《复变函数与积分变换》试题(一)答案.

《复变函数与积分变换》试题（一）答案

一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)

1.B

2.D

3.C

4.A

5.A

6.B

7.A

8.D

9.C 10.A

11.D 12.C 13.B 14.B 15.C

16.D 17.B 18.D 19.A 20.C

二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)

21. 8

22. 0

23. 1

24. z=0 25. z=12

133(),+i e i 或π

26. 4πi

27. -+2ππ()i 28. ππππ23233

i i ,cos 或? 29. e

30. 6

三、计算题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

31.解1： ????u x x y u y

x y =+=-2222,, 由C -R 条件，有

????v y u x =，????v x u y =-， ∴ v v y dy x y dy xy y x =

=+=++?????()()2222. 再由?????v x y x x y u y

=+'=-+=-222()， 得'=-=-+??(),(),x x x x C 22于是

∴ v=2xy+y 2-x 2+C.

由v(0,0)=1, 得C=1.

故v=2xy+y 2-x 2+1.

解2：v(x,y)=????v x dx v y dy C x y ++?

(,)(,)00 =()()(,)(,)

222200y x dx x y dy C x y -+++?

=-x 2+2xy+y 2+C

以下同解1.

32.解1：z z z dz zdz i i d C C +==?+-???||Re cos (cos sin )12222θθθθππ

=4i (cos ).1240+=?θθππ

d i

解2：z z z z dz e e ie d C i i i ||||+?? ???=+?? ??

???-2222202θθπθθ =2i(2π+0)=4πi.

33.解：因为f ˊ(z)=e z -2=()!()!

(||)-=-<+∞=∞

=∞∑∑z n n z z n n n n n 20021， 所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得 f(z)='=-++=∞∑?f d n z n n n n z

()()!ζζ121

2100 （||z <+∞）. 34.解：因在C 内f(z)=e z i z i z

π()()-+223有二阶极点z=i ，所以

f z dz i d dz

z i f z z i C ()!lim[()()]=-→?212π =232323ππππi e z i e z i z i z z

lim[()()]→+-+ =ππ16

12().-+i 四、综合题（下列3个题中，35题必做，36、37题选做一题，需考《积分变换》者做37

题，其它考生做36题，两题都做者按37题给分。每小题10分，共20分）

35.解：在上半平面内，f(z)=e z z iz

()()2219++有一阶极点z=i 和z=3i.

∵I=121912192222cos ()()Re ()()x x x dx e x x dx ix

++=++-∞+∞-∞+∞?? =12

223Re{Re [(),]Re [(),]},ππi s f z i i s f z i + Res[f(z),i]=

116ei , Res[f(z),3i]=-

1483e i , ∴ I e e =-π

483132().

36.解：（1）由||||z i z i +=-=????

?22 解得交点z 1=1,z 2=-1. 设w 1=z z -+11

，则它把D 映射成W 1平面上的D 1：ππ4341<

41,则它把D 1映射成

W

2平面上的第一象限D 2：02

2<0.

（4）w=()().e

z z i z z i -?-+=--+π

4221111