圆中线段长度的计算
圆中线段长度的计算
——近几年四调中考题分析（导学案）
【课前预习】
1. 如图，已知⊙O 的半径为5，弦长AB=8，OC ⊥AB 交于点E ，则OE 的长为____.
2. 如图，已知AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB 于点D ，若AB=13，BC=5，则CD 的长为____.
【知识回顾】
垂径定理：______________________________________________
几何语言：如图，直径CD ⊥AB 于E ，则AE=____，AC ︵=____，AD ︵=____.
【常用模型】
如图，⊙O 半径为r ，2a 是弦长，d 是圆心距，h 是弓形高，半径OD ⊥弦AB ，则有：
（1）r ＝______；
（2）r 2＝________＝________； （3）sin ∠AOD ＝____； （4）sin ∠A ＝____＝____.
【方法技巧】
圆中求线段长度常用方法：
1. ____________
2. ____________
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6. ____________
【中考解析】
例1 （2014中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是AB ︵上两点，AB=13，AC=5.
（1）如图①，若点P 是AB ︵的中点，求PA 的长；
（2）如图②，若点P 是BC ︵的中点，求PA 的长.
例2 （2016中考）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为
点D ，AD 交⊙O 于点E.
（1）求证：AC 平分∠DAB.
（2）连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD=45，求AF FC 的值.
练习 （2017中考）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，CO 的延长线交AB 于D.
（1）求证：AO 平分∠BAC ；
（2）若BC=6，sin ∠BAC ＝35，求AC 和CD 的长.
高速公路计算
高速公路的一些线路计算 一、缓和曲线上的点坐标计算 已知：①缓和曲线上任一点离ZH 点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角：α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程： y y ⑼y x x ⑻x αSsin y ⑺αScos x ⑹90ααα⑸y x ⑷S 180 n x y arctg α⑶l 3456R l l 40R l l y ⑵)K R 336l l 6Rl l ( x ⑴Z 1Z 11111012 2 00 004 4 9 20 2 503 30 703 0+=+===-+=+= ?+=+ - =-= 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n 的取值如下： ?? ? ??=<?????=>>1n 0y 0x 1n 0y 0x 2n 0y 0x 0n 0y 0x 00000000 当计算第二缓和曲线上的点坐标时，则： l 为到点HZ 的长度 α为过点HZ 的切线方位角再加上180° K 值与计算第一缓和曲线时相反 x Z ，y Z 为点HZ 的坐标 切线角计算公式：2Rl l β0 2 =
二、圆曲线上的点坐标计算 已知：①圆曲线上任一点离ZH 点的长度：l ②圆曲线的半径：R ③缓和曲线的长度：l 0 ④转向角系数：K(1或－1) ⑤过ZH 点的切线方位角：α ⑥点ZH 的坐标：x Z ，y Z 计算过程： y y ⑿y x x ⑾x αSsin y ⑽αScos x ⑼90ααα⑻y x ⑺S 180 n x y arctg α⑹m Rsin α'y ⑸p]K )cos α'[R(1x ⑷34560R l 240R l 2 l ⑶m 2688R l 24R l ⑵p R π) l -90(2l ⑴α'Z 1Z 11111012 2 00 00004 5 2 3 003 4 20 0+=+===-+=+= ?+=+=+-=+ - = -== 说明：当曲线为左转向时，K=1，为右转向时，K=-1， 公式中n 的取值如下： ?? ???=<?????=>>1n 0y 0x 1n 0y 0x 2n 0y 0x 0n 0y 0x 00000000 当只知道HZ 点的坐标时，则： l 为到点HZ 的长度 α为过点HZ 的切线方位角再加上180° K 值与知道ZH 点坐标时相反 x Z ，y Z 为点HZ 的坐标
中考数学专题训练圆的证明与计算(含答案)
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△
△△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△
△OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．
长度测量的几种常见方法
长度测量的几种常见方法 在长度测量中，常遇到一些物体的长度不能直接用刻度尺测量，如球的直径、一张纸的厚度等。但是，根据具体情况采取不同的特殊方法是可以测出它们的长度的。下面是在测量中常用到的几种长度的特殊测量方法； 一、曲直法。利用其它工具把曲线变成直线，再用刻度尺测量。 例1 你能利用刻度尺测出排球的直径吗？ 提示：用一条弹性很小的柔软棉线沿排球的“赤道”绕一周，然后量出棉线的长度，再应用周长公式算出排球的直径。 二、轮替尺法。对于长而弯的曲线的测量，可借助圆轮沿曲线滚动，记下轮子滚过的转数，然后测出轮的周长，再用轮的周长乘以转数就得曲线的长度。 例2 怎样用你的玩具滚轮和一把米尺近似地测出你们学校跑道的总长？ 三、斜正法。利用几何知道，用三角板和直尺测量如圆锥的高、圆柱体的直径和球的直径等。 例3 用直尺和三角板，你如何测出茶杯的深度和三棱锥的高度？ 四、聚积法。把完全相同的物体重叠起来，先测出它们的总长，再算出所求部分的长。 例4 你能用一支铅笔，一把刻度尺近似地测出一根粗细均匀的铜丝的直径吗？写出你的操作过程。 提示：将金属丝在铅笔杆上密绕几十圈（不要叠合），测出其总长，然后除以圈数就可得到铜丝的直径。 五、割补法。对不规则图形面积的测量，将其轮廓描在方格纸上，先数占满方格的格数，再对没有占满方格的部分，按残缺的大小相互补充填满，得到占满的格数，然后测出每格的长和宽，算出每格的面积，乘以总格数就得到图形的近似面积。 例5 怎样利用直尺和印有方格的玻璃纸测出我国任何一省的面积。 六、影长法。利用太阳光或灯光和米尺，分别测出物体影长和米尺影长，根据几何知识算出物高=1米×物体影长／米尺影长。
中考数学-圆的基本性质和计算经典练习题
8错误！未指定书签。?如图，方格纸中4个小正方形的边长均为 1, 则图中阴影部分三个小 扇形的面积和为 （结果保留n ） 中考数学 圆的基本性质和计算经典练习题 一、填空题 1错误！未指定书签。?如图，在O O 中，已知 OAC 20 ° , OA // CD ,则 AOD ? 圆心，C 是AB 上一点，0C 丄AB ，垂足为D , AB 300m, CD 50m,则这段弯路 的半径是 m 3错误！未指定书签。?如图，AB 为O O 的直径，点 C , D 在O O 上, BAC 50°，则 ADC 4错误！未指定书签。?如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为 1的O O 的圆 心O 在格点上，则/ AED 的正切值等于 5错误!未指定书签。. 若O 为ABC 的外 心 D C, I ■ ■ BOC 60 ,则 BAC 6错误！未指定书签。? 使吨AB, PC 切 C 如图，AB 为半圆 半圆O 于点C, O 的直径，延长AB 到点P, 点D 是 A C 上和点C 不重 合 的一点，贝y D 的度数为 7错误！未指定书签。 .如图, 在 Rt A ABC 中, BAC 90o , BC 6，点D 为BC 中点, 将厶ABD 绕点 A 按逆时针方向旋转120° 得到△ ABD ，则点 D 在旋转过程中所经过 的路程为 ?（结果保留 ） 晶，点O 是这段弧的 第1题 2错误!未指定书签。
9错误！未指定书签。?矩形ABCD 勺边 AB=8, AD=6，现将矩形 ABCD 放在直线l 上且沿着I 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始 的 位置 A 1 B 1 C 1 D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是 __________ . 二、选择题 10错误！未指定书签。?如图，O O 内切于 △ ABC ,切点分别为D , E , F .已 知 B 50° , C 60° ,连结 C,则AB 的长为 O 的位置关系是 为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目， 她打算剪去部分扇形纸片后， 利用剩下的 纸片制作成一个底面半径为 10cm 的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），那么剪去的扇形纸片 的圆心角为（ ）. A 9° B 、18° C 63° D 72 三、解答题 第10题 第11题 12题 第13题 11错误！未指定书签。 .如图，两个同心圆的半径分别为 3cm 和 5cm, 弦AB 与小圆相切于点 40cm Ax -A 1 1 x V 1 OE, OF , DE , DF ，那么 EDF 等于 ( ) A. 40° B. 55° C. 65 D. 70° A. 4cm .5cm C. 6cm .8cm 12错误！未指定书签。 ?如图，在直角坐标系中，O O 的半径为 1，则直线 A.相离 E.相交 C.相切 D. 以上三种情形都有 可能 13错误！未指定书签。 ?现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为 40cm 小红同学
钢筋长度计算公式
钢筋长度计算公式一、梁（1）框架梁一、首跨钢筋的计算1 、上部贯通筋上部贯通筋（上）长度＝通跨净跨长通长筋1 2 、端支座负筋端支座负筋长度：第一排为Ln/3 ＋端支座锚固值；第二排为Ln/4 ＋首尾端支座锚固值＋端支座锚固值3 、下部钢筋下部钢筋长度＝净跨长＋左右支座锚固值以上三类钢筋中均涉及到支座锚固问题，那么总结一下以上三类钢筋的支座锚固判断问题：支座宽≥Lae 且≥0.5Hc ＋5d，为直锚，Lae 或≤0.5Hc ＋5d0.5Hc Max{Lae，＋5d } 。钢筋的端支座锚固值＝支座宽≤，为弯锚，取Max{Lae，取支座宽度- 保护层+15d } 。钢筋的中间支座锚固值＝Max{Lae，0.5Hc ＋5d } 4 、腰筋构造钢筋：构造钢筋长度＝净跨长＋2×15d 抗扭钢筋：算法同贯通钢筋5 、拉筋拉筋长度＝（梁宽－2×保护层）＋2×11.9d （抗震弯钩值）＋2d 拉筋根数：如果我们没有在平法输入中给定拉筋的布筋间距，那么拉筋的/2 ）×（构造筋根数/2 ）；如果给定了拉筋的布筋间距，那么根数＝（箍筋根数拉筋的根数＝布筋长-2 ×保护层）*2 ＋2×11.9d ＋8d 箍筋根度/ 布筋间距。6 、箍筋箍筋长度＝（梁宽－2×保护层＋梁高数＝（加密区长度/ 非加/ 加密区间距+1）×2＋（非加密区长度）+1 注意：因为构件扣减密
区间距－1 保护层时，都是扣至纵筋的外皮，那么，我们可以发现，拉筋和箍筋在每个保护层处均被多扣掉了直 径值；并且我们在预算中计算钢筋长度时，都是按照外皮计算的，所以软件自动会将多扣掉的长度在补充回来，由此，拉筋计算时增加了2d，箍筋计算时增加了8d。7 、吊筋吊筋长度＝2* 锚固（20d）+2* 斜段长度+次梁宽度+2*50 ，其中框梁高度>800mm 夹角=60°≤800mm夹角=45° ... 一、梁（1）框架梁一、首跨钢筋的计算 1、上部贯通筋上部贯通筋（上通长筋1）长度＝通跨净跨长＋首尾端支座锚固值 2、端支座负筋端支座负筋长度：第一排为Ln/3 ＋端支座锚固值；第二排为Ln/4 ＋端支座锚固值 3、下部钢筋下部钢筋长度＝净跨长＋左右支座锚固值 以上三类钢筋中均涉及到支座锚固问题，那么总结一下以上三类钢筋的支座锚固判断问题： 支座宽≥Lae 且≥0.5Hc＋5d，为直锚，取 Max{Lae，0.5Hc＋5d } 。钢筋的端支座锚固值＝支座宽≤Lae 或≤0.5Hc＋5d，为弯锚，取Max{Lae，支座宽度- 保护层+15d } 。Max{Lae，0.5Hc ＋5d } 钢筋的中间支座锚固值＝4、腰筋构造钢筋：构造钢筋长度＝净跨长＋2×15d 抗扭钢筋：算法同贯通钢筋
长度测量的特殊方法及如何将少误差
第一章走进实验室（二） 重点、难点： 1. 长度测量的特殊方法。 2. 了解误差，练习多次测量求平均值减少误差的方法。 3. 学习记录、分析、表达数据和结果。 4. 了解科学探究的基本要素。 5. 知道长度、时间与面积测量的基本原理。 知识点分析 （一）长度测量的特殊方法 1. 化曲为直：用无伸缩的软线与待测曲线重合，然后把软线拉直，再用刻度尺进行测量。如测地图上长江的长。 2. 化直为曲法（滚轮法）：用一已知周长的滚轮在待测的较长的直线或曲线上滚动，记下滚动的圈数，则被测长度为圈数×滚轮周长。如测一个椭圆形花坛的周长。 3. 测多算少法（累积法、化零为整）：测出多个相同的物体的总长度或总厚度，再除以个数或张数即可。如测一本书纸张厚度。 4. 侧少算多法（化整为零）:被测物体长度很大时，可先测出其中一小段，然后找出它们间的倍数关系，从而算出物体的长度。 5. 平移法（等量代替法）：将被测物体的长度，用刻度尺上相应的长度替代。如测硬币的直径、圆柱体直径。 （二）误差 1. 误差：测量值与真实值之间的差异叫做误差。 2. 产生误差的原因：（1）与测量工具有关； （2）与测量的人有关。 3. 减少误差的方法： （1）改进测量方法，选用先进而又精密的测量工具；（2）测量的人要细致、认真地进行测量；（3）求多次测量的平均值。4. 误差和错误不同： 测量误差只能减少但不能避免，而测量错误是可以避免的。 （三）关于记录、分析、表达数据和结果 1. 分度值：是刻度尺上相邻两条刻度线间的长度，也叫这把刻度尺的精确度或准确度、最小刻度值。 2. 实际估读时，一定要估读到分度值的下一位。 3. 对于一个测量结果，其倒数第一位是估读值，倒数第二位所对应的单位就是刻度尺的分度值。 4. 一个测量结果是由准确值和估读值还有单位组成的。 （四）科学探究的基本要素：提出问题——猜想与假设——制定计划、设计实验——进行实验、收集证据——分析论证——评估——交流合作 （五）学会正确选择、使用仪器测量长度、时间与面积规则物体的面积：正方形：S=2a 长方形：S=ab
中考数学历年各地市真题 圆的计算题
x x x 中考数学历年各地市真题 关于圆的计算题 （2010哈尔滨）１．将一个底面半径为5cm ，母线长为12cm 的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是 度．150 （2010红河自治州）14. 已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的圆心角为 120° . （2010红河自治州）23.（本小题满分14分）如图9，在直角坐标系xoy 中，O 是坐标原点，点A 在x 正半轴上，OA=312cm ，点B 在y 轴的正半轴上，OB=12cm ，动点P 从点O 开始沿OA 以32cm/s 的速度向点A 移动，动点Q 从点A 开始沿AB 以4cm/s 的速度向点B 移动，动点R 从点B 开始沿BO 以2cm/s 的速度向点O 移动.如果P 、Q 、R 分别从O 、A 、B 同时移动，移动时间为t （0＜t ＜6）s. （1）求∠OAB 的度数. （2）以OB 为直径的⊙O ‘与AB 交于点M ，当t 为何值时，PM 与⊙O ‘相切？ （3）写出△PQR 的面积S 随动点移动时间t 的函数关系式，并求s 的最小值及相应的t 值. （4）是否存在△APQ 为等腰三角形，若存在，求出相应的t 值，若不存在请说明理由. 解：（1）在Rt △AOB 中： tan ∠OAB= 3 3 31212= =OA OB ∴∠OAB=30° （2）如图10，连接O ‘P ，O ‘M. 当‘ =90°， △PM O ‘≌△PO O ‘ 由（1）知∠OBA=60° ∵O ‘M= O ‘B ∴△O ‘BM 是等边三角形 ∴∠B O ‘M=60°
x 可得∠O O ‘P=∠M O ‘P=60° ∴OP= O O ‘·tan ∠O O ‘P =6×tan60°=36 又∵OP=32t ∴32t=36，t=3 即：t=3时，PM 与⊙O ‘相切. （3）如图9，过点Q 作QE ⊥x 于点E ∵∠BAO=30°，AQ=4t ∴QE= 2 1 AQ=2t AE=AQ ·cos ∠OAB=4t × t 322 3 = ∴OE=OA-AE=312-32t ∴Q 点的坐标为（312-32t ，2t ） S △PQR = S △OAB -S △OPR -S △APQ -S △BRQ = )32312(22 1 2)32312(21)212(32213121221t t t t t t -?-?---??-?? =372336362 +-t t =318)3(362 +-t （60＜＜t ） 当t=3时，S △PQR 最小=318 （4）分三种情况：如图11. ○ 1当AP=AQ 1=4t 时， ∵OP+AP=312 ∴32t+4t=312 ∴t= 2 336+ 或化简为t=312-18 ○ 2当PQ 2=AQ 2=4t 时 过Q 2点作Q 2D ⊥x 轴于点D ，
光缆长度计算办法
光缆长度计算办法 The latest revision on November 22, 2020
关于光缆长度计算相关办法 为规范统一全公司光缆长度的计算，总工办成立讨论组，对如何计算光缆长度进行规范，特制定以下计算办法。 1、相关定义 1.1测量长度：光缆敷设路由的测量距离。 1.2施工长度：敷设光缆时所用的光缆长度，是预算工程量表中的敷设光缆长度（不含引上光缆长度）。 1.3使用长度：施工时实际所用的光缆长度。 1.4预算长度：预算材料表中光缆的长度。 1.5配盘长度：为方便光缆采购、施工方领料，需对设计中小段落光缆合并成标准盘长；标准盘长为2000米或3000米；配盘长度与材料表无关，如建设单位有要求，设计中可做标准配盘统计表，指明相应段落合成标准盘长。 1.6自然弯曲：光缆布放后自然状态下产生的弯曲增长；自然弯曲系数K，取值为架空光缆为10‰，直埋光缆7‰，管道光缆10‰。 1.7光缆损耗：在生产过程中不可避免的合理损耗量；光缆损耗系数（δ），取值为架空光缆为7‰，直埋光缆5‰，管道光缆15‰。 1.8设计预留长度： 2、计算办法
2.1测量长度=光缆路由实际测量的距离 一般取整数，个别区域要求1-2位小数。 2.2施工长度=测量长度×（1+K）＋设计各种预留 注：K为光缆自然弯曲系数； 2.3使用长度=施工长度×（1+δ）+引上预留10米/处 注：1.δ为光缆损耗系数； 2.概预算考试时使用长度即为预算表材料表中光缆使用量，并保留两位小数； 2.4预算长度=使用长度调整值，具体参照以下执行 2.4.1长途光缆、本地网光缆、农村接入网光缆预算长度 在使用长度基础上，个位取0，十位取5；十位大于5时，十位取0，百位取1。案例： 2.4.2城区接入层主干光缆、配线光缆和引入光缆预算长度 在使用长度基础上，个位取0，十位取0-9。 案例：
几种特殊的测量方法
科学兴趣小组讲章（）： 几种特殊的测量方法 长度的特殊测量 长度测量是最基本的测量。一般情况下，可以用测量工具刻度尺直接测量。如果受到某些条件的限制，不能或不易用测量工具直接测量，那么只能用间接测量。间接测量长度的方法通常有以下几种： 一、累积法 又叫测多算少法，通过积少成多的办法进行测量，再通过求平均来求得，这种方法还可以减小误差。可用于测纸的厚度和细金属线的直径。如要测某一课本中每张纸的厚度，可取若干张纸（纸的张数要适量），压紧后，用最小刻度为毫米的刻度尺量出其总厚度，然后将总厚度除以纸的张数，所得的商即是每张纸的厚度。 又如，要测细金属丝的直径，我们只要找一支圆铅笔（或粗细适 当的圆柱体），将金属丝在铅笔上依次密绕适当的圈数，用有毫米刻 度的刻度尺量出这个线圈的长度，再将线圈长除以圈数，所得的商就是金属丝的直径。 二、化曲为直法 也称棉线法。比较短的曲线，可以用一根弹性不大或没有弹性的柔软棉线替代曲线来测量。方法是把棉线的起点放在曲线的一端点处，让它顺着曲线弯曲，标出曲线 另一端点在棉线处的记号作为终点，然后把棉线拉直，用刻度尺量出棉线起点 至终点间的距离，即为曲线长度。 曲线的长度是不易直接测出的，但可以将曲线化为直线，再用工具测出直 线长。例如，测地图上某两城市铁路线的长度，可用棉线使之与地图上的铁路线重合，再把棉线弄直，用刻度尺测出其长度，即是地图上铁路线的长度。
测出如图所示曲线的长度。 取一段没有弹性的棉线，将它与所示图形完全重合，记下起点和终点位置，然后将棉线拉直后用刻度尺测出两点之间的距离，这一距离即为所示曲线的长度。显然，利用此方法还可测出地图上任意两地铁路线之间的图上距离，结合地图上的比例尺，利用公式“实际距离＝图上距离/比例尺”便可算出两地之间的实际距离。 三、滚轮法 比较长的曲线，可用一轮子，先测出其直径，后求出其周长，再 将轮沿曲线滚动，记下滚动的圈数，最后将轮的周长与轮滚动的圈数 相乘，所得的积就是曲线的长度。 例如，要测运动场上跑道的长，可用已知周长的滚轮在长跑道上滚动，由滚动的圈数×滚轮的周长，就可算出跑道的长度。 四、平移法 这种测量方法也叫“卡测法”。卡测法对于部分形状规则的物体， 某些长度端点位置模糊，或不易确定，如圆柱体、乒乓球的直径，圆 锥体的高等，需要借助于三角板或桌面将待测物体卡住，把不可直接 测量的长度转移到刻度尺上，从而直接测出该长度。例如，用直角三角板和刻度尺测球体的直径、圆锥体的高、硬币的直径、圆柱体的直径等都用这种方法。 五、比例法 根据相似三角形的对应线段成比例，利用已知的长度长，求出未 知的长度长。例如，用竹子、刻度尺，在晴天测量一幢楼房的高度， 就是利用竹子的长与楼房的高的比等于他们的影子的长度之比；飞 机、轮船利用俯角和仰角以及一些已知的距离可求出未知距离的长度。
超高计算
1．超高的过渡方式 由于本设计的道路等级为高速公路，所以超高的过渡为有中间带道路的超高过渡。有中间带的道路行车道，在直线路段的横断面均为以中间带为脊向两侧倾斜的路拱。路面要由双向倾斜的路拱形式过渡到具有超高的单向倾斜的超高形式，外侧逐渐抬高，在抬高过程中，行车道外侧是绕中间带旋转的，若超高横坡度等于路拱横坡，则直至与内侧横坡相等为止。本设计采用的是绕中央分隔带边缘旋转。 2．超高过渡段长度的确定 (1) 超高缓和段的长度按下式计算： p i L c ?= / B 式中： c L——超高缓和段长度（m）； β——旋转轴至行车道（设路缘带时为路缘带）外侧边缘的宽度（m）； i?——超高坡度与路拱坡度的代数差，% P ——超高渐变率，即旋转轴线与行车道（设路缘带时为路缘带）外侧边缘线之间的相对坡度； 为了行车的舒适，超高过渡段应不小于按上式计算的长度。但从利于排除路面降水而考虑，横坡度由2%过渡到0%路段的超高渐变率不得小于1/200，即超高不该设置的太长。
一般情况下，在确定缓和曲线长度时，已经考虑了超高过渡段所需的最短长度，故一般取超高过渡段长度 L与缓和曲线长度s L相等。 c 本设计中，圆曲线半径均小于不设超高的最小圆曲线半径，因此都设置了超高过渡段。 3、资料整理 已知本路段在一般地区设计为高速四车道，设计速度为100km/h，R分别为1500m、1600m、转角左为29°46′53.9″，转角右为22°58′40.2″，缓和曲线Ls分别为250 m、220 m，路拱横坡度为2%。 3.1、公路超高渐变值 3.2、圆曲线和超高值
3.3、各公路等级路基宽度
人教版初三数学下册中考总复习《与圆有关的计算》教学设计
教学设计 课题：与圆有关的计算课型：复习课年级：九年级 教学目标： 1．会计算弧长及扇形的面积． 2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 3．会利用基本作图作圆的内接正四边形和内接正六边形． 教学重点与难点： 重点：掌握弧长及扇形的面积的面积公式． 难点：灵活运用弧长及扇形的面积的面积公式进行有关计算. 课前准备：课件、导学案 教学过程： 教学过程： 一、中考调研，考情播报 活动内容：（多媒体出示复习目标） 1．会计算弧长及扇形的面积． 2．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系． 3．会利用基本作图作圆的内接正四边形和内接正六边形． 处理方式：利用多媒体出示复习目标． 设计意图：在这一环节中，通过目标的揭示，让学生明确了复习内容和要求，为本节课的复习指明了方向． 二、基础梳理，考点扫描 活动内容：（复习导学案出示回顾内容） 考点一正多边形 1．正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2．正多边形与圆的关系可以这样表述：把圆分成n（n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n边形．利用这一关系可以判定一个多边形是否是正多边形或作出一个正多边形．这个圆是这个正多边形的外接圆；正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距． 3．对称性：
①正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心． ②正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心． ③正多边形的旋转对称性：正多边形都是旋转对称图形，最小的旋转角等于中心角． 考点二 弧长及扇形的面积 1. 弧长公式：（其中l 为n °的圆心角所对的弧长） 2. 扇形的面积公式：21 3602 n R S lR π== 考点三 求不规则图形和阴影部分图形面积的几种常见方法 (1)公式法； (2)割补法 ；(3)拼凑法； (4)等积变形构造方程法； 考点四 图形的变换 在图形的翻（旋）转、滚动、翻折中求弧长或面积 考点五 圆的计算的综合应用 求弧长、求面积以及与函数有关的综合题 设计意图:这一节课的知识点较多，如果用课堂时间来看书梳理很占用时间，因此通过“导学案”形式让学生在上课之前回顾整理相关知识，这样既节省时间又培养了学生自主学习的习惯． 三、典例分析，导练结合 活动内容1：（多媒体出示） 考点一：正多边形 例1 如图，正六边形ABCDEF 的边长为6cm ，求这个正六边形的外接圆半径R 、边心距r 6、面积S 6． 处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考查知识点． 设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对正多边形的有关知识有更深层次的理解和认识，从而实现由理解到应用的质的跨越． 跟踪训练： 180 n R l π=
钢筋下料长度计算公式[1]
180度的公式是 3.14(d+D)/2-(D/2+d)+平直长度(3d)=6.25d 135度的公式是 3.14*3(D+d)/8-(D/2+d)+平直长度(10d)=11.87d 90度的公式是 3.14*(D+d)/4-(D/2+d)+平直长度(设计值) 式中的D=2.5d. 180度的公式是 3.14(d+D)/2-(D/2+d)+平直长度(3d)=6.25d 135度的公式是 3.14*3(D+d)/8-(D/2+d)+平直长度(10d)=11.87d 90度的公式是 3.14*(D+d)/4-(D/2+d)+平直长度(设计值) 式中的D=2.5d. 准确计算弯起钢筋下料长度的实用公式 钢筋下料长度计算是钢筋配料加工的依据。其精确度的高低不仅影响成型后能否符合设计尺寸，而且有时直接影响钢筋绑扎、构件定位尺寸甚至构件受力性能。 1．钢筋下料长度计算的一般公式 对钢筋下料长度的计算，目前多数教材和手册采用下式 下料长度=外包尺寸-量度差+端部弯钩增值 量度差计算可用理论公式或近似值公式。 理论公式为 式中D为弯曲直径；d为钢筋直径；α为钢筋弯折角度。 近似值可按表1取值。 表1钢筋弯曲量度差 钢筋弯曲角度/(°) 30 45 60 90 135 量度差值/mm 0.35d 0.5d 0.85d 2d 2.5d 端部弯钩增值理论公式为 近值可按表2取值。 表2半圆弯钩增加长度参考表 钢筋直径d/mm ≤68～10 12～18 20～28 32～36 一个弯钩长度/mm 4d 6d 5.5d 5d 4.5d 量度差、端部弯钩增值无论按理论公式还是按近似值公式计算，其结果误差甚小，精确度高。而外包尺寸的计算，由于计算方法的不同，其结果相差较大，是个不容忽视的问题。 2弯起钢筋外包尺寸计算的精确公式及与通常方法的比较 以图1弯起钢筋为例，按通常计算外包尺寸的方法为 (1)
几种特殊的测量方法
科学兴趣小组讲章（2017.9.27）： 几种特殊的测量方法 长度的特殊测量 长度测量是最基本的测量。一般情况下，可以用测量工具刻度尺直接测量。如果受到某些条件的限制，不能或不易用测量工具直接测量，那么只能用间接测量。间接测量长度的方法通常有以下几种： 一、累积法 又叫测多算少法，通过积少成多的办法进行测量，再通过求平均来求得，这种方法还可以减小误差。可用于测纸的厚度和细金属线的直径。如要测某一课本中每张纸的厚度，可取若干张纸（纸的张数要适量），压紧后，用最小刻度为毫米的刻度尺量出其总厚度，然后将总厚度除以纸的张数，所得的商即是每张纸的厚度。 又如，要测细金属丝的直径，我们只要找一支圆铅笔（或粗细适 当的圆柱体），将金属丝在铅笔上依次密绕适当的圈数，用有毫米刻 度的刻度尺量出这个线圈的长度，再将线圈长除以圈数，所得的商就 是金属丝的直径。 二、化曲为直法 也称棉线法。比较短的曲线，可以用一根弹性不大或没有弹性的柔软棉线替代曲线来测量。方法是把棉线的起点放在曲线的一端点处，让它顺着曲线弯曲，标出曲线另一端点在棉线处的记号作为终点，然后把棉线拉直，用刻度尺量出棉线起点至终点间的距 离，即为曲线长度。 曲线的长度是不易直接测出的，但可以将曲线化为直线，再用工具测出直 线长。例如，测地图上某两城市铁路线的长度，可用棉线使之与地图上的铁路 线重合，再把棉线弄直，用刻度尺测出其长度，即是地图上铁路线的长度。 测出如图所示曲线的长度。 取一段没有弹性的棉线，将它与所示图形完全重合，记下起点和终点位置，然后将棉线拉直后用刻度尺测出两点之间的距离，这一距离即为所示曲线的长度。显然，利用此方法还可测出地图上任意两地铁路线之间的图上距离，结合地图上的比例尺，利用公式“实际距离＝图上距离/比例尺”便可算出两地之间的实际距离。 三、滚轮法 比较长的曲线，可用一轮子，先测出其直径，后求出其周长，再 将轮沿曲线滚动，记下滚动的圈数，最后将轮的周长与轮滚动的圈数 相乘，所得的积就是曲线的长度。 例如，要测运动场上跑道的长，可用已知周长的滚轮在长跑道上 滚动，由滚动的圈数×滚轮的周长，就可算出跑道的长度。 四、平移法 这种测量方法也叫“卡测法”。卡测法对于部分形状规则的物体， 某些长度端点位置模糊，或不易确定，如圆柱体、乒乓球的直径，圆 锥体的高等，需要借助于三角板或桌面将待测物体卡住，把不可直接 测量的长度转移到刻度尺上，从而直接测出该长度。例如，用直角三 角板和刻度尺测球体的直径、圆锥体的高、硬币的直径、圆柱体的直径等都用这种方法。
中考数学专题训练圆的证明与计算
圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA ＝PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D. （1）求证：PB为⊙O的切线； （2）若PA＝4 5 PO，⊙O的半径为10，求线段PD的长. 第1题图(1)证明：如解图，连接OA、OB， 第1题解图∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP， ∴△OAP≌△OBP(SSS)， ∴∠OAP＝∠OBP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB为⊙O的半径，
(2)解：∵PA ＝4 5PO ，⊙O 的半径为10， ∴在Rt △AOP 中，OA ＝PO 2－（45 PO ）2＝10， 解得PO ＝ 503 ， ∴cos ∠AOP ＝AO OP ＝OD AO ， ∴OD ＝6， ∴PD ＝PO －OD ＝32 3 . 2. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 上一点，且AD ＝DC ，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，连接DE . （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若cos C ＝3 5 ，AC ＝24，求直径AE 的长. 第2题图 (1)证明：∵AB ＝AC ，AD ＝DC ， ∴∠C ＝∠B ，∠DAC ＝∠C ， ∴∠DAC ＝∠B ， 又∵∠E ＝∠B ， ∴∠DAC ＝∠E ， ∵AE 是⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°， ∴∠E ＋∠EAD ＝90°， ∴∠DAC ＋∠EAD ＝90°，
∴AE ⊥AC ， ∵OA 是⊙O 的半径， ∴AC 是⊙O 的切线； (2)解：如解图，过点D 作DF ⊥AC 于点F ， 第2题解图 ∵DA ＝DC ， ∴CF ＝1 2 AC ＝12， 在Rt △CDF 中，∵cos C ＝CF CD ＝3 5 ， ∴DC ＝20， ∴AD ＝20， 在Rt △CDF 中，由勾股定理得1622==CF CD DF －， ∵∠ADE ＝∠DFC ＝90°，∠E ＝∠C ， ∴△ADE ∽△DFC ， ∴AE DC ＝AD DF ， 即 AE 20＝16 20 ，解得AE ＝25， 即⊙O 的直径AE 为25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作⊙O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF ⊥BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求⊙O 的半径．
钢筋长度计算公式
钢筋长度计算公式 一、梁（1）框架梁一、首跨钢筋的计算 1、上部贯通筋上部贯通筋（上通长筋1）长度＝通跨净跨长＋首尾端支座锚固值 2、端支座负筋端支座负筋长度：第一排为Ln/3＋端支座锚固值；第二排为Ln/4＋端支座锚固值 3、下部钢筋下部钢筋长度＝净跨长＋左右支座锚固值以上三类钢筋中均涉及到支座锚固问题，那么总结一下以上三类钢筋的支座锚固判断问题：支座宽≥Lae且≥0.5Hc＋5d，为直锚，取Max{Lae，0.5Hc＋5d }。钢筋的端支座锚固值＝支座宽≤Lae或≤0.5Hc＋5d，为弯锚，取Max{Lae，支座宽度-保护层+15d }。钢筋的中间支座锚固值＝Max{Lae，0.5Hc＋5d } 4、腰筋构造钢筋：构造钢筋长度＝净跨长＋2×15d 抗扭钢筋：算法同贯通钢筋 5、拉筋拉筋长度＝（梁宽－2×保护层）＋2×11.9d（抗震弯钩值）＋2d 拉筋根数：如果我们没有在平法输入中给定拉筋的布筋间距，那么拉筋的根数＝（箍筋根数/2）×（构造筋根数/2）；如果给定了拉筋的布筋间距，那么拉筋的根数＝布筋长度/布筋间距。 6、箍筋箍筋长度＝（梁宽－2×保护层＋梁高-2×保护层）*2＋2×11.9d＋8d 箍筋根数＝（加密区长度/加密区间距+1）×2＋（非加密区长度/非加密区间距－1）+1 注意：因为构件扣减保护层时，都是扣至纵筋的外皮，那么，我们可以发现，拉筋和箍筋在每个保护层处均被多扣掉了直径值；并且我们在预算中计算钢筋长度时，都是按照外皮计算的，所以软件自动会将多扣掉的长度在补充回来，由此，拉筋计算时增加了2d，箍筋计算时增加了8d。 7、吊筋吊筋长度＝2*锚固（20d）+2*斜段长度+次梁宽度+2*50，其中框梁高度>800mm 夹角=60°≤800mm 夹角=45° ... 一、梁 （1）框架梁 一、首跨钢筋的计算 1、上部贯通筋 上部贯通筋（上通长筋1）长度＝通跨净跨长＋首尾端支座锚固值 2、端支座负筋 端支座负筋长度：第一排为Ln/3＋端支座锚固值； 第二排为Ln/4＋端支座锚固值 3、下部钢筋 下部钢筋长度＝净跨长＋左右支座锚固值 以上三类钢筋中均涉及到支座锚固问题，那么总结一下以上三类钢筋的支座锚固判断问题：
密度的特殊测量方法
密度测量方法 纵观多年的中考试卷，密度是中考的一个重点，同时又是中考的热点，密度的考查主要以操作性的实 验题型出现，在考查知识的同时兼顾实验操作技能的考查，按照教科书，根据密度的计算公式ρ＝m/v ， 利用天平和量筒，分别测出被测物的质量m 和体积v ，则可算出被测物的密度，这是最基本的测定物质密 度的方法。近年来的中考试题，则往往是天平、量筒不会同时具备，此时只要适当有些辅助器材，同样可 以完成测定物质的密度，现将几种测定物质密度的方法提供如下。 一、测固体密度 基本原理:ρ=m/V 1． 常规法： 器材：天平、量筒、水、金属块、细绳 步骤：1）、用天平称出金属块的质量m ； 2）、往量筒中注入适量水，读出体积为V 1， 3）、用细绳系住金属块放入量筒中，浸没，读出体积为V 2。 表达式：ρ=m/(V 2-V 1) 测固体体积：不溶于水 密度比水大 排水法测体积 密度比水小 按压法、捆绑法、吊挂法、埋砂法。 溶于水 饱和溶液法、埋砂法 整型法 如果被测物体容易整型，如土豆、橡皮泥，可把它们整型成正方体、长方体等， 然后用刻度尺测得有关长度，易得物体体积。 例：正北牌方糖是一种用细白沙糖精制而成的长方体糖块，为了测出它的密度，除了一些这种糖块外还有 下列器材：天平、量筒、毫米刻度尺、水、白沙糖、小勺、镊子、玻璃棒，利用上述器材可有多种测量方 法。请你答出两种测量方法，要求写出（1）测量的主要步骤及所测的物理量。（2）用测得的物理量表示 密度的式子。 饱和溶液法： 方案一：用天平测出糖块的质量m ，再把糖块放入量筒里，倒入适量白沙糖埋住方糖，晃动量筒，使 白沙糖表面变平，记下白沙糖和方糖的总体积V 1，用镊子取出方糖，再次晃动量筒，使白沙糖表面变平，记下白沙糖的体积V 2，则ρ=2 1V V m - 方案二：用天平测出糖块的质量。用橡皮泥将糖块包好放入水中，测出水、橡皮泥、糖块的总体积V 1， 取出糖水，测出水和橡皮泥的体积V 2，算出糖块体积V=V 1-V 2。利用公式算出糖块密度。 方案三：用天平测出3块方糖的质量m ，向量筒里倒入适量的水并放入白沙糖，用玻璃棒搅动制成白沙 糖的饱和溶液，记下饱和溶液的体积V 1，再把3块方糖放入饱和溶液中，记下饱和溶液和方糖的总体积 V 2，则密度1 2V V m -=ρ。 方案四：用天平测出其质量，用刻度尺量出它的长、宽、厚，算出其体积，再用密度公式计算出糖块的 密度。 2． 浮力法——弹簧秤 器材：弹簧秤、金属块、水、细绳 步骤：1）、用细绳系住金属块，用弹簧秤称出金属块的重力G ； 2）、将金属块完全浸入水中，用弹簧秤称出金属块在水中的视重G /； 表达式：ρ=Gρ水/(G-G /) 例：不准用量筒，测量工具只用弹簧秤，如何测量某个小石块的密度。写出你的测量方法步骤及小石块密 度的表达式。
线路横断面超高计算公式
线路横断面超高计算公式 在众多测量网站上有不少关于超高计算的程序,但众观各程序,能够较详细介绍计算公式的不多。虽然各程序在计算超高值时的确比较快速，但是，对于有些初学者来说是知其然不知其所以然，所以本人觉得有必要在这和大家一起对超高值计算进行一些探讨，共同提高。 一、常用超方式： 无中间带公路常用的超高方式有两种： 一种是绕中线旋转另一种是绕未加宽未超高的内侧路边线旋转。前者一般适用于旧路改造，后者适用于新 建公路。 有中间带公路常用的超高方式同样有两种，绕中央分隔带边缘旋转和绕各自行车道中心旋转。第一种适用于各种宽度的有中央带的公路，第二种适用于车道数大于4的公路或分离式断面的公路。 二、超高过渡段的确定 超高过渡段长度计算公式： 式中：Lc----超高过渡段长度; B’----旋转轴至行车道（包含硬路肩）外侧边缘的宽度（m）； ---旋转轴外侧的超高与路拱坡度的代数差; p-----超高渐变率 根据上式计算的的超高过渡段长度应取成5m的整倍数,并不小于10m的长度。 式中有关参数的具体取值如下。 无中带的公路： 绕中线旋转 B’= 绕边线旋转 式中：B----行车道宽度（m） ---硬路肩宽度（m） -----超高横坡度 -----路拱横坡 有中间带的公路： 绕中央分格带边线旋转 绕各自行车道中线旋转 式中：B----半幅行车道宽度（m） ---左侧路缘带宽度（m） ---右侧硬路肩宽度（m） 其余符号意义同前。 确定过渡段长度时，应考虑经下几点。 1、一般情况下，取=（缓和曲线长度），即超高过渡段在缓和曲线全长范围内进行。 2、若>，但只要横坡由路拱坡度（-2%）过渡到超高横坡（2%）时，超高渐变率P≥1/330，仍取=。 否则，有以下两种处理方式。 （1）在缓和曲线部分范围内超高：
八年级物理长度测量的特殊方法
第一章机械运动 一长度特殊测量导学案 主备宋艳尊审核郭静 【教学目标】 知识与技能：1、会正确使用刻度尺测长度；2、了解一些长度测量的特殊方法。 过程与方法：3、掌握长度测量的特殊方法；并能加以应用解决问题； 4、学会同学间进行合作与交流。 情感态度与价值观：5、养成实事求是、仔细观察、认真实验的学习习惯； 6、培养对物理的浓厚兴趣。 【教学重点】：2、3 【教学难点】：3、5 【教学手段】：实验、活动、小组探究、合作学习 【教学课时】1课时 【教学流程】 在长度测量中，有些物体的长度用刻度尺不能直接测量或很难测准，如果采用一些间接的测量方法就可以进行有效的、准确的测量。 一“变曲为直”法，又叫“替代法” 例1. 如图1所示，小明同学想乘船游览长江，请你利用所学的知识帮助小明同学计算重庆到南京的长江长度。 图1 分析：此题关键是测量出图中重庆与南京间的长江长度，然后依据比例尺计算出重庆与南京间的长江长度。找一根弹性很小的细棉线，让细线与图中长江重合，标出重庆和南京在细线上的位置，然后将细线伸直，用刻度尺测出棉线上重庆与南京间的长度，再乘以比例尺，即得重庆与南京间的长江长度。 说明：这种方法我们叫做“变曲为直”法，又叫“替代法”。我们可以用此法测量地图上两点间的铁路长，也可以测铅笔的横截面周长：用窄纸条紧包在铅笔侧面上，在纸条重叠处扎孔，然后将纸条展开，用刻度尺测出两孔间的长度即铅笔周长。 二“累积法” 例2. 如何用刻度尺测出一根细铜丝的直径？ 分析：细铜丝的直径很小，如果用刻度尺直接测量， 或者测不出或者误差太大，如图2所示，把细铜丝在铅笔 上紧密排绕n圈，测出线圈长度l，则细铜丝直径d l n =。 说明：这种方法我们称为“变小为大法”，也叫“累积法”，常用于微小物理量的测量。用此法还可以测量一张纸的厚度。 三“滚动法” 例3. 如何测量学校操场的周长L？ 分析：可以用米尺直接测量，但较麻烦，先用米尺测出自行车前轮的周长l，然后推自行车绕操场一周，记下自行车前轮滚动的圈数n，则L nl =。 说明此法我们称为“变大为小法” 线时常用此法，汽车、摩托车的里程表就是这个原理。 四“配合法” 例4. 测量一钢管外径，图3的四种方法正确的是哪一个？ 图3 分析：钢管截面是一个圆，其圆心不明确，不能用图C的方法；图A中截面下顶点没有与零刻线对齐；图D中刻度线没有贴近被测物体，读数不准，图B中，刻度尺和三角板准确定位了钢管的外径，故图B方式准确。 说明：这种方法称为“辅助工具法”，用于测量那些难于贴近的长度，如硬币直径、乒乓球直径、圆锥体高等，测量时，都需要借助于三角板等其他工具。 五“公式计算法” 例5. 一盘细铜丝，如何测出它的长度？ 分析：若用米尺直接测量不易操作，可先用天平测出铜丝质量，依据密度公式算出铜丝体积，再除以铜丝的横截面积即得铜丝长。 说明：有些长度不易测量，如旗杆的高度、楼房的高度等。测出阳光下物体的影长，再依据数学知识就可以算出其高度，这种方法我们称为“公式计算法”，它要用到一些数学、物理知识。 长度测量的特殊方法还有很多，实际测量中，同学们要根据具体情况，灵活运用知识，使用更准确、更简便的测量方法，同时，这些方法中蕴含的物理思想也可运用