有关洛伦兹力做功和其与安培力的关系

有关洛伦兹力做功和其与安培力的关系

近来，我在做题过程中发现了一些很有疑惑的题，开始我感觉洛伦兹力做功了，这与我以前学的洛伦兹力永不做功相矛盾。于是我问了很多同学，查了很多资料之后，得出了较为成熟，准确的结论，今天我把这些当作小论文写出来。

首先我们来看道题。如下：

1．如图11-4-24所示，在空间有水平方向的匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直于纸面向里，在磁场中有一长为L 、内壁光滑且绝缘的细筒MN 竖直放置，筒的底部有一质量为m 、带电荷量为+q 的小球，现使细筒MN 沿垂直磁场的方向水平向右匀速运动，设小球带电荷量不变．

（1）若使小球能沿筒壁上升，则细筒运动速度v 应满足什么条件？

（2）当细筒运动速度为v 0（v 0>v ）时，试求小球在沿细筒上升高度h 时小球的速度大小．

我先给出这道题的传统解法：第一问：当qvB>mg 时，即Bq

m g >

v 时， 小球可以沿着筒上升。

这时，我们对小球先进行受力分析，发现小球在水平方向受筒对其向右的支持力；在竖直方向上受竖直向下的重力和竖直向上的支撑力，这是一对平衡力。而小球还受一个竖直向上的洛伦兹力，小球开始瞬间向上运动的速度就只有洛伦兹力提供了，那么洛伦兹力就肯定对小球做了功。

现在我还不进行讨论。下面给出第二个题的答案。 第二题直接由动能定理：20202

121q mv mv mgh Bh v t -=-得出， 200)(2v v m mg B qv h t +-= v B M N L

图11-4-24

这里有点不好理解。为什么可以用洛伦兹力做功去算呢？难道真做功了？ 我们把和速度分解为水平方向的速度x v 和竖直方向的速度y v 。 可以发现水平方向的速度始终恒等于筒的速度0v 。

现在我们又把始终垂直于合速度的洛伦兹力分解到水平方向和竖直方向：

则有：

B qv f y x =;

B qv x y =f

由受力分析可知，该小球在竖直方向上的速度始终仅由洛伦兹力提供。且可知小球在竖直方向上做加速度不变的直线运动；在水平方向始终做匀速运动。

此时我们来分析对小球在两个方向的洛伦兹力的功率。对于水平方向上的功率有： x y x x v qBv v f P ==x

x y y v qB v f P y y v ==

可以发现，在两个方向上的功率相等，由运动时间相同，那我们可以得出，洛伦兹力在水平方向和竖直方向上的力的功也相等。

此时，我们在和小球的和速度可知，洛伦兹力一个为正，一个为负。

即和功w=0,即洛伦兹力的合力做功为0，也就是没有做功，而其竖直分力确实做功了！

二、洛仑兹力与安培力的关系

安培力是磁场对通电导线的作用力，尽管安培力和洛仑兹力是两个不同的概念，但由于导线中的电流是由大量自由电子沿导线定向移动形成的，因此安培力与洛仑兹力之间必然存在某种关系。这就是通常所说的安培力是洛仑兹力的宏观表现，洛仑兹力是安培力的微观本质。下面分两种情况讨论两者的关系。

1．通电导体相对于观察者静止

如图2所示，设导线元长L，截面积为S，自由电子密度为n，则导线元所含自由电子数为，若每个自由电子都以速度u沿导线做稳定的定向移动，每个电子所受的洛仑兹力大小为，N个自由电子受的洛仑兹力为。则每个自由电子将在洛仑兹力的

作用下，在与晶格不断碰撞过程中形成侧向漂移运动，这种侧向漂移运动的结果是使电子积累在导体的一侧形成负电荷层，而导体的另一侧因缺乏电子而形成正电荷层，于是构成导体内的横向电场──霍尔电场（这就是霍尔效应）。霍尔电场施予自由电子的电场力与外磁场给予电子的洛仑兹力的方向相反，当两种力大小相等时，自由电子便不再侧向漂移，而是处于沿导线方向的稳定的定向移动。但是对导线元来说，这里两个力一个是外力，一个是内力，洛仑兹力是外磁场给予导线内的自由电子的，而霍尔电场给予电子的电场力则属于导线元电荷间的内力。由于霍尔电场是稳定的，稳恒电场力是遵从牛顿第三定律的，因此自由电子将给霍尔电场（也即导体左右两侧的正负电荷）一个反作用力，这个反作用力与自由电子所受的电场力反向，而与自由电子所受的洛仑兹力等值同向。而正是这个力对N个电子求和，即

表现为通电导线所受到的宏观安培力。，由于，所以，安培

力就表示为。此时由于导线不动，安培力做功为零，这与洛仑兹力永不做功的特

性相符。

因此，结论是，在导线不动时安培力是洛仑兹力叠加而成的，是洛仑兹力的宏观表现，洛仑兹力是安培力的微观本质。

2．通电导体垂直于电流方向有运动

如果按上面的推理，安培力是洛仑兹力的宏观表现，但是由于导线元有运动，安培力要做功，如果还认为安培力是洛仑兹力叠加而成的，则洛仑兹力就要做功，这将与洛仑兹力的根本性质发生冲突！

如图3所示，略去自由电子的热运动不计，自由电子参与了两个方向的运动，一是沿导线的定向移动，速度为u；二是随导线一起向右的牵连运动，速度为v。两个方向运动导致

的洛仑兹力分别是和，对速度v的功率，对速度u的功率，这说明洛仑兹力虽然整体不做功，但并不排除它的分力做功。

这里两个分力的作用不同。分力通过霍尔电场的作用最终构成外磁场对通电导线元

的安培力，即安培力可视为所以自由电子所受洛仑兹力分力的叠加，而不是整个洛仑兹力的叠加。另一个分力的作用不是构成安培力，而是促成导线元中动生电动势的形成（当然对电量来说是反电动势）。

小结：对于这两个问题其实有很大的相似之处，也用了类似的方法论证。

其结论是：1，洛伦兹力依然永不做功。

2，安培力可以看做洛伦兹力的分力叠加。