2019年高考模拟试卷(4)

（第12题）

A

B

P

C

（第13题）

1100223Pr int I While I I I S I End While S

←<←+←+（第5题）

2019年高考模拟试卷(4)

南通市数学学科基地命题

第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知集合{}|22A x x =-<<，集合B 为自然数集，则A

B = ▲ ．

2． 已知()

()()211z a a i a =-+-∈R ，若z 为纯虚数，则a = ▲ ．

3．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的1

4，且样本容量为160，则中间一组的频数为__▲______.

4． 从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色

不同的概率是 ▲ ．

5． 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．

6．在三棱锥S －ABC 中，面SAB ，SBC ，SAC 都是以S 为直角顶点的等腰直角三角形，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则三棱锥S －ABC 的表面积是___▲_____．

7． 已知F 为双曲线C ：2224(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 ▲ ． 8．

ln 22

与22

e 的大小关系是 ▲ ．（用“>”或“<”连接） 9． 为了得到()

πcos 62x y =-的图像，只需将sin 2

x y =的图像向左平移?()0?>个单位，则?

的最小值为 ▲ ．

10． 若函数 0,

2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ?+=?>-?

在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为 ▲ ．

11．已知{}{}n n a b ，均为等比数列，其前n 项和分别为n n S T ，，若对任意的*n ∈N ，总有

31

4

n n n S T +=

，则33a b =

▲ ． 12．如图，在圆O ：224x y +=上取一点(1)A ，E F ，为y 轴上的两点，且AE AF =， 延长AE ，AF 分别与圆交于点M N ，，则直线MN 的斜率为 ▲ ．

13．如图，o o 19045AB BC APB BPC ==∠=∠=，，，则PA PC ?= ▲ ．

14．已知正实数a b c ，，满足111a b +=，1111ab bc ca ++=，则实数c 的取值范围是 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本小题满分14分）已知向量(sin ,cos )x x =a , (sin ,sin )x x =b ， (1,0)=-c ． （1）若π3

x =，求向量a ，c 的夹角θ；

（2）若3ππ,84x ??∈-????，函数()f x λ=?a b 的最大值为12，求实数λ的值．

16．（本小题满分14分）如图，平面ABC ⊥平面DBC ，AB AC AB AC DB DC =⊥=，，，

DE DBC ⊥平面，2BC DE =． （1）求证：//DE ABC 平面； （2）求证：AE ABC ⊥平面．

17．（本小题满分14分）现有一个以OA 、OB 为半径的扇形池塘，在OA 、OB 上分别取点 C 、D ，作DE ∥OA 、CF ∥OB 交弧AB 于点E 、F ，且BD = AC ，现用渔网沿着DE 、EO 、OF 、 FC 将池塘分成如图所示的三种的养殖区域．若OA =1km ，π2AOB ∠=，π(0)2EOF θθ∠=<<．

（1）求区域Ⅱ的总面积；

（2）若养殖区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的每平方千米的年收入分别是15万元、20万元、10万元，记年总 收入为y 万元． 试问当θ为多少时，年总收入最大？

B

E C

D

A

（第16题）

（第17题）

18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 分别是椭圆G ：2214

x y += 的左、右顶点，()()20P t t t ∈≠R ，，且为直线2x =上的一个动点，过点P 任意作一条直线

l 与椭圆G 交于C ，D ，直线PO 分别与直线AC ，AD （1）当直线l 恰好经过椭圆G 的右焦点和上顶点时，求（2）记直线AC ，AD 的斜率分别为12k k ，.

① 若1t =-，求证：1211k k +为定值；

② 求证：四边形AFBE 为平行四边形.

19．（本小题满分16分）已知数列{a n }，{b n }满足：对于任意的正整数n ，当n ≥2时，

221

21n n n a b a n -+=+. （1）若(1)n

n b =-，求18

21

i i a =∑的值；

（2）若数列{a n }的各项均为正数，且12a =，1n b =-.设1

124i n

a n i S ==∑，n T =

试比较n S 与n T 的大小，并说明理由.

20．（本小题满分16分）已知函数()212

f x x =，()ln

g x a x =．

（1）若曲线()()y f x g x =-在1x =处的切线的方程为6250x y --=，求实数a 的值； （2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数12x x ，，都有()()

1212

2h x h x x x ->-恒成立，

求实数a 的取值范围；

（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()

()()

00001f x g x g x f x ''+

<-'成立，求实数a 的取值范围．

Ⅱ卷（附加题，共40分）

21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A ．（选修４－１：几何证明选讲）在圆O 中，A

B ，CD 是互相平行的两条弦，直线AE 与圆O 相切于点A ，且与CD 的延长线交于点E ，求证：

AD 2＝AB ·ED ．

（第21题（A ）

（第22题）

B ．（选修４－２：矩阵与变换）在平面直角坐标系xOy 中，直线20x y +-=在矩阵A ＝1 2a b ??

????

对应的变换作用下得到的直线仍为20x y +-=，求矩阵A 的逆矩阵1-A ．

C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线l ：cos sin x t m y t αα=+??=?（t 为参数）恒经过椭圆C ：?

??==??sin 3cos 5y x （?为参数）的右焦点F ． （1）求m 的值；

（2）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求FA FB ?的最大值与最小值．

D ．（选修４－５：不等式选讲）已知 a b c ，，均为正数，且a ＋2b ＋3c ＝9．求证： 14a ＋118b ＋1108c ≥19．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.

22．（本小题满分106分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y px =（0p >）的准线l 与x 轴交于点M ，过点M 的直线与抛物线交于A B ，两点．设11A

x y （，）到准线l 的距离d p λ=（0λ>）． （1）若11y d ==，求抛物线的标准方程；

（2）若AM AB λ+=0，求证：直线AB 的斜率为定值．

23．（本小题满分10分）在自然数列123n ，，，，中，任取k 个元素位置保持不动，将其余n k -个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为()n P k ． （1）求()31P ； （2）求()4

40k P k =∑；

（3）证明()()110

n n n n k k kP k n P k --===∑∑，并求出()0

n

n k kP k =∑的值．