正弦定理和余弦定理详细讲解

正弦定理、余弦定理及其应用

1.考查正弦定理、余弦定理的推导；

2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；

3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中

恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查.

1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；

2.通

过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合.

基础知识梳理

正弦定理： 七=光=七 =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以 sin A sin B sin C

变形：(1)a : b : c = sin_A : sin_B :. sin_C ; (2)a = 2Rsin_A , b = 2Rsin_B , c = 2Rsin_C ; (3)sin A = 2R sin B = ?；, sin C = 等形式，解决不同的三角形问题.

余弦定理： a 2= b 2+ c 2 — 2bccos A , b 2= a 2 + c 2 — 2accos B , c 2= a 2+ b 2 — 2abcos C . 余 、亠 、卄 b 2 + c 2— a 2 _ a 2+ c 2— b 2 _ a 2 + b 2— c 2

弦疋理可以变形：cos A =

, cos B =

, cos C =

.

2bc 2ac

2ab

111

abc 1

? 宀"亠「 L 「一 、，

&ABC = 2absin C = gbcsin A = gacsin B = 4R = ?(a + b + c) r(r 是二角形内切圆的半径 ),并 可由

此计算R 、r.

A 为钝角或直角

1.

3.

4.

A 为锐角

在厶ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

图形

关系式 a = bs in A bsin A

a >

b a>b 解的个数

一解

两解

一解

一解

［难点正本疑点清源］

1. 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，

即在△ ABC 中，A>B? a>b? sin A>sin B ； tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC ;在锐角三角 形中，cosA

2.

根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.

例 1 ?已知在 ABC 中，c 10, A 45°, C 思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上(如图) 然后用三角形内角和求出角 B ，最后用正弦定理求出边

解析：Q a C ,

sin A sinC 3

...b 込 10 sin105°

20sin75°

sinC

sin 30

总结升华：

1. 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；

2. 数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从 而恰当地选择解答方式?

举一反三：

【变式1】在 ABC 中，已知A 32.0°, B 81.8° , a 42.9cm ，解三角形。

【答案】根据三角形内角和定理， C 180° (A B) 180° (32.0° 81.80) 66.2° ； csin A

10 sin 45

…a

o ■

sin C

sin 30 ??? B 180° (A C) 105o ,

▼ b

c

又 ---- ------

30o ，解三角形.

，可以确定先用正弦定理求出边

a ,

20

根据正弦定理, asinB

si nA 42.9s in 81.8°

sin 32.0

80.1(cm)； B

10 2 , sin B sin C

当 C 30°时，A 90°,.?.a ? C 60°即 C 为锐角， ? C 30°，A 90°

? a 4b ~c 2 2 ? 总结升华：

1. 正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。

2. 在利用正弦定理求角 C 时，因为sinC sin （180° C ），所以要依据题意准确确定 角C 的范围，再求出角C .

3. 一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍 类型二：余弦定理的应用：

例3.已知 ABC 中，AB 3、BC 37、AC 4，求 ABC 中的最大角。

根据正弦定理, asi nC 42.9si n66.2° C

sin A sin 32.0°

74.1(cm).

【变式2】在 ABC 中, 已知 B 75°, C 60° ,

c 5，求 a 、A .

【答案】A 180°

(B C)

180° (75°

60°)

45°,

根据正弦定理

a sin 45°

o )

sin 60 ??? a 5花

3

【变式3】在 ABC 中, 已知 sin A:sin B:sin C 1: 2:3，求 a: b: c

a

b c 【答案】根据正弦定理 ----- ------ ------ ，得a: b :c sin A:si nB:si nC 1: 2:3 .

sin A sin B

sin C

例 2?在 ABC 中，b 、_3, B 60°, c 1,求：a 和 A , C . 思路点拨：先将已知条件表示在示意图形上 （如图），可以确定先用正弦定理求出角

然后用三角形内角和求出角

解析：由正弦定理得:

A ，最后用正弦定理求出边 a . b

sin B

csin B

?- sin C ----------

b

sin 60°

（方法一）??? 0° C 180°, ??? C 30°或 C 150°, 当 C 150° 时，B C 210°

180°,（舍去）；

（方法二）??? b B 60°,

【变式3】在ABC 中，若 a 2 b 2

c 2 bc ，求角

A .

【答案】?- b 2 c 2 a 2

. b 2

c 2

bc , ? c°s A ----------

2

a

2bc

??? 0° A 180°,

? A 120°

思路点拨：首先依据大边对大角确定要求的角，然后用余弦定理求解

解析：???三边中BC ,37最大，? BC 其所对角A 最大,

?/ 0° A 180°, ? A 120°

故 ABC 中的最大角是A 120o . 总结升华: 1.

ABC 中，若知道三边的长度或三边的关系式，求角的大小，一般用余弦定理;

2. 用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系 举一反三：

【变式1】已知 ABC 中a 3, b 5, c 7,求角C .

2 2 2 2 2 2

【答案】根据余弦定理：cosC

a

-

—

5 3

—

2ab

235

【变式2】在 ABC 中，角 代B,C 所对的三边长分别为 a,b,c .

a: b:c .6:2:( 3 1),求 ABC 的各角的大小.

同理可得A 60° ；

??? C 180° A B 75°

根据余弦定理：

8SA ABIABJ 2

32 42 G 37)2

?/ 0° C 180°,

??? C 120°

【答案】设a x 6k , b

2k , c

1

根据余弦定理得：c°sB

6

3 1^4

1 v 6

?/ 0° B 180° ,? B

45°;