曲墙式衬砌计算

拱形曲墙式衬砌结构计算

一、基本资料

某一级公路隧道，结构断面如下图，围岩级别为Ⅴ级，围岩容重γ=20KN/m3，围岩的弹性抗力系数K=0.2×106 kN/m，衬砌材料C20混凝土，弹形模量E h=2.6×107kPa，重度γh=23 KN/m3。

衬砌结构断面（尺寸单位：cm）

二、荷载确定

1、根据《公路隧道设计规范》的有关计算公式，围岩竖向均布压力：

q=0.45 × 2S-1 γω

式中：S——围岩级别，此处S=5；

γ——围岩容重，此处γ=20 kN/m3；

ω——跨度影响系数，ω=1+i (B-5)，毛洞跨度

l m=11.81+2×0.1=12.01m，式中0.1为一侧平均超挖量;l m=5～15m

时，i=0.1,此处ω=1+0.1×（12.01-5）=1.701

所以，有：

q=0.45×25-1×20×1.701=244.944(kPa)

此处超挖回填层重忽略不计。

2、围岩水平均布压力：

e=0.25q=0.25×244.944=61.236（kPa）

三、衬砌几何要素

1、衬砌几何尺寸

内轮廓线半径： r=5.4039m

内径r所画圆曲线的终点截面与竖直轴的夹角：φ=113?

拱顶截面厚度d0 =0.5 m ；

拱底截面厚度d n=0.5m。

外轮廓线半径： R=r+d0=5.9039m

拱轴线半径： r′=r+0.5d0=5.6539m

拱轴线各段圆弧中心角：θ=113?

2、半拱轴线长度S及分段轴长△S

S =θp r′/180?=113?×3.14×5.6539/180?=11.1451（m）

将半拱轴长度等分为8段，每段轴长为：

△S=S/8=11.1451/8=1.3931（m）

3、各分块接缝（截面）中心几何要素

（1）与竖直轴夹角ɑi

ɑ1=Δθ=θ/8=113?/8=14.125?

ɑ2=ɑ1+Δθ=14.125?+14.125?=28.25?

ɑ3=ɑ2+Δθ=28.25?+14.125?=42.375?

ɑ4=ɑ3+Δθ=42.375?+14.125?=56.5?

ɑ5=ɑ4+Δθ=56.5?+14.125?=70.625?

ɑ6=ɑ5+Δθ=70.625?+14.125?=84.75?

ɑ7=ɑ6+Δθ=84.75?+14.125?=98.875?

ɑ8=ɑ7+Δθ=98.875?+14.125?=113?

（2）接缝中心点坐标计算

X1=r′sinɑ1=5.6539×sin14.125?=1.3798(m)

X2=r′sinɑ2=5.6539×sin28.25?=2.6761(m)

X3=r′sinɑ3=5.6539×sin42.375?=3.8106(m)

X4=r′sinɑ4=5.6539×sin56.5?=4.7147(m)

X5=r′sinɑ5=5.6539×sin70.625?=5.3337(m)

X6=r′sinɑ6=5.6539×sin84.75?=5.6302(m)

X7=r′sinɑ7=5.6539×sin98.875?=5.5862(m)

X8=r′sinɑ8=5.6539×sin113?=5.2044(m)

y1=r′(1-cosɑ1)=5.6539×(1-cos14.125?)=0.1709(m)

y2=r′(1-cosɑ2)=5.6539×(1-cos28.25?)=0.6734(m) y3=r′(1-cosɑ3)=5.6539×(1-cos42.375?)=1.4771(m) y4=r′(1-cosɑ4)=5.6539×(1-cos56.5?)=2.5333(m)

y5=r′(1-cosɑ5)=5.6539×(1-cos70.625?)=3.7782(m) y6=r′(1-cosɑ6)=5.6539×(1-cos84.75?)=5.1366(m) y7=r′(1-cosɑ7)=5.6539×(1-cos98.875?)=6.5262(m) y8=r′(1-cosɑ8)=5.6539×(1-cos113?)=7.8631(m)

当然也可以在下图中直接量出x i、y i

衬砌结构计算图示

四、计算位移

1、单位位移

用辛普生法近似计算，按计算列表进行，单位位移的计算见表1。

单位位移值计算如下：

δ11=△S/E h×∑1/I==1.3931×768/2.6×107=41.1500×10-6

δ12=δ21=△S/ E h×∑

y/I==1.3931×2315.4976/2.6×107=124.0661×10-6

δ22=△S/ E h×∑

y2/I==1.3931×11668.7445/2.6×107=625.2203×10-6

计算精度校核：

δ11+2δ12+δ22=（41.1500+2*124.0661+625.2203）×10-6

=914.5025×10-6

δSS=△S/ E h×∑(1+y)2/I=1.3931×17067.7397/2.6×107=914.5026×10-6

闭合差△≈0

表1、单位位移计算表

注：①I——截面惯性矩，I=bd3/12,b取单位长度

②不考虑轴力的影响。

2、载位移——主动荷载在基本结构中引起的位移

（1）每一块上的作用力(竖向力Q、水平力E、自重力G),分别由下面各式求得，

竖向力： Q i =q×b i

水平压力： E i=eh i

自重力： G i=(d i-1+d i)×ΔS×γh/2

式中：b i——衬砌外缘相邻两截面间的水平投影长度

h i——衬砌外缘相邻两截面间的竖直投影长度

d i——接缝i的衬砌截面厚度

均由图2直接量得，其值见表。各集中力均通过相应图形的形心。

（2）外荷载在基本结构中产生的内力

锲块上各集中力对下一接缝的力臂由图直接量得，分别记以a q、a e、

a g。内力按下式计算之：

表2、载位移M o p计算表

弯矩：

e g q i i i i o p i o

Ea Ga Qa E y G Q x M M ---?-+?-=∑∑---1

,1)( 轴力：

∑∑-+=i

i i

i o ip E

G Q N ααcos )(sin

式中 Δx i 、Δy i ——相邻两接缝中心点的坐标增值，按下式计算： Δx i =x i - x i-1 Δy i =y i - y i-1

M o ip和N o ip的计算见表

表3、载位移N o ip计算表

基本结构中，主动荷载产生的弯矩的校核为：

M08q=-qB（x8-B/4）/2=-244.944×11.8078×(5.2044-11.8078/4)/2=-3257.3240

M08e=-eH2/2=-61.236×8.17682/2=-2047.1213

M08g=-∑G i(x8-x i+a gi)=-16.0207×(7×5.2044-1.3798-2.6761-3.8106-4 .7147-5.3337-5.6302-5.5862+0.6899+0.6482+0.5673+0.4521+0.3 095+0.1483-0.022-0.1909)=-158.6354

M08p=M08q+M08e+M08g=-3257.3240-2047.1213-158.6354=-5463.0807

另一方面，从表中得到M08p=-5432.7146

闭合差Δ=|5463.0807-5432.7146|/5432.7146=0.56％

（3）主动荷载位移

计算过程见表

表4、主动荷载位移计算表

△1p=△S/E h×∑M p0/I=-2257967.1338×1.3931/2.6×107=-120983.616×10-6

△2p=△S/ E h×∑

M p0y/I=-10457532.5134×1.3931/2.6×107=-560322.636×10-6

计算精度校核

△1p+△2p=-（120983.616+560322.636）×10-6=-681306.252×10-6

△Sp=△S/ E h×∑

M p0(1+y)/I=-12715499.6471×1.3931/2.6×10-6=-681306.252×10-6闭合差△=0。

3、载位移——单位弹性抗力及相应的摩擦力引起的位移

（1）各接缝处的抗力强度

抗力上零点假定在接缝3，α3=42.375°=αb;

最大抗力值假定在接缝5, α5=70.625°=αh。

最大抗力值以上各截面抗力强度按下式计算：

σi=σh（coS2αb-coS2αi）/（coS2αb-coS2αh）

计算得，

σ3=0，σ4=0.5534σh ，σ5=σh 。

最大抗力值以下各截面抗力强度按下式计算：σ=σh [1-(y i ˊ/ y h ˊ)2] 式中：y ′i ——所考察截面外缘点到h 点的垂直距离；

y ′h ——墙角外缘点到h 点的垂直距离。

由图量得：y 6ˊ=1.4184m; y 7ˊ=2.8695m; y 8ˊ=4.2316m; 则有： σ6=σh [1-（1.4184/4.2316）2]= 0.8876σh σ7=σh [1-（2.8695/4.2316）2]= 0.5402σh σ8=0;

按比例将所求得的抗力绘在图上。（2）各楔块上抗力集中力i R ，

按下式近似计算：()i i 11i /2R S σσ-=+??，外

式中：i S ?外——楔块i 外缘长度，可通过量取夹角，用弧长公式求得，

i R ，

的方向垂直于衬砌外缘，并通过楔块上抗力图形的形心。（3）抗力集中力与摩擦力之合力i R 按下式计算:

'1μ+=i i R R

式中：μ——围岩与衬砌间的摩擦系数，此处取μ=0.2, 则 2'0.21+=i i R R =1.0198'i R

其作用方向与抗力集中力'i R 的夹角为β=arctg μ=11.3099°。由于摩擦阻力的方向与衬砌位移方向相反，其方向朝上。画图时，也可取切向：径向=1：5的比例求出合力R i 的方向。i R 的作用点即为i R ，与衬砌外缘的交点。

将i R 的方向线延长，使之交于竖直轴。量取夹角ψk 。将i R 分解为水平与竖向两个分力：

R H = R i sin ψk R V = R i cos ψk

以上计算列入表5。

表5、弹性抗力及摩擦力计算表

（4）计算单位抗力图及其相应的摩擦力在基本结构中产生的内力弯矩： i o i r R M j j ∑-=-

轴力： H i V i o i R R N ∑-∑=-

αασ

cos sin

式中：r ji ----力R i 至接缝中心点k i 的力臂，由图量得。

计算见表6和表7。

表6、M σ0计算表

表7、N σ0计算表

（5）单位抗力及相应摩擦力产生的载位移

计算过程见表8。

表8、单位抗力及相应摩擦力产生的载位移计算表

△1σ=△S/E h×∑Mσ01/I=1.3931×(-2261.0895)/2.6×107= -121.1509×10-6

△2σ=△S/ E h×∑Mσ0y/I=1.3931×(-14274.0927)/2.6×107= - 764.8169×10-6

校核为：

△1σ+△2σ= -(121.1509+ 764.8169) ×10-6=-885.9678×10-6

△Sσ=△S/ E h×∑Mσ0(1+y)/I=1.3931×

(-16535.1822)/2.6×107=-885.9678×10-6

闭合差△=0。

4、墙底（弹性地基上的刚性梁）位移

单位弯矩作用下的转角：

βa=1/(KI8)= 96 /0.2×106=480×10-6

主动荷载作用下的转角：

βap=βa M8p0=-5432.7146×480×10-6 = -2607703.01×10-6

单位抗力及相应摩擦力作用下的转角：

βaσ=βa M8σ0=480×10-6×(-14.8845)=-7144.56×10-6

五、解力法方程

衬砌矢高: f=y8=7.8631m

计算力法方程的系数为：

a11=δ11+βa=（41.15+480）×10-6=521.15×10-6

a12=δ12+fβa=（124.0661+7.8631×480）×10-6=3898.3541×10-6 a22=δ22+f2βa=（625.2203+7.8631×7.8631×480）×10-6=30302.8243×10-6

a10=△1p+βap+(△1σ+βaσ)×σh

=-(120983.616+2607703.01+121.1509σh+7144.56σh) ×10-6

= -(2728686.63+7265.7109σh)×10-6

a20=△2p+fβap+(△2σ+fβaσ)×σh

= -(560322.636+7.8631×2607703.01+764.8169σh+7.8631×7144.56

σh)

= - (21064952.1+56943.2066σh) ×10-6

以上将单位抗力图及相应摩擦力产生的位移乘以σh，即为被动荷载的载位移。

求解方程：

X 1 =(a 12a 20 - a 22a 10)/( a 11a 22 - a 122)

=(3898.3541×(-21064952.1-56943.2066σ

)+30302.8243×(2728686.63+7265.7109σh

))/(521.15×30302.8243-3898.3541×3898.3541)

=（954.8299-3.0467σh ）

其中： X 1p =954.8299, X 1σ= -3.0467 X 2 = (a 12a 10 - a 11a 20)/( a 11a 22 - a 122) =(3898.3541×(-2728686.63-7265.7109σ

)+521.15×(21064952.1+56943.2066σ

))/(521.15×30302.8243-3898.3541×3898.3541)

=（572.3126+2.2711σh ）

其中： X 2p =572.3126, X 2σ= 2.2711

六、计算主动荷载和被动荷载（σh =1）分别产生的衬砌内力计算公式为：

p p p p M yX X M ++=21

p p p N X N +=αcos 2 o M yX X M σσσσ++=21

N X N σσσα+=cos 2

计算过程列入表9和表10中。

表9、主、被动荷载作用下衬砌弯矩计算表

表10、主、被动荷载作用下衬砌轴力计算表

七、最大抗力值的求解

首先求出最大抗力方向内的位移。由式：

M y y E s p

i p h )(5h 5p -∑?=

=δδ I

M y y E s i h σσ

σδδ)(5h 5-∑?== 计算过程列入表11。

表11、最大抗力位移修正计算表

位移值为：

δhp=1.3931×466608.6752/2.6×107=25001.2517×10-6

δhσ=1.3931×(-1615.2336)/2.6×107= -86.5455×10-6

最大抗力值为：

σh =δhp /(1/K-δhσ)= 25001.2517×10-6/[1/(0.2×106)+86.5455×10-6]

=273.1019

八、计算衬砌总内力

按下式计算衬砌总内力：

M=M p+σh Mσ

N=N p+σh Nσ

计算过程列入表12

表12、衬砌总内力计算表

计算精度校核：