事件_

B A 发生，可用和事件

B A _+_

B A 表示

（4）两次取到球的颜色一致，意味着两次都取到黑球，或者两次都取到白球，即积事件AB 发生或积事件_

_B A 发生，可用和事件AB +_

_B A 表示

例3、填空题：设.60)(.30)(=?=B A P A P ，。 （1）若A 和B 互不相容，则P(B)= （2）若B A ?，则P(B)= （3）若P(AB)=，则P(B)=

解题思路：根据概率的性质P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=， （1）若A 和B 互不相容，则AB=Φ，P(AB)=0， 因此P(B)=P(A+B)-P(A)=。 （2）若B A ?，则P(AB)=P(A)， 因此P(B)=P(A+B)-P(A)+P(A)=。

（3）若P(AB)=，则P(B)=P(A+B)-P(A)+P(AB)=。 答案：（1）；（2）；（3）。

附：知识拓展—概率的历史

第一个系统地推算概率的人是16世纪的卡尔达诺。记载在他的著作《

卡尔达诺的数学著作中有很多给赌徒的建议。这些建议都写成短文。例如：《谁，在什么时候，应该赌博》、《为什么亚里斯多德谴责赌博》、《那些教别人赌博的人是否也擅长赌博呢》等。

然而，首次提出系统研究概率的是在帕斯卡和费马来往的一系列信件中,他们用不同的组合方法给出了这类问题的正确答案。1655年，荷兰数学家惠更斯访问巴黎时了解到帕斯卡与费马的通信研究,对这类问题产生兴趣并著《论赌博中的计算》,探讨概率问

题的原理。讨论的情况与结果被惠更斯总结成《关于赌博中的推断》（1657年）一书，这是公认的有关或然数学的奠基之作。

掷一颗骰子，其结果有6种可能：出现1点，2点，3点，……，6点，可以记样本空间Ω={1，2，3，4，5，6}，那么“出现奇数点”的事件为{1，3，5}。

例2、口袋里装有若干个黑球与若干个白球，每次任取一个球，共抽取两次，设事件A 表示第一次取到黑球，事件B 表示第二次取到黑球，用A,B 的运算表示下列事件：（题型1）

（1）第一次取到白球且第二次取到黑球 （2）两次都取到白球 （3）两次取到球的颜色不一致 （4）两次取到球的颜色一致

解：（1）第一次取到白球且第二次取到黑球，意味着第一次不取到黑球且第二次取到黑球，即事件A 不发生且事件B 发生，可用积事件B A _

表示

（2）两次都取到白球，意味着第一次取到白球且第二次也取到白球，即事件A 与B 同时不发生，可用积事件_

_B A 表示

（3）两次取到球的颜色不一致，意味着第一次取到黑球且第二次取到白球，或者第一次取到白球且第二次取到黑球，即积事件B A _

发生或积事件_

B A 发生，可用和事件

B A _+_

B A 表示

（4）两次取到球的颜色一致，意味着两次都取到黑球，或者两次都取到白球，即

积事件AB 发生或积事件__B A 发生，可用和事件AB +_

_B A 表示

例3、罐中有12粒围棋子，其中8粒白子，4粒黑子，从中任取3粒，求(题型2) （1）取到的都是白子的概率 （2）取到两粒白子，一粒黑子的概率 （3）至少取到一粒黑子的概率 （4）取到的3粒棋子颜色相同的概率

解：设A 表示“取到的都是白子”，B 表示“取到两粒白子，一粒黑子”，C 表示“至少取到一粒黑子”，D 表示“取到的3粒棋子颜色相同”。

基本事件总数n=C 3

12

(1)因为3粒棋子都从8粒白棋中取得，A 包含的基本事件数为C 3

8，则

P(A)=

C

C

3

12

3

8=

55

14 (2)B 包含的基本事件数为C 2

8

C 1

4，则P(B)=C

C

C 312

1

42

8=

55

28 (3)因为3粒棋子中至少有一粒黑子，那么这三粒棋子的颜色有三种可能：一种是一粒黑子，两粒白子；一种是两粒黑子，一粒白子；一种是三粒都是黑子，故C 包含的

基本事件数为C 1

4C 2

8+C 2

4C 1

8+C 3

4，则P(C)=C

C C C C C 3

12

3

41

82

42

81

4 ++=5541

或者由于各事件的关系可看出，C=_

A ,所以P(C)=P(_

A )=1-P(A)=1-

5514=55

41 (4)取到的3粒棋子颜色相同，要么全是白的，要么全是黑的，共有C 3

8+C 3

4种取

法，故P(D)=C

C C 3

12

3

438 +=5515=11

3

例4、甲、乙二人独立地各向同一目标射击一次，其命中率分别为和（题型3） （1）求目标被命中的概率

（2）若已知目标被命中，求它是甲射中的概率

解：设1A 表示“甲命中目标”，2A 表示“乙命中目标”，B 表示“目标被命中”，所求概率为P(B)和P(1A |B)

已知P(1A )=，P(2A )=，因1A 与2A 相互独立，利用事件之间的运算，B=1A +2A （或写成B=1A ?2A ）表示事件1A 与2A 至少有一个发生。

又利用加法公式，P(B)=P(1A )+(2A )-P(1A 2A )，则

（1）P(B)=P(1A )+(2A )-P(1A 2A )=P(1A )+(2A )-P(1A )P(2A ) =+?又因B 1?A ，则 （2）P(B |1A )=

)()P(1B P B A =)()P(1B P A =88.06.0=22

15

例5、设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别是1%和2%，现在从由A 和B 的产品分别是60%和40%的产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属于A 生产的概率是多少（题型4）

解：该次品可能是A 生产的也可能是B 生产的，工厂A 和工厂B 的产品的次品率都已知。产品可能是A 生产的也可能是B 生产的，构成样本空间的一个划分。随机抽取一件，发现是次品，求该次品属A 生产的概率实际是由结果来求原因发生的概率，用贝叶斯公式。

设事件C 为“产品是次品”，事件A 为“产品属A 生产”，事件B 为“产品属B 生产”，因为,.60)(=A P ,4.0)(=B P ,1.00)|(=A C P 02.0)|(=B C P

由全概率公式，有014.0)|()()|()()(=?+?=B C P B P A C P A P C P 又由贝叶斯公式，有)

()

|()()|(C P A C P A P C A P ?=

说明：由结果来求原因发生的概率，用贝叶斯公式解决此类问题。此题的计算结果表明：工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别是1%和2%，但从由A 和B 的产品分别占60%

和40%的产品中随机抽取一件，发现是次品，该次品属A 生产的概率变为

7

3

，该次品属B 生产的概率变为7

4

。P(C|A)的意思是在属A 生产的产品中发现次品的概率，正好是A

产品的次品率，所以不能混淆P(A|C)和P(C|A)，否则只会得出错误的结果。