阿贝尔
尼尔斯·阿贝尔
尼尔斯·亨利克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802年8月5日－1829年4月6日），挪威数学家，以证明五次方程的根式解的不可能性和对椭圆函数论的研究而闻名。
生于挪威芬岛附近的Nedstrand，就读于奥斯陆大学。1825年得到政府资助，游学柏林和巴黎。生前不得志，无法获得教席俾专心研究,最后因肺结核
在挪威的弗鲁兰逝世。死后两天，来自柏林的聘书才寄到
家中。跟同样早逝的伽罗华一同被奉为群论的先驱。现代
有以他名字命名的阿贝尔奖。
数学成就
阿贝尔证明了二项式定理对所有的数字成立，扩展了欧拉
的研究：只对有理数成立。19岁时，他发现没有一般的代
数五次方程的根的解决方案。为了要做到这一点，他发明
（和伽罗瓦各自独立发明）极其重要的理论：群论。除
此之外，亚伯写了直到他去世后才被世人发现的椭圆函数
的巨著。阿贝尔曾谈及高斯的简洁的写作风格，“他是像狐
狸用尾巴抹去它的踪迹”，就如高斯自己说的：“建筑完成就要拆除脚手架。[1]
死因
在巴黎期间，阿贝尔曾染上肺结核。1828圣诞节，他跑遍雪橇到Froland再次访问他的未婚妻。夫妇一起享受假期使其病情稍有缓解。同时，克雷勒已为亚伯在柏林寻找新的工作，一个大学的教授职位。克雷勒4月8日写信给阿贝尔1829年告诉他这个好消息，但它来得太晚了，在这之前两天，阿贝尔病逝。
主要贡献和研究成果
?椭圆函数论
?阿贝尔积分理论
?阿贝尔定理
?阿贝尔群
?阿贝尔判别法
阿贝尔群
阿贝尔群也称为交换群或可交换群，它满足其元素的运算不依赖于它们的次序(交换律公理)的群。阿贝尔群推广了整数集合的加法运算。阿贝尔群以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名。阿贝尔群的概念是抽象代数的基本概念之一。其基本研究对象是模和矢量空间。阿贝尔群的
理论比其他非阿贝尔群简单。有限阿贝尔群已经被透底地研究了。无限阿贝尔群理论则是目前正在研究的领域。
定义
阿贝尔群是有着群运算符合交换律性质的群，因此阿贝尔群也被称为交换群。它由自身的集合G和二元运算* 构成。它除了满足一般的群公理，即运算的结合律、G有单位元、所有G的元素都有逆元之外，还满足交换律公理
。
因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。而群运算不满足交换律的群被称为“非阿贝尔群”，或“非交换群”。
符号
阿贝尔群有两种主要运算符号—加法和乘法。
约定运算单位元幂逆元
加法运算x+ y0 nx?x
乘法运算x* y或
xy
e或1 x n x?1
一般地说，乘法符号是群的常用符号，而加法符号是模的常用符号。当同时考虑阿贝尔群和非阿贝尔群时，加法符号还可以用来强调阿贝尔群是特定群。
乘法表
验证有限群是阿贝尔群，可以构造类似乘法表的一种表格(矩阵)，它称为凯莱表。如果群G = {g1 = e, g2, ..., g n} 在运算?下，则这个表的第(i, j) 个表项包含乘积g i?g j。群是阿贝尔群当且仅当这个表是关于主对角线是对称的(就是说这个矩阵是对称矩阵)。
这是成立的因为如果它是于阿贝尔群，则g i?g j = g j?g i。这蕴含了第(i, j) 个表项等于第(j, i) 个表项，就是说这个表示关于主对角线对称的。
例子
?整数集和加法运算"+" 是阿贝尔群，指示为(Z,+)，运算+ 组合两个整数形成第三个整数，加法是符合结合律的，零是加法单位元，所有整数n都有加法逆元?n，加法运算是符合交换律的因为对于任何两个整数m和n有m + n = n + m。
?所有循环群G是阿贝尔群，因为如果x, y在G中，则xy = a m a n = a m + n = a n + m =
a n a m = yx。因此整数集Z形成了在加法下的阿贝尔群，整数模以n Z/n Z也是。
?所有环都是关于它的加法运算的阿贝尔群。在交换环中的可逆元形成了阿贝尔乘法群。特别是实数集是在加法下的阿贝尔群，非零实数集在乘法下是阿贝尔群。
?所有阿贝尔群的子群都是正规子群，所以每个子群都引发商群。阿贝尔群的子群、商群和直和也是阿贝尔群。
矩阵即使是可逆矩阵，一般不形成在乘法下的阿贝尔群，因为矩阵乘法一般是不可交换的。但是某些矩阵的群是在矩阵乘法下的阿贝尔群- 一个例子是2x2 旋转矩阵的群。
历史注记
阿贝尔群是Camille Jordan以挪威数学家尼尔斯·阿贝尔命名的，他首先察觉到了阿贝尔首先发表的这种群与根式可解性的联系的重要性。
性质
如果n是自然数而x是使用加号的阿贝尔群G的一个元素，则nx可以定义为x + x + ... + x (n个数相加) 并且(?n)x= ?(nx)。以这种方式，G变成在整数的环Z上的模。事实上，在Z上的模都可以被识别为阿贝尔群。
关于阿贝尔群(比如在主理想整环Z上的模)的定理经常可以推广到在任意主理想整环上的模。典型的例子是有限生成阿贝尔群的分类是在主理想整环上的有限生成模的结构定理的特殊情况。在有限生成阿贝尔群的情况下，这个定理保证阿贝尔群可以分解为挠群和自由阿贝尔群的直和。前者可以被写为形如Z/p k Z对于素数p的有限多个群的直和，而后者是有限多个Z的复本的直和。
如果f, g : G→ H是在阿贝尔群之间的两个群同态，则它们的和f + g，定义为(f + g)(x) = f(x) + g(x)，也是阿贝尔同态。(如果H是非阿贝尔群则这就不成立。) 所有从G到H的群同态的集合Hom(G, H) 因此是自身方式下的阿贝尔群。
某种程度上类似于矢量空间的维度，所有阿贝尔群都有秩。它定义为群的线性无关元素的最大集合的势。整数集和有理数集和所有的有理数集的子群都有秩1。
有限阿贝尔群
整数模以n的循环群Z/n Z是最常见的群的例子。已证实了任意有限阿贝尔群都同构于素数阶的有限循环群的直和，并且这些阶数是唯一确定的，形成了一个不变量(invariant)的完备系统。有限阿贝尔群的自同构群可以依据这些不变量来直接描述。有关理论最初发展自费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯和Ludwig Stickelberger在1879 年的论文，后来被简化和推广到在主理想整环上的有限生成模，形成了线性代数的一个重要组成部分。
分类
有限阿贝尔群的基本定理声称所有有限阿贝尔群G都可以表达为素数阶的循环子群的直和。这是有限生成阿贝尔群的基本定理在G有零秩时的特殊情况。
mn阶的循环群同构于与的直和，当且仅当m与n是互素的。可推出任何有限阿贝尔群G同构于如下形式的直和
以任何下列规范方式:
?数k1,...,k u是素数的幂
?k1整除k2，它又整除k3，如此直到k u。
例如，可以被表达为 3 阶和 5 阶的两个循环群的直和:
。对于任何15 阶的阿贝尔群这也成立，导致
了所有15 阶阿贝尔群都是同构的的显著结论。
另一个例子，所有8 阶段阿贝尔群都同构于要么(整数0 到7 在模8 加法下)，
(奇数1 到15 在模16 乘法下)，要么。
小于等于16 阶的有限阿贝尔群可参见小群列表。
自同构
可以应用基本定理去计数(有时确定)给定有限阿贝尔群G的自同构。要这么做，可利用如果G分解为互素阶的子群的直和H K，则Aut(H K) Aut(H) Aut(K) 的事实(这里就不证明了)。
基本定理证明了要计算G的自同构群，分别计算西罗p子群的自同构群就足够了(也就是所有的循环子群的直和，每个都有p的幂的阶)。固定一个素数p并假设西罗p子群的循环因子的指数e i是按递增次序安排的:
对于某个n > 0。需要找到
的自同构。一个特殊情况是在n = 1 的时候，此时在西罗p-子群P中只有唯一一个循环素数幂因子。在这个情况下可以使用有限循环群的自同构的理论。另一个特殊情况是在n为任意的但e i = 1 对于1 ≤ i≤ n的时候。这里考虑P为有着形式
，
所以这个子群的元素可以被看作构成了在p元素的有限域上的n维矢量空间。这个子群的自同构因此给出为可逆线性变换，因此
,
它早先证明了有阶
.
在最一般情况下，这里的e i和n是任意的，自同构群更难于确定。但是已经知道了如果定义
并且
则有着特别的d k≥ k, c k≤ k，并且
。
变量交换的几种常见方法
变量交换的几种常见方法 前几天发现了一个问题：有人告诉我，要进行变量交换，就必须引入第三变量！ 假设我们要交换a和b变量的值，如果写成 int a=5,b=10; a=b; b=a; 那么结果就是两个都是10，理由不言而喻。 所以就应该引入第三变量，在a的值被覆盖之前就把a的值保留好。int a=5,b=10,tmp; tmp=a; a=b; b=tmp; 这样，就要引入了第三个变量，然而，我们能不能不引入第三变量来实现变量交换呢？ 答案自然是肯定的，首先我们可以这样设想，如果a的值被覆盖了，那么就没法知道b应该放什么值了， 所以，我们要保留a的值，因此我们可以把a和b的值合起来，放在a里，再把合起来的值分开，分别放到b和a中：
int a=5,b=10; a=a+b; //a=15,b=10 b=a-b; //a=15,b=5 a=a-b; //a=10,b=5 但是这样做有一个缺陷，假设它运行在vc6环境中，那么int的大小是4 Bytes，所以int变量所存放的最大值是2^31-1即2147483647，如果我们令a的值为2147483000，b的值为1000000000，那么a和b 相加就越界了。 事实上，从实际的运行统计上看，我们发现要交换的两个变量，是同号的概率很大，而且，他们之间相减，越界的情况也很少，因此我们可以把上面的加减法互换，这样使得程序出错的概率减少： int a=5,b=10; a-=b; //a=-5,b=10 b+=a; //a=15,b=5 a+=b; //a=10,b=5 通过以上运算，a和b中的值就进行了交换。表面上看起来很简单，但是不容易想到，尤其是在习惯引入第三变量的算法之后。 它的原理是：把a、b看做数轴上的点，围绕两点间的距离来进行计算。 具体过程：第一句“a-=b”求出ab两点的距离，并且将其保存在a 中；第二句“b+=a”求出a到原点的距离（b到原点的距离与ab两点距离之差），并且将其保存在b中；第三句“a+=b”求出b到原点
14第十四讲 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
数学分析第十二章数项级数 阿贝尔判别法狄利克雷判别法 第十四讲
数学分析第十二章数项级数 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换） 阿贝尔判别法和狄利克雷判别法 下面介绍两个判别一般项级数收敛性的方法. =,(1,2,,),,i i v i n ε 设两组实数若令 =+++=12(1,2,,), k k v v v k n σ 121232111 ()()().(18) n i i n n n n n i v εεεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑则有如下分部求和公式成立: 证-==-=111,(2,3,,)k k k v v k n σσσ 以分别乘以 =(1,2,,),k k n ε 整理后就得到所要证的公式(18).
数学分析第十二章数项级数 推论（阿贝尔引理） =12(i),,,max{};n k k εεεεε 是单调数组,记(ii)(1),k k k n A σ对任一正整数有则有 ≤≤≤=≤∑1 3.(19) n k k k v A ε ε12231,,,n n εεεεεε ----若证由(i)知都是同号的. 121232111 ()()()n k k n n n n n k v ε εεσεεσεεσεσ--==-+-++-+∑12231()()()n n n A A εεεεεεε-≤-+-++-+1n n A A εεε=-+1(2)n A εε≤+3. A ε≤于是由分部求和公式及条件(ii)推得
数学分析第十二章数项级数 定理12.15（阿贝尔判别法） 且级数∑n b 收敛, {}n a 0,. n M a M 使>≤证由于数列单调有界,使当n >N 时,对任一正整数p ,都有 +=<∑. n p k k n b ε若{}n a 为单调有界数列,故存在,收敛又由于∑n b ,ε数依柯西准则，对任意正存在 正数N ,n n a b ∑则级数收敛. +=≤∑3. n p k k k n a b M ε(阿贝尔引理条件(ii)). 应用(19)式得到这就说明级数收敛. n n a b ∑
阿贝尔定理
阿贝尔定理 16 世纪时，意大利数学家塔塔利亚和卡当等人，发现了三次方程的求根公式。这个公式公布没两年，卡当的学生费拉里就找到了四次方程的求根公式。当时数学家们非常乐观，以为马上就可以写出五次方程、六次方程，甚至更高次方程的求根公式了。然而，时光流逝了几百年，谁也找不出这样的求根公式。 这样的求根公式究竟有没有呢？年轻的挪威数学家阿贝尔作出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都决不可能是一般五次方程的求根公式。 阿贝尔率先解决了这个引入瞩目的难题.所以成为阿贝尔定理 定理（阿贝尔（Abel）定理）： 1.如果幂级数在点x0 (x0不等于0)收敛，则对于适合不等式/x//x0/的一切x使这幂级数发散。 问题1：我想请问下，1和2是逆否命题吗？我怎么没看出来呢？能帮我讲下吗？ 问题2：在证明2中，用到了反证法，需要用到否定2的结论，我想问下2的结论“则对于适合不等式/x/>/x0/的一切x使这幂级数发散。”它的否定是什么？ 定理1 （阿贝尔第一定理） 1）若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在都收敛。 2）若幂级数①在x1发散，则幂级数①在都发散。 定理2：有幂级数①，即，若 则幂级数①的收敛半径为 定理3（阿贝尔第二定理） 若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间都一致收敛。 定理4 若幂级数与的收敛半径分别是正数r1与r2，则r1= r2 定理5 若幂级数的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间连续。 定理6 若幂级数的收敛半径r>0,则它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即 定理7 若幂级数的收敛半径r>0,则则它的和函数在区间(-r , r) 可导，且可逐项微分 参考资料： 阿贝尔与椭圆函数
阿贝尔
阿贝尔 河北师范学院邓明立 阿贝尔，N．H．(Abel，Niels Henrik)1802年8月5日生于挪威芬岛；1829年4月6月卒于挪威弗鲁兰．数学． 阿贝尔出生在挪威奥斯陆附近的芬岛，父亲S．G．阿贝尔(Abel)是个牧师．幼时，他就显露出数学上的才能．阿贝尔的启蒙教育得自于他的父亲．但是家庭的极端贫困，使他未能受到系统的教育．1815年，年仅13岁的阿贝尔进入奥斯陆的一所教会学校学习．起初，学校里缺乏生机的教育方法没有引起他对数学的兴趣．15岁(1817)时，他幸运地遇到一位优秀数学教师 B．M．霍尔姆博(Holmbo ё)．后者在数学上的最大贡献也正是发现并培养了这位数学天才．良师耐心细致的教诲，唤起了他学习数学的愿望，使他对数学产生了兴趣．阿贝尔迅速学完了初等数学课程．然后，他在霍尔姆博的指导下攻读高等数学，同时还自学了许多数学大师特别是L．欧拉(Euler)、J．L．拉格朗日(Lagran-ge)和C．F．高斯(Gauss)的著作． 阿贝尔在学校最后两年时间里，以“初生牛犊不伯虎”的姿态猛攻一些尚未解决的最深奥的数学问题，尤其是如何求解五次方程问题吸引着他．他注意博采众家之长，在研读拉格朗日、高斯关于方程论著作的基础上，按高斯对二项方程的处理方法，着手探讨了高次方程的可解性问题．最初，他自认为解五次方程已获成功．霍尔姆博与奥斯陆大学教授C·汉森丁(Hansteen)两人都看不出所以然，又找不出论证中的破绽．而在奥斯陆没有一个科学刊物可以发表它．后来，只好把这篇文章寄给丹麦数学家F·德根(Degen)，请求他帮助在丹麦科学院出版． 德根教授也没有发现论证本身的任何错误，只是要求阿贝尔用例子说明他的方法，并建议他把精力放到椭圆积分的研究上去．阿贝尔获悉德根的答复后，立即着手构造五次方程解的例子．但结果失望地发现，他的方法是错误的．另外，他还接受了德根关于搞椭圆积分的建议，不多几年内就基本完成了他关于椭圆函数的理论． 1821年秋，阿贝尔在一些教授资助下进入了奥斯陆大学．大学期间，他的数学几乎全是自学的，并把主要精力用在进一步研究上，他写出了许多有价值的论文．1823年，他完成了一篇题为“用定积分解某些问题” 中首次 给出了积分方程的解，这是历史上出现最早的积分方程，但较长时期没有引起人们的重视．1822—1823年冬，他还写了一篇关于函数表达式积分的长篇论文，提交给大学委员会．后来，竟被学校当局弄丢了． 1823年初夏，阿贝尔在热心的S．拉斯穆森(Rasmussen)教授资助下，有幸去哥本哈根拜见德根及其他数学家．德根对他很赏识，并对他的研究给予指导．他返回奥斯陆后，又重新考虑了五次方程解的问题．这次他采取了相反的观点，终
论证阿贝尔定理错误
论证阿贝尔定理的错误 作者：江西临川江国泉 阿贝尔，伽罗瓦之所以会错，是因为他始终没有走出一个怪圈，而我找到了坚锐无比的法宝既二个数学定理，将这个怪圈捅破了。 阿贝尔定理认为，五次和五次以上的一元高次方程不存在一般的代数根式求解公式。这是一个错误的结论。首先，他论证的方法是错误的。是片面的。阿贝尔，伽罗瓦都是通过预解式的这种方法来论证的，这个出发点就是一个重大错误。 阿贝尔定理错误的主要原因是： 1、阿贝尔定理证明者伽罗瓦，证明过程中使用了模糊未知的一系列预解式作证据，就连预解式个数都不知道多少。请问法律上能随便指定一个不清楚事情真相的人来作证吗？ 2、伽罗瓦人为地将所有预解式系数主观判定为已知，而他却根本不知道高于五次的一元方程预解式系数究竟是多少，是多解性还是唯一性，结果造成所有预解式组成的方程组中未知数不够，使其它未知数取值范围缩小，造成只有特殊方程才能有解的假像。 3、群论有自身的适用范围。比如卡丹公式中，如果平方根式里开方根得出的是虚数，结果却反而说明这个方程有三个实数解。用群论如何解释呢？相反，我的换元配方法却能说明这个问题。 利用数学新定理，发明一元高次方程求根公式通用推导方法 1、二个数学新定理介绍 定理A、同解方程式必可求定理：指任意二个一元高次方程之间，只要存在相同的解，则相同解方程式必可求出。 利用价值：如果我们要推导出一个系数为已知数的一元高次方程求根公式，我们可以先求出和此方程有同解的一元高次方程，只要求出的同解方程不是原方程的整倍数，根据同解方程式必可求定理，就可推导出方次更低的同解方程式来。 定理B、同解方程判别定理：指任意二个一元高次方程之间，只要它们的系数有一对应的固定函数关系（即方程系数判别式等于零），它们之间必存在相同的解。这种函数关系（即方程系数判别式等于零）可用韦达定理推导出来。 利用价值：1》、根据方程系数判别式等于零，则二个方程之间必存在相同解。因此，我们如果要设置一个和原方程有相同解的方程出来，只要确保它们的方程系数符合判别式等于零，这个方程必与原方程有同解。 2》、利用此定理可以对多元高次方程组快速消元。这个应用在此不作详细介绍。 2、同解方程式必可求定理论证过程 同解方程式必可求出定理 定理：任意二个一元高次方程之间只要存在同解，必可推导出它们的同解方程式。 论证过程
交换与比较的方法
函数（第1课时）教学研讨——用交换、比较的方法 邬云德 （浙江省象山县教育局教科研中心） 一、引言 函数概念是函数领域中的核心概念，函数方法是解决实际问题的重要方法，函数内涵非常抽象是教学的难点．教材对函数（第１课时）教学的基本主张是：借助实际问题情境，由具体到抽象地认识函数，并关注概念的形成与应用的过程以满足学生认识函数的需要．但许多教师没有领会教材的意图，并且有价值的认知过程短暂． 二、教学分析 １．构建核心概念的逻辑体系 图１函数概念体系图 ２．析出并解释涉及的主要内容 从图1中可以析出函数（第1课时）的主要内容是：函数概念（包括定义、组成要素、表示方法、函数值的概念）及用函数解决实际问题的思想方法及求函数值的方法．函数概念非常抽象，“五个要素”需要在教学中显化；函数表示方法具有多样性，需要进行价值分析．函数定义是对函数本质特征的描述，函数方法是在解决具体问题中抽象概括出来的．函数概念和函数方法的形成与应用过程和蕴涵的数学思想应该列入教学内容，并成为教学目标的有机
组成部分． ３．分析函数概念的认知过程及条件 图2 函数概念学习分析结构图 三、教学决策 １．教学目标 按《课标（2011年版）》倡导的课程目标观，结合函数（第1课时）的内容特点和认知特点及学生的现实，其教学目标可以设置为： （１）经历感悟变量和变量关系存在性的过程，能感悟世界是运动变化的和事物是相互联系的观点，能感受变量和变量关系的普遍存在性和研究变量之间变化规律的必要性．（２）参与定义函数的活动，能初步认识函数概念的五个组成要素，能说出表示函数的三种方法和定义函数的步骤，能初步感受函数思想与方法． （３）参与尝试函数概念应用的活动，能在具体情境中认识函数，能说出求函数值的三种方法，会根据函数表达式求函数值并能阐述其实际意义，能大致分别说出三种表示函数方法的优缺点，能初步认识用函数解决实际问题的基本步骤． ２．教学结构 图3 ３．教学方法 环节１：经历感悟变量与变量关系存在性的过程——明确研究问题 环节2：参与定义函数的活动——形成函数的概念 环节3：参与尝试概念应用的活动——解答有代表性的问题
abel的反编译操作方法
abel的反编译操作方法 ABEL4系统提供了一个反编译程序，如果种种原因希望从JED烧录文件获得可以编辑修改的AHDL文件，则可以通过下面的操作获得： 1。将准备进行反编译的jed文件放到abel目录下面： X:\Abel4\abel4\decode.jed; 2。打开uedit软件，在高级-->执行dos命令： a)选择要执行的文件：X:\Abel4\abel4\JED2AHDL.EXE b)选择工作目录：X:\Abel4\abel4\ c)在执行文件的后面添加参数，命令部分就表示为： X:\Abel4\abel4\JED2AHDL.EXE decode.jed d)确定。开始运行反编译，输出一屏提示信息： JED2AHDL JEDEC to ABEL-HDL translator ABEL 4.00 Copyright 1987-1990 Data I/O Corp. All Rights Reserved Input JEDEC file is: decode.jed. // File decode.abl already exists, it will be renamed to decode.bak Output AHDL file is: decode.abl. Device type is: P16V8R. Processing Reading Device Library Reading JEDEC Input File Extracting PLD Circuit Model Writing Output File DECLARATIONS Section EQUATIONS Section TEST_VECTORS Section JED2AHDL complete. Time: 1 seconds. 查看X:\Abel4\abel4\目录下已经生成了新文件：decode.abl，这个就是abel 的源代码文件。 注意：[1] 反编译产生的所谓源文件与实际源代码在表示方法上会有些不同，一般都以直接的逻辑表达式给出每一个输入输出间的逻辑关系， 与原作者的源代码会有出入，但逻辑原理是一样的，不影响使用。 [2] 如果是编译产生的jed文件，则反编译以后的引脚和变量命名也会相同。如果是破解从芯片读取的jed，则系统自动赋以默认的名 称，需要你自己分析以后重新手工处理。