2018届苏锡常镇高三二模数学试卷及答案(word)

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅰ试题 2018.3

一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．

. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合A

B =

．

2.已知复数z 满足34z i i ?=-（i 为虚数单位），则z = ．

3.双曲线

143

x y -=的渐近线方程为．

4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．

5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字

，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次

数字之和等于6的概率为．

6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是．

7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为2

8cm ，则它的体积为

（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ?的值；（2）若//a b ，求锐角α的大小.

16.如图，正三棱柱11

ABC A B C -6，其底面边长为2.已知

点M ，N 分别是棱1

A C ，AC 的中点，点D 是棱1

CC 上靠近C 的三等

分点.

求证：（1）1

//B M 平面1

A BN ；

（2）AD ⊥平面1

A BN .

17.已知椭圆C ：22

1x y a b +=(0)a b >>经过点1(

3,)2

，3(1,

，点A 是椭圆

的下顶点.

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）过点A 且互相垂直的两直线1

l ，2

l 与直线y x =分别相交于E ，

两点，已知OE OF =，求直线1

l 的斜率.

18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，

且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再

建一座观赏亭P ，记(0)2

POB πθθ∠=<<.

（1）当3

πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.

19.已知函数3

2()f x x

ax bx c

=+++，()ln g x x =.

（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围；（2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；

②当2c =时，求函数(),()()

()(),()()

f x f x

g x

h x g x f x g x ≥?=?

的值域.

20.已知n

S 是数列{}n

a 的前n 项和，1

=，且123n

n S

a +=-*()

n N ∈.

（1）求数列{}n

a 的通项公式；

（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j

a λ，6i a ，k

a μ成等差数列，

求正整数λ，μ的值；

（3）设数列{}n

b 前n 项和是n

T ，且满足：对任意的正整数n ，都

有等式1

2132n n n a b

a b a b --++1

n n a b ++???+=33n --成立.求满足等式13

n n

的所有

正整数n .

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数学Ⅱ（附加题）

21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A. 选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线

交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.

（1）求证：2AB BC =；（2）若2AB =，求线段CD 的长.

B. 选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵4

1A ??

=???

，120

5B ??

=???

，列向量a X b ??=????

（1）求矩阵AB ；（2）若1

151B A X --??

=??

，求a ，b 的值.

C. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C 经过点(2

2,)

P π

，圆心为直线sin()3

πρθ-=-

与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲

已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：2

(1)(1)9x y y x ++++≥.

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.

（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值；

（2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQ PA

的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}

n =???中，若这n 个元素的一个排

列（1

a ，2

a ，…，n

a ）满足(1,2,,)i

a i i n ≠=???，则称这个排列为集合n

A 的

一个错位排列（例如：对于集合3

{1,2,3}

=，排列(2,3,1)是3A 的一个

错位排列；排列(1,3,2)不是3

A 的一个错位排列）.记集合n

A 的所有错位排列的个数为n

D .

（1）直接写出1

D ，2

D ，3

D ，4

D 的值；

（2）当3n ≥时，试用2

n D -，1

n D -表示n

D ，并说明理由；

（3）试用数学归纳法证明：*2()

n N ∈为奇数.

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数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题

1. {1}

2. 5

3. 3

y x = 4. 63

5. 316

6. 25

7. 33

8. 8

11. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53

?????

14. [0,1)

二、解答题

15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，

所以2sin()4a b a πα?=

++2sin cos 4παα=+cos sin

α+

4242552=

+?3232

522

+?=.

（2）因为//a b 2sin()1

a π

α+=2α(sin cos

cos sin )144

αα+=，

所以2

sin sin cos 1ααα+=，

则2

sin cos 1sin ααα=-2

cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，

所以锐角4

πα=. 16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱11

ABC A B C -中，1

//AA CC 且1

AA CC =，

则四边形1

AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱1

A C ，AC 的

中点，所以1

//MN AA 且1

MN AA =，

又正三棱柱11

ABC A B C -中1

//AA BB 且1

AA BB =，所以1

//MN BB 且1

MN BB =，所

以四边形1

MNBB 是平行四边形，所以1

//B M BN ，又1

B M ?平面1

A BN ，BN ?

平面1

A BN ，

所以1

//B M 平面1

A BN ；

（2）正三棱柱11

ABC A B C -中，1

AA ⊥平面ABC ，

BN ?

平面ABC ，所以1

BN AA ⊥，

正ABC ?中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1

AA 、AC ?平面1

AAC C ，

AA AC A

=，

所以BN ⊥平面1

AAC C ，又AD ?平面1

AAC C ，所以AD BN ⊥，

由题意，1

6AA =，2AC =，1AN =，6

3CD =

，所以132

AN AC CD

又1

A AN ACD π∠=∠=，所以1

A AN ?与ACD ?相似，则1

AA N CAD ∠=∠，所以1

ANA CAD ∠+∠11

ANA AA N π=∠+∠=，则1

AD A N ⊥，又1BN

A N N

=，BN ，1

A N ?平面1

A BN ，

所以AD ⊥平面1

A BN . 17.解：（1）由题意得

1141314a b a b ?+=???

?+=??，解得

411a b ?=???

?=??，

所以椭圆C 的标准方程为

214

x y +=；

（2）由题意知(0,1)A -，直线1

l ，2

l 的斜率存在且不为零，

设直线1

l ：1

1y k x =-，与直线y x =联立方程有

11y k x y x

=-??

=?，得1

11(,)11E k k --，

设直线2

l ：1

11y x k =--，同理11

(

,)1111F k k ----，

因为OE OF =，所以1

11|||

|111k k =---，

①1

11111k k =

---，1

10k k +=无实数解；

②1

11111k k =

---，1

12k k -=，2

1210

k --=，解得1

综上可得，直线1

l 的斜率为1218.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ?中，3OA =，

AQO AQC π∠=-∠233

ππ

π=-

=，

所以3OQ =OPQ ?中，3OP =，2POQ πθ∠=-236

πππ

=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP

OPQ OQP

=∠∠，即33sin sin()

απα=--3sin()6παπα=--5sin()

α=-，

53sin

cos 6παα=5cos sin 6

α-13cos 2αα=+

3cos αα

=，

因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以3

tan 3

α=

，得6

πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ?中，3OP =，2POQ πθ∠=-236

πππ

=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP OPQ OQP =∠∠，即3

sin sin(())

παθ=---，

3sin(())2παπαθ=---sin(())2π

αθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ

=+，

从而(

3sin )sin θαcos cos αθ

=3sin 0

θ≠，cos 0α≠，

所以tan 3sin αθ

记()3sin f θθ

-，2

3'()(3sin )f θθ=

-(0,)2

πθ∈；令'()0f θ=，3sin 3

θ=

，存在唯一0(0,

∈使得0

3sin 3

，

当0

(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0

(,)2

πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0

θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，

又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时3

sin θ=答：观赏效果达到最佳时，θ319.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，

()2f x x x c

=-+，

∵()()f x g x ≥恒成立，∴3

2ln x x c x

-+≥恒成立，即3

ln 2c x x

≥-+.

令3

()ln 2x x x

?=-+，则

1'()32x x x

?=-+3123x x x +-=

2(1)(133)x x x x -++=，

令'()0x ?≥，得1x ≤，∴()x ?在(0,1]上单调递增，令'()0x ?≤，得1x ≥，∴()x ?在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max

[()](1)1

x ??==.

∴1c ≥.

（2）①当3b =-时，3

2()3f x x ax x c

=+-+，2

'()323

f x x

ax =+-.

由题意，2

'()3230

f x x

ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立，

∴'(1)3230

'(1)3230

f a f a =+-≤??

-=--≤?

，∴0a =，即实数a 的值为0.

②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞. 当0a =，3b =-，2c =时，3

()32

f x x

x =-+.

2'()33

f x x =-，令2

'()330

f x x

=-=，得1x =.

(0,1)

1 (1,)

+∞

'()f x - 0

+ ()

f x

极小值0

∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. 对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，

()0

g x >.

∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞. 20.解：（1）由123n

n S a +=-*()

n N ∈得1

223

n n S

a ++=-，两式作差得1

2n n n a

a a +++=-，

即2

13n n a

a ++=*()

n N ∈. 13

a =，2

1239

S =+=，所以13n n a

a +=*

()

n N ∈，0

≠，则13n n

a a

+=*()

n N ∈，所以数

列{}n

a 是首项为3公比为3的等比数列，所以3n n

=*()

n N ∈；

（2）由题意26j

k i

a a a λ?+=?，即3

3263j

k i

λμ+=??，

所以3312

j i

k i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，

所以3

j i

λλ-≥≥，3

k i

μμ-≥≥，

123312

j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；

（3）由1

2132

n n n a b

a b a b --++1

13n n a b ++???+=33n --得，

11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++???++233(1)3

n n +=-+-， 111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+???++233(1)3n n +=-+-，

1113(333)n n a b n +++--233(1)3

n n +=-+-，

所以21

333(1)n n b n ++=-+133(333)

n n +----，即1

363

n b

n +=+，

所以1

21n b

n +=+*()

n N ∈，

又因为11

3133

a b +=-?-=，得1

1b =，所以21n

n =-*()

n N ∈，从而

135(21)n T n =+++???+-2121

n n n +-==*()

n N ∈，

*()3

n n n T n n N a =∈，

当1n =时11

；当2n =时22

49T

；当3n =时33

；

下面证明：对任意正整数3n >都有1

n n

，

11n n n n T T a a ++-1

21(1)3n n +??

=+ ???

1133n n n +????-= ? ?

????

1((1)3)3n n n +??

+-= ?

2(221)

n n -++，

当3n ≥时，2

2221(1)n

n n -++=-(2)0

n n +-<，即11

0n n

n n

T a

a ++-

<，

所以当3n ≥时，n n

T a

递减，所以对任意正整数3n >都有331

n n

T a a <

=；

综上可得，满足等式13

n n

的正整数n 的值为1和3.

2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）

数学Ⅱ（附加题）参考答案

21.【选做题】

A. 选修4-1：几何证明选讲

证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，

2AB OB

因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，又因为DA DC =，所以A C ∠=∠，于是ADB CDO ???，得到AB CO =，所以AO BC =，从而2AB BC =.

（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，

2133

CD CB CA =?=?=，所以3CD =B. 选修4-2：矩阵与变换

解：（1）4012480

10505AB ??????

==???????

?????

；

（2）由1

151B

A X --??

=??

，解得51X AB ??=????

85280

515??????

==???????

?????

，又因为a X b ??

=????

，所

以28a =，5b =

C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()33πρθ-=-0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0). 因为圆C 的半径PC 22(22)22222cos

+-???=，

于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=. D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为x ，y 都是正数，所以2

23130

x y

xy ++≥>，2

23130

y x

yx ++≥>，

22(1)(1)9x y y x xy

++++≥，又因为1xy =，

所以2

(1)(1)9x y y x ++++≥.

【必做题】

22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，

(0,0,2)

P t ，(,0,)Q t t ；

所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1

(,,)n x y z =，则

110

DB n DP n ??=???=??，

即2020tx ty tz +=??=?

，解得20

x y z +=??

，所以平面PBD 的一个法向量1

(1,2,0)n =-，