高中数学基础知识汇总
高中数学基础知识汇总-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第一部分 集合
3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2；
（2）;B B A A B A B A =?=?? 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
第二部分 函数
1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。
2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ；
⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2
2
2
2b a b
a a
b +≤
+≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等）； 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性
⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；
⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：
①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x <； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈??当21x x <时有12()()f x f x >； ⑵单调性的判定
① 定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；
②导数法（见导数部分）；③复合函数法；④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性
(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
（2）三角函数的周期
①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；
④|
|2:)cos(),sin(ωπ
?ω?ω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；
(3)与周期有关的结论
)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ?)(x f 的周期为a 2；
8．基本初等函数的图像与性质
⑴幂函数：αx y = （)R ∈α ；⑵指数函数：)1,0(≠>=a a a y x ； ⑶对数函数:)1,0(log ≠>=a a x y a ；⑷正弦函数:x y sin =；
⑸余弦函数：x y cos = ；（6）正切函数：x y tan =；⑺一元二次函数：02=++c bx ax ； ⑻其它常用函数：
① 正比例函数：)0(≠=k kx y ；②反比例函数：)0(≠=k x k y ；③函数)0(>+=a x
a
x y ； 9．二次函数：
⑴解析式：
①一般式：c bx ax x f ++=2)(；②顶点式：k h x a x f +-=2)()(，),(k h 为顶点； ③零点式：))(()(21x x x x a x f --= 。
⑵二次函数问题解决需考虑的因素：
①开口方向；②对称轴；③端点值；④与坐标轴交点；⑤判别式；⑥两根符号。
二次函数c bx ax y ++=2
的图象的对称轴方程是a b
x 2-=，顶点坐标是???
? ??--a b ac a b 4422，。 10．函数图象：
⑴图象作法 ：①描点法 （特别注意三角函数的五点作图）②图象变换法③导数法 ⑵图象变换：
① 平移变换：ⅰ))()(a x f y x f y ±=→=，)0(>a ———左“+”右“－”； ⅱ))0(,)()(>±=→=k k x f y x f y ———上“+”下“－”；
② 对称变换：ⅰ)(x f y =??
→?)0,0()(x f y --=；ⅱ)(x f y =?→?=0y )(x f y -=； ⅲ )(x f y =?→?=0x )(x f y -=； ⅳ)(x f y =??→
?=x y ()x f y =； ③ 翻转变换：
ⅰ)|)(|)(x f y x f y =→=———右不动，右向左翻（)(x f 在y 左侧图象去掉）； ⅱ)|)(|)(x f y x f y =→=———上不动，下向上翻（|)(x f |在x 下面无图象）； 11．函数图象（曲线）对称性的证明
(1)证明函数)(x f y =图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明函数)(x f y =与)(x g y =图象的对称性，即证明)(x f y =图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在)(x g y =的图象上，反之亦然；
注：①曲线C 1:f(x,y)=0关于点（0,0）的对称曲线C 2方程为：f(－x,－y)=0; ②曲线C 1:f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C 2方程为：f(－x, y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C 2方程为：f(x, －y)=0; 曲线C 1:f(x,y)=0关于直线y=x 的对称曲线C 2方程为：f(y, x)=0
③f(a+x)=f(b －x) （x ∈R ）→y=f(x)图像关于直线x=2b
a +对称；
特别地：f(a+x)=f(a －x) （x ∈R ）→y=f(x)图像关于直线x=a 对称； 12．函数零点的求法：
⑴直接法（求0)(=x f 的根）；⑵图象法；⑶二分法.
(4)零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点。
第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形
1．⑴角度制与弧度制的互化：π弧度 180=，1801π= 弧度，1弧度
)180(π='1857 ≈
⑵弧长公式：R l θ=；扇形面积公式：Rl R S 2
12
12==θ。
2．三角函数定义:角α中边上任意一P 点为),(y x ,设r OP =||则：,cos ,sin r
x r
y ==ααx
y =αtan
3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；
4．诱导公式记忆规律：“函数名不（改）变，符号看象限”； 5．⑴)sin(?ω+=x A y 对称轴：2
x k π
ω?π+=+；对称中心：))(0,(
Z k k ∈-ω
?
π； ⑵)cos(?ω+=x A y 对称轴：
x k ω?π
+=；对称中心：))(0,2
(
Z k k ∈-+
ω
?
ππ；
6．同角三角函数的基本关系：x x
x x x tan cos sin ;1cos sin 22==+；
7．三角函数的单调区间：
x y sin =的递增区间是?????
?
+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?????
?
++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是??
? ?
?+-22
ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减
区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。
8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①;sin cos cos sin )sin(βαβαβα±=± ②;sin sin cos cos )cos(βαβαβα =±③β
αβ
αβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± 。
9．二倍角公式：①αααcos sin 22sin =；
②ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；③α
α
α2
tan 1tan 22tan -=
。 2(sin cos )12sin cos 1sin 2ααααα±=±=±
11。几个公式:
⑴三角形面积公式：11
sin 22
ABC S ah ab C ?=
=； 第四部分 立体几何
1．三视图与直观图：
2．表（侧）面积与体积公式：
⑴柱体：①表面积：S=S 侧+2S 底；②侧面积：S 侧=rh π2；③体积：V=S 底h
⑵锥体：①表面积：S=S 侧+S 底；②侧面积：S 侧=rl π；③体积：V=3
1
S 底h ：
⑶台体：①表面积：S=S 侧+S 上底S 下底;②侧面积：S 侧=l r r )('+π;③体积：V=
3
1
（S+''S SS +）h ；
⑷球体：①表面积：S=24R π；②体积：V=33
4
R π 。
3．位置关系的证明（主要方法）：
⑴直线与直线平行：①公理4；②线面平行的性质定理；③面面平行的性质定理。 ⑵直线与平面平行：①线面平行的判定定理；②面面平行?线面平行。
⑶平面与平面平行：①面面平行的判定定理及推论；②垂直于同一直线的两平面平行。
⑷直线与平面垂直：①直线与平面垂直的判定定理；②面面垂直的性质定理。 ⑸平面与平面垂直：①定义---两平面所成二面角为直角；②面面垂直的判定定理。 4.求角：（步骤-------Ⅰ。找或作角；Ⅱ。求角） ⑴异面直线所成角的求法：
①平移法：平移直线，构造三角形；②用向量法: cos |cos ,|
a b θ=<>
⑵直线与平面所成的角：
①直接法（利用线面角定义）；②用向量法:
sin |cos ,|
AB n θ=<>
5.求距离：（步骤-------Ⅰ。找或作垂线段；Ⅱ。求距离） 点到平面的距离：①等体积法；②向量法：d =
6．结论：
⑴长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a ，b ，c ，则对角线长为
全面积为2ab+2bc+2ca ，体积V=abc 。 ⑵正方体的棱长为a
，全面积为6a 2，体积V=a 3。
⑶长方体或正方体的外接球直径2R 等于长方体或正方体的对角线长。 ⑷正四面体的性质：设棱长为a ，则正四面体的： ① 高：a h 36=
；②对棱间距离：a 22；③内切球半径：a 12
6；④外接球半径：a 4
6
。 第五部分 直线与圆
1．直线方程
⑴点斜式：)( x x k y y -=- ；⑵斜截式：b kx y += ；⑶截距式：1=+b
y
a x ； ⑷两点式：
1
21
121x x x x y y y y --=-- ；⑸一般式：0=++C By Ax ，（A ，B 不全为0）。
3．两条直线的位置关系：
直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注
2
22111::b x k y l b x k y l +=+= 2121,b b k k ≠= 121-=?k k 21,l l 有斜率
已知l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，则l 1 ⊥l 2的充要条件是A 1A 2+B 1B 2=0。 4．几个公式
⑴设A （x 1,y 1）、B(x 2,y 2)、C （x 3,y 3），⊿ABC 的重心G ：（3
,3
321321y y y x x x ++++）；
⑵点P （x 0,y 0）到直线Ax+By+C=0的距离：2
200B A C By Ax d +++=；
⑶两条平行线Ax+By+C 1=0与 Ax+By+C 2=0的距离是2
221B
A C C d +-=；
5．圆的方程：
⑴标准方程：①222)()(r b y a x =-+- ；②222r y x =+ 。 ⑵一般方程：022=++++F Ey Dx y x （)0422>-+F E D
注：Ax 2+Bxy+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆?A=C≠0且B=0且D 2+E 2－4AF>0；
6．圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法。 7．点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法） ⑴点与圆的位置关系：（d 表示点到圆心的距离）
①?=R d 点在圆上；②?