高一数学暑假班辅导讲义

知识精要

1. 集合的概念：由确切指定的一些对象组成的整体叫做集合. 集合中的各个对象叫做集合

的元素. 集合的元素具有确定性、互异性和无序性

其一，集合中的元素是确定的（元素的确定性）.即对于给定的集合和任意给出一个对象，能够明确判定该对象是否是这个集合中的元素（只有“是”或“不是”，没有第三种选择） 其二，集合中没有两个（或以上）相同的元素（元素的互异性）.即集合中的元素互不相同，都不重复出现

其三，集合中的元素地位是相同的（元素的无序性）.即集合中元素的出现与顺序无关

2. 元素与集合的关系常用符号“∈和?”来表示. 例如，a 是集合A 的元素，记为a A ∈，

读作“a 属于集合A ”； a 不是集合A 的元素，记为a A ?，读作“a 不属于集合A ”

3. 不含任何元素的集合叫空集，记作：?.

4. 集合的分类：按集合的元素个数可分为有限集、无限集和空集. 有限集中含有有限个元

素；无限集中含有无限多个元素. 由数构成的集合简称数集. 以下是几个常用的数集：

（1） 全体实数构成的集合叫实数集，简记为R ，有时用()R R +

-

表示正（负）实

数集；

（2） 全体有理数构成的集合叫有理数集，简记为Q ，有时用()Q Q +

-

表示正（负）

有理数集

（3） 全体整数构成的集合叫整数集，简记为Z ，正整数构成的集合记为*

N

（4） 全体自然数构成的集合叫自然数集，简记为N

5. 集合的表示方法：列举法和描述法

（1） 列举法：将集合中的元素一一列举出来，并写在大括号“{ }”内表示集

合的方法，叫列举法. 列举法常用来表示有限集和规律性比较强的无限集. 如：15的所有约数构成的集合用列举法表示为{-15，-5，-3，-1，1，3，5，15}；正偶数集可用列举法表示为{2，4，6，8，10，…}

（2） 描述法：将集合中的元素所具有的性质描述出来，并写在大括号“{ }”

内表示集合的方法，叫做描述法. 描述法常用来表示元素性质比较强的集

合，其基本格式为{}x P ，其中x 是代表元素，分隔符“

”后面的“P ”

是代表元素所具有的特征性质. 例如：奇数集合可表示为

{21,}x x k k Z =+∈

6. 子集：对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫

做集合B 的子集，记作A B ?；如果A B ?且B 中至少有一个元素不属于A ，则称集合A 是集合B 的真子集. 空集是任何非空集合的真子集

7. 集合相等：若集合A 是集合B 的子集，且集合B 也是集合A 的子集，则称集合A 与集合B 相等

热身练习

1. 用适当的符号填空：0_∈___{0,，1}；{1，2}___?___{1，3，2，4}；0 _?__ ?；

{ 0 }___∈___{ {0}，{1，2}，{0，1} } （注意集合中的元素可以是集合） 2. 用列举法表示集合2{1,2,}y y x x x Z =-≤∈=_{-1，0，3} __________ 集合

2{(,)1,2,}x y y x x x Z =-≤∈=____{(2,3),(1,0),(0,1),(1,0),(2,3)}---__________

（注意集合中的元素可以是点坐标）

3. 集合M= 2{20,}x x x a x R +-=∈≠?，则实数a 的取值范围是___1a ≥-________

4. 已知：2(),{()2}{2}f x x ax b A x f x x =++===，则a =__-2____; b =____4___ （(2)4,0f =?=建立二元一次方程组计算a,b 的值）

5. 设含有5个元素的集合的全部子集为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则

T S =__516

__ （若非空集合含有n 个元素，那么它的子集数为2n 个，非空子集和真子集的个数都是21n -个，非空真子集的个数为22n -）

6. 集合{21,},{41,}A x x n n Z B y y k k Z ==+∈==±∈，则A 与B 的关系为___=______ （用列举法一一列出集合中的元素即可）

7. 已知集合2{2530},{1}M x x x N x mx =--===，若N M ?，则适合条件的实数m

的集合P 为___1

{0,2,}3

-_________；P 的子集有___8__个；P 的非空真子集有___6__个 （注意空集是任何集合的子集，解题时千万不要漏掉） 8. 设集合k 1k 1x x ,k Z ,N x x ,k Z 2442M ????

==

+∈==+∈????????

,则下列正确的是（B ） A M=N

B

M N

?

C

M N

? D

M N =?I

（用列举法把两集合中的元素一一列举出来）

9. 设集合{10}P m m =-<<，2

{440x }Q m mx mx =+-<对任意实数恒成立，则下

列关系中成立的是（A ）

A P Q ?

B Q P ?

C P Q =

D P Q ?=? （利用二次函数图像数形集合）

10. 设集合{,,}P x y x y xy =-+，2222

{,,0}Q x y x y =+-，若P Q =，求x,y 的值和集合P 、Q

利用集合相等及集合中元素的互异性分类讨论

（1）若x-y=0，则x=y ?2

2

0x y -=，由集合的互异性推出矛盾 （2）若x+y=0，同理可推出矛盾

（3）若xy=0?00x ory ==，若y=0集合P 中有相同的元素，所以矛盾 若x=0，可推出1y =±，所以{1,0,1},0,1P Q x y ==-==±

精解名题

1. 已知22{,,}M x x a b a b Z ==-∈，若,p q M ∈，则pq 是否属于M ，为什么？ 解：因为p,q ∈M ，所以存在a,b,m,n ∈Z ，使得2

2

2

2

,p a b q m n =-=-

所以2222

()()pq a b m n =--=2

2

2

2

()()()()am bn an bm +--

=22

()()am bn an bm +-+

由a,b,m,n ∈Z 得am+bn ，an+bm ∈Z,所以pq ∈Z

2. 设S 是实数组成的集合，且当a S ∈时，

1

1S a

∈- （1） 如果3S ∈，那么S 中至少含有哪几个元素？ （2） S 是否可能为单元素集合？

（3） 如果a S ∈，那么S 中至少有哪几个元素？

解：（1）3S ∈11132S ?=-∈-?2

3

S ∈?3S ∈（已循环） （2）由集合中元素的互异性得

1

1a a

=-，得210a a -+=，方程无实数解 （3）a S ∈?11S a ∈-?11a -S ∈?a S ∈（已循环）且11,,11a a a

--三者互不相等，所以至少有3个元素

3. 设222{40},{2(1)10,}A x x x B x x a x a x R =+==+++-=∈，若B A ?，求实数a

的取值范围

解：由已知得A={0，-4}，因为B A ?，所以{0}{4}{0,4}B or or or =?-- 当B =?，2

2

4(1)4(1)0a a ?=+--<，得1a <-

当{0}B =时，22

22

02(1)010

14(1)4(1)0a a a a a ?++?+-=??=-??=+--=?? 当B ={4}-时，2222

(4)2(1)(4)10

4(1)4(1)0a a a a ?-++?-+-=???=+--=??无解

当{0,4}B =-时，2222

(4)2(1)(4)10

02(1)010

a a a a ?-++?-+-=??++?+-=???1a = 所以实数a 的取值范围是{0,4}(,1]{1}B =--∞-?

4. 设2

{,,2},{,,}M a a d a d P a aq aq =++=，其中0a ≠，M=P ，求q 的值

解：由M=P ，所以2

2a d aq a d aq +=??+=?①或2

2a d aq a d aq

?+=?+=?② 由①得2

(1)(1)2a q d

a q d -=-??-=-?

两式相除的q=1 由集合元素的互异性，舍去 同理由②可得12

q =-

5. 设2

(),{()},{[()]}f x x px q A x x f x B x f f x x =++==== （1） 求证：A B ? （2） 如果{1,3}A =-，求B

解：(1)由题意，对任意()(())()x A x f x f f x f x x x B A B ∈?=?==?∈??

(2)由集合A={-1，3}可得p=-1，q=-3，因此2

()3f x x x =--，由(())f f x x =可得

222(3)(3)3x x x x x ------=，所以23x x x --=±?13x or or =-±

所以集合{B =-

巩固练习

1. 设P 、Q 为两个非空集合，定义集合{,}P Q a b a P b Q +=+∈∈. 若

{0,2,5},{1,2,6}P Q ==，则P Q +的元素个数为_____8___

2. 定义非空集合A 的真子集的真子集为A 的“孙集”，则集合{1，3，5，7，9}的孙集有__26_

个 （分空集、含1、2、3个元素集合讨论即可） 3. 满足{,}{,,,}a b A a b c d ??的集合A 共有__3_____个 4. 已知集合{,,lg()},{0,,}M x xy xy N x y ==，且M=N ，求：

2200822008111

()()...()x x x y y y

++++++的值

解：由集合元素的互异性可得lg 0xy =，1xy =. 在根据集合相等可得11x ory == 当y=1，由集合M 元素的互异性可推出矛盾 当1x =，x=1时由1xy =可推出y=1由互异性矛盾 X=-1,则y=-1，符合条件 带入答案为0

5. 已知集合{35,,},{710,,}A x x a b a b Z B y y m n m n Z ==+∈==+∈，求证：A=B 先证A B ?：357(5)10(4)x a b x a b a b =+?=--++

由a,b Z ∈,可得5a b Z --∈，4a b Z +∈ 由x 的任意性，只要x A ∈,则x B ∈?A B ? 再证B A ?：710y m n =+?35(22)y m m n =-++ 因为-m ，2m+2n ∈Z ，所以B A ? 所以A=B

6. 若集合2{10,}A x x ax x R =++=∈，集合{1,2}B =，且A B ?，求实数a 的取值范围 分类讨论，注意空集不要漏掉

a ∈[2,2)-

自我测试

1. 集合{,1},{,1,2}P x Q y ==，其中,{1,2,3,4,5,6,7,8,9}x y ∈，且P 是Q 的真子集，把满足上述条件的一对有序整数(,)x y 作为一个点，这样的点的个数为___14_____

2. 已知集合2

2

2

{1},{1},{1}P y y x Q y y x E x y x ==-==+==+，

2{(,)1},{1}F x y y x G x x ==+=≥，则下列正确的是（ D ）

A P=F

B Q=E

C E=F

D Q=G

3. 已知集合{12},{41}A x a x a B x x =-≤≤+=-<，若A B ?，求实数a 的取值范围 由B 是A 的子集且{35}B x x =≤≤，所以a-1≤3且a+2≥5 得34a ≤≤

4. 已知集合2{320,}A x ax x a R =-+=∈，（1）若A 是空集，求a 的取值范围 （2）若A 中只有一个元素，求a 的值 （3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围

解：由?<0，?=0，两者再取并集分别可得（1）、（2）、（3）中a 的取值范围（不要漏掉a=0时方程为一元一次方程的情况）

5. 已知集合2{3,4},{20},A B x x px q B =-=-+=≠?，且B A ?，求实数p,q 的值 分类讨论B={-3}、{4}、{-3，4}的情况即可

39p q =-??=?，416p q =??=?，1212

p q ?

=

???=-?

参考答案

热身练习

1. ,,,∈??∈

2. {-1，0，3} ，{(2,3),(1,0),(0,1),(1,0),(2,3)}---

3. 1a ≥-

4. -2，4

5.

5

16

6. =

7. 1{0,2,}3-，8，6

8. B

9. A 10. {1,0,1},0,1P Q x y ==-==±

精解名题 1. 略 2. （1）123,,23- （2）不可能 （3）11,,11a a a

-- 3. (,1]{1}a ∈-∞-? 4. 1

2

q =-

5. (1)略 （2

）{B =- 巩固练习

1. 8

2. 26

3. 3

4. 0

5. 略

6. [2,2)- 自我测试

1. 14

2. D

3. 34a ≤≤

4. （1）98a >

（2）908a or = （3）908

a ora =≥ 5. 39p q =-??=?，416p q =??=?，1212

p q ?

=???=-?

知识精要

一 交集运算

一般地，我们把属于集合A 且属于集合B 的所有元素构成的集合，叫集合A 与B 的交集，记作：A B ?

由定义可知，{,}A B x x A x B ?=∈∈且. 任意两个非空集合A 、B 的交集有以下四种情况：

A

B

B

A

B

A

B

A

任意两个非空集合A 、B 的交集具有以下性质： 1. A B B A ?=?

2．A B A ????，A B B ????

3. A ??=?，即空集与任何集合的交集都是空集

4. ,A B A B A B A A B B ???=???=

二 并集运算

一般地，我们把属于集合A 或者属于集合B 的所有元素构成的集合，叫集合A 、B 的并集，记作：A B ?

由定义可知，{,}A B x x A x B ?=∈∈或.任意两个非空集合A 、B 的并集有以下四种情况：

A

B

B

A

B

A

B

A

任意两个非空集合A 、B 的并集具有以下性质： 1. A B B A ?=?

2. A A B ??, B A B ??

3. A A ??=，即空集与任何集合的并集都等于该集合

4. A B A B B ???=，B A A B A ???=

三 补集运算

一般地，设U 是全集，A U ?，定义由属于U 但不属于A 的元素构成的集合叫A 的补集，记作：U C A

在维恩图中，我们以矩形表示全集，集合A 的补集U C A 表示下图空白部分

补集的运算性质： 1. U A C A ?=? 2．U A C A U ?=

3. ()U U C C A A =；U C U =?；U C U ?= 四 集合的运算律

1. 交换律：A B B A ?=?；A B B A ?=?

2. 结合律：()()A B C A B C ??=??；()()A B C A B C ??=??

3. 分配律：()()()A B C A B A C ??=???；()()()A B C A B A C ??=???

4. 反演律：()U U U C A C B C A B ?=?；()U U U C A C B C A B ?=?

热身练习

1. 已知集合{11,},{}P x x x R Q x x N =-≤∈=∈，则P Q ?=__{0,1,2}______

2. 若集合}{{}}{

2M 1,3,x ,N x ,1,M N 1,3,x ===U 且,则x=___0or ±（利用N 是M 的子集和集合元素的互异性） 3. 设

集

合

{3,},{1,2},{2,1,2}

I x x x Z A B =<∈==--，则

()I A C B ?=____{0,1,2}______

4. 已知集合1

{(,)20},{(,)

0}2

y A x y x y B x y x -=-===-，则A B ?=__?______ A B ?=__{(,)12}x y y orx y ==______（注意集合B 要去掉一点（2，1））

5．已知集合U 、P 、Q 满足{}{}U P Q 0,1,2,3,4,P Q 1,3===U I ，则 U U (C P C Q)(P Q)=

U I U __{0,2,4}_____（利用集合的运算律

()U U U C A C B C A B ?=?）

6. 如图，设I 是全集，非空集合P 、Q 满足P Q I ??.若集合P 、Q 的一个集合运算表达式，使运算结果为空集.则这个运算表达式可以是____I P C Q ?_______

7. 设数集3

1

{},{}43

M x m x m N x n x n =≤≤+=-

≤≤，且M 、N 都是集合{01}x x ≤≤的子集，如果把b a -称为集合{}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N ?的长度的最小值为_____

1

12

____

8. 设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A B I ??，则下列各式中错误的是（A ） A ()I C A B I ?= B ()()I I C A C B I ?= C ()I A C B ?=? D ()()()I I I C A C B C A ?= （利用文氏图判断）

9．设全集{}{}{}{}U U U 1,2,3,4,5,S P 2,C S P 4,C S C P 1,5U ====I I I ,则（B ） A 3S,3P ∈∈ B U 3S,3C P ∈∈ C U 3C S,3P ∈∈ D U U 3C S,3C P ∈∈ （利用文氏图判断）

10. 设集合2

2

{,1,3},{3,21,1}A a a B a a a =+-=--+，且{3}A B ?=-，求实数a 的值 解：因为{3}A B ?=-，所以a-3=-3或2a-1=-3，即a=0或a=-1; 当a=0时，A={0,1,-3}，B={-1,1,-3}，{1,3}A B ?=-与已知矛盾，舍去 所以a=-1

精解名题

1. 已知集合{}{}

{}

*

A 0,1,2,

B x x A,x N ,

C x x A ==∈∈=?,试问A B U 于C 之间的关

系？

解：由题意得B={1,2}，{0,1,2}A B ?=，{,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2}}C =? 因此A B C ?∈

（注意集合中的元素可以是集合）

2．某班有28名同学参加校运动会，其中有15人参加了游泳比赛，8人参加了田径比赛，14人参加了球类比赛，而同时参加游泳和田径两项比赛的有3人，同时参加游泳和球类两项比赛的有3人，还有若干人同时参加了三项比赛，但参加的人数不比同时参加田径和球类两项比赛的人数少，问只参加一项比赛的一共有多少人？

C B

A

V III IV

VII

VI

II

I

设A={参加游泳比赛的同学}，它包括四个区域I 、II 、VI 、VII 共15个元素 B={参加田径比赛的同学}，它包括四个区域II 、III 、IV 、VII 共8个元素 C={参加球类比赛的同学}，它包括四个区域IV 、V 、VI 、VII 共14个元素

根据题意II 有3个元素，区域VI 有3个元素，设区域IV 有x 个元素，区域VII 有y 个元素，则y ≥x ，x 和y 都是正整数

参加总人数有15+8+14-3-3-x-2y=28 由x+2y=3及y ≥x 可得x=1,y=1 因此区域I 有15-3-3-y=8（人），区域III 有8-3-x-y=3（人），区域V 有14-3-x-y=9（人）

3. 已知A={

}{

}{}

{

}

22t x 2tx 4t 30R ,B t x 2tx 2t 0t 满足x t 满足x +--≠==+-=≠?,其中x,t 均为实数

（1） 求B A I

（2） 设m 为实数，2

g(m)m 3,=-求{}

M m g(m)A B =∈I

（1）集合A 实际上是使得2

2430x tx t +-->恒成立的所有实数t 的集合，故令

21(2)4(43)0t t ?=---<解得-3

集合B 实际上是使得方程2

220x tx t +-=有解的所有实数t 的集合，故令

22(2)4(2)0t t ?=--≥，解得0t ≥或2t ≤-

所以A=（-3，-1），B=(,2][0,)-∞-?+∞，那么(3,2]A B ?=-- （2）2

3321001m m m -<-≤-?-≤<<≤或 所以{1001}M m m or m =-≤<<≤

4．设集合{

}{

}

2

2

x x 3x 180,B x x ax b 0A =--==++=.若A B=B I ,求实数a,b 所满足

的条件

解：由题意得A={-3，6}，由A B B B A ?=??，所以{3,6}B ?- 从而{3}{6}{3,6}B or or or =?-- 当B =?，2

40a b ?=-<

{3}B =-，由-3是方程20x ax b ++=的根且0?=，a=6,b=9 {6}B =，同理可得a=-12，b=36 {3,6}B =-，a=-3,b=-18

5. 设*{8,},{1,3,4,5,6,7}I I x x x N A C B =≤∈?=，{1,2,4,5,6,8}I C A B ?=，

{1,5,6}I I C A C B ?=，求集合A 和集合B

解：显然I={1,2,3,4,5,6,7,8}，因为{1,3,4,5,6,7}I A C B ?=，由集合运算律的反演律

{2,8}I C A B ?=，同理{3,7}I A C B ?=，{2,3,4,7,8}A B ?=

由文氏图可知，A={3,4,7}，B={2，4，8}

1,5,6

2,8

4

3,7

B A I

巩固练习

1. 1．集合A 有10个元素，集合B 有8个元素，全集U 有15个元素，那么B A U 最多有

_15___个元素，最少有__10___个元素 2. 已知集合{}{}

{}22a ,a 1,3,B a 3,2a 1,a 1,3A 若A B=-=+-=--+I ，则a=_-1___ 3． 已知集合{25},{121}A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，若A B A ?=，则实数m 的取值范围是___23m ≤≤________ （2m-1≥m+1不要漏掉）

4. 已知集合{}

2

x 4mx 2m 60,x R A x =-++=∈,若A R -

≠?I ,求实数m 的取值范围

A R -≠?I ?方程必有负数根：包括两负根、一负一正、一负一零根，讨论起来比较复