微积分——期末考试模拟试卷以及答案

《微积分II 》练习题

一、填空题

1．函数()

y x z +=

ln 1的定义域是_______________ 。

．函数(,)f x y =，则定义域为。

3．。

4.设(,)(1)arcsin f x y xy y =+-(,1)x f x = _______ 。

5.设222ln

y x e z x +=，则=)1,1(dz 。

6．函数y

x z =在（2，1）点处的全微分为_______________。 7.

()D

xyf x y dxdy +=??

。（其中D ：由曲线221y x y ==与所围成）。 8. 改变积分次序

(,)x

x dx f x y dy ??

= _________ 。

9.微分方程'sin cos x y y x e -+=的通解是。

10.微分方程

0=+'y y 满足初始条件10

==x y

的特解。

11.计算_________________sin 2

=??-dy y dx x

12．微分方程02'"=+-y y 的通解是。 13．差分方程02312=+-++t t t y y y 的通解是。 14.计算极限.______________________)sin(4

2lim 0

0=+-→→xy xy y x

二、选择题

),(,),( 22=-=-y x f y x y

y x f 则

1．极限

).(2lim

0,0(),(=+→y

x xy

y x

（A ）;0 （B ）;1 （C ）;2 （D ）不存在。 2．二元函数z=f(x,y)在点),(00y x 处各偏导数存在是全微分存在的（）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）无关条件（D ）充要条件 3.设 f(x,y) 在点（a,b ）处的偏导数存在，则=--+→x

b x a f b x a f x )

,(),(lim 0

（）

(A) 0 (B) ),2(b a f x ' (C) ),(b a f x ' (D) ),(2b a f x ' 4．若)y , (x f z =在点P （x ，y ）处

x z ??，y

z ??都存在，则下列结论正确的是（）。（A ）),(y x f z =在P 点可微；（B ）),(y x f z =在P 点连续；

（C ）若x z ??，y

??在P 点连续，则=???y x z 2x y z ???2；（D ）以上结论都不正确 5．交换?

dx y x f dy 0

),(（a 为常数）的次序后得（）

（A ）?

dy y x f dx 0

),( （B ）?

x a dy y x f dx ),(0

（C ）??x

dy y x f dx 0

),( （D ）??ya

a dy y x f dx

),(

6．二次积分??

--+2 1

2 0

0 2 0

),(),(2

x x dy y x f dx dy y x f dx 可交换积分次序的为（）

（A ）?

?-2

2 0

),(x dx y x f dy ；（B ）??

--+1

2 11 2),(y

y dx y x f dy ；（C ）

--1

-2 11 2

),(y dx y x f dy ；（D ）??

-2 0

2 0

),(x x dx y x f dy

7. D 是由x x y y =-==-=1111，，，所围成的区域，则2d D

σ??=( )

(A) 1； (B) 2 ； (C) 4 ； (D) 8

8．函数x

y=(c+x)e 是方程的222

0d y dy

y dx dx

-+=的（） A. 通解 B. 特解 C. 解 D. 不是解

9. 方程0='+'''y y 的通解是( ).

(A)1cos sin C x x y +-=；

(B)321cos sin C x C x C y +-=；

(D)1sin C x y

-=.

10．二元函数33)(3y x y x z

--+=的极值点是( ).

(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1).

11．

+→→2

(lim 2

0y x y x y x ( ).

(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e

三、解答题

1．求极限（1）.)sin(lim 22200y x y x y x +→→ （2）

(

(,)0,0lim x y → 2．求函数2ln(2);u u u x x y x y x

??=-???的偏导数；。 3．已知 2

242(3)

,x y

Z Z Z x y x y

+??=+??设求

和. 4．),(y x z z =由02=+--z xy

e z e

确定，求dz 。

6 . 求函数),

xy f z =的一阶及二阶偏导数(其中f 具有一、二阶连续偏导数). 所确定的是由方程设333),(.5a xyz z y x z z =-=.

,2y

x z

dz ???及求二元函数

7. 计算

dxdy xe D xy ?? ，其中 }01,10),{(≤≤-≤≤=y x y x D 8．计算dxdy e D

y x ??+-)

(22

，其中 .9:22≤+y x D

9.计算

()

??+D

dxdy y x

，其中D 是由21y x --=，直线1-=y ，1-=x 所围成的闭区域.

10．求微分方程

011=+-+dy x

y xdx 在初始条件1|0==x y 的特解。 11．求下列微分方程满足所给初始条件的特解.

,0)ln (ln =-+dx x y xdy x .1==e

x y

12．

13． 14．求差分方程02312=+-++t t t y y y 的通解。

15．求差分方程121=++t t y y 的通解。

16．求差分方程t y y t t 221=++的通解。

四、应用题

1、求函数()xy y x y x f 3,3

-+=的极值。

2、某厂家生产的一种产品在两个市场销售，售价分别为21,p p ，销售量分别为21,q q ，它们与价格的关系为112.024p q -=，2205.010p q -=，总成本函数为

)(403521q q C ++=，试问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使获得的总利润最大？

最大利润为多少？

3 某厂准备生产甲、乙两种产品，已知甲、乙的产量分别为y x ,时，总成本为

()(

2331.032400,y

xy x y x y x C +++++=（元），且售价分别为10元和9元。问

两种产品各生产多少时，该厂可获得最大利润？

.)(222的通解求微分方程dx x xy y dy x +-=.

2的通解求微分方程y x y x dx dy =-

《微积分II 》练习题答案

一、

填空题

1.1>+y x

2.{(,)0,0}x y y x x y ≤≥+>

4． 1 ; 5 .=)1,1(dz 2

11(ln 2)2

e dx e dy ++ 6．dz=dx+2ln2dy 7. 0 8.dx y x

f dy y

),( ; 9.sin ()x y x c e -=+ 10. x e y -=

11.

)4cos 1(21- 12.4

二、选择题

1. D

2.B

3. D

4.D

5.B

6.B

7.D

8.C

9. B 10. A 11. B

三、解答题

1．（1）222

222)sin(0y x y x y x y x +≤+≤x y

x xy x 212

2≤+≤ ---------(4分) 且.0lim 0

=→x x ---------(5分)

所以 .0lim 2

2=++∞

→∞→y x y

x y x ---------(6分)

（2）当()(,)0,0x y →

10,0xy →→，

因此，

(

)

)(

)

(,)0,0(,)0,0(,)0,01lim

lim

12x y x y x y xy xy

→→→+==

2、解：

ln(2)2u x x y x x y

?=-+?---------------(2’) 22u x y x y

?-=?- -----------------------------------(4’) 222

2(2)24(2)(2)u x y x y

y x x y x y ?--+==

??-- -------(6’)

1),(2

x y y y x f -+=

3．解：v u Z =

223y x u += y x v 24+=

1-=??v vu u Z u u v

Z v ln =?? x x u 6=??， y y u 2=??， 4=??x

， 2=??y v )3ln()3(4)3)(24(622242212422y x y x y x y x x x v

v Z x u u Z x Z y x y x +++++=?????+?????=??+-+

)3ln()3(2)3)(24(222242212422y x y x y x y x y y

v v Z y u u Z y Z y x y x +++++=?????+?????=??+-+ 4、两边求全微分02)(=+---dz e dz xy d e

z xy

-------------- (3’) 02)(=+-+--dz e dz xdy ydx e

z xy

----------------------(4’)

)

(-+=-z

xy e xdy ydx e dz 层 -----------------------------------(6’)

6. 解设,,x

v xy u =

= 则),(v u f z = -------------- (1分) 则

),()3(.533a d xyz z d =-由,

033332=---xydz xzdy yzdx dz z ,2

2dy xy

z xz

dx xy z yz dz -+-=

,2xy

z yz x z -=??.2xy z xz y z -=??2

22)()2())((xy z x y z z yz xy z y z y z --???--??+=y x z ???2222

2)()2())((xy z x xy z xz z yz xy z xy z xz y z ---?---+=.

)()

2(3

22224xy z y x xyz z z ---=x v v z x u u z x z ?????+?????=??,2v u f x

y yf -=22x

z ??v f x y

32+??? ??-=uv uu f x y yf 2??? ??-vv vu f x y yf 22x y -vv uv uu v f x y f x y f y f x y x

z 42

22232

222+-+=??z

?2?

??++uv uu f xf y 1v f 21-

.12?

??+-vv vu f xf y

7．解：dxdy x x

I D

??=sin ?

dy x

dx 0

sin ----------------------( 2分 ) ?

?=1

0sin dx x y x

-------------( 3分 ) ?

sin xdx ----------------------( 4分

8．解：

e x dx e dx e dy xe dx dxdy xe x x xy xy D

xy 1

)()1()(1

010

=+=-===----??????（5’） 9.解：85

5623442122

2342

2=??????-++=??????=??????=--+-+?????y y y y dy y x dy xydx xydxdy y y D

y y

10. 解：

????-+-=D

x rdrd e dxdy e

θ2

2)2

( ---------------------------( 2分 ) ??

-=3

020

rdr e

d r π

θ --------------------------------( 3分)

--=

θ20

1(2d e r ---------------------------( 4分 )

).1(9

--=e π -------------------------------------( 5分 )

11. 解：()πθθππ

ππ8342

321

=???

? ??==+?

????d r rdr r d dxdy y x

12．

.132vv uu v u f x

y xyf f x f -+-

f =

x 0232

232

(1)(1)(1

)(1)11112

y 0C 56

y 11151123623323250x xdx y y dy

x xdx

y ydy x x C

y y x x y y y y x x ＝17,将原始变形得到：两边积分得到：即：（4）将＝代入上式，即得：＝

（）

从而在初始条件：＝的特解为：等价于:-7（）

13．将方程标准化为,1

ln 1x

y x x y =+

'于是 ???

? ?

?+=?

??-

C dx e x e y x x dx

x x dx

ln ln 1??

? ??+=?-C dx e x

e x x ln ln ln ln 1.ln 2

1ln 12??

? ??+=C x x 由初始条件,1==e x y 得,2

=C 故所求特解为.ln 1ln 21??? ??+=x x y

14．解：原方程可改写成

代入原方程得

分离变量得

两端积分得

则原方程通解为

15．解：这是一个贝努利方程。

，得两端除以y ,1412

x y x dx dy y =-,21

1y y z ==-

令dx

dz ,21dx dy y =,2122x z x dx dz =-得???

? ??+??=∴?

-C dx e x e z dx x dx x 2

2221??? ??+=?

C dx x 212,22??? ??+=C x x ,22??? ??+=∴C x x z .2

4??

? ??+=C x x y 即1

22+-=x

x y dx dy 有设,x y u =,ux y =dx du x

u dx dy +=dx du x u +,12+-=u u 122+-=u u dx du x 即x dx u du =-2)1(cx u ln 11=--,

回代将x y

u =.ln cx y x x =-

四、应用题

1、解 2233,

33x y f x y f y x ''=-=-, ----------- (2’)

由0='='y x f f 得驻点 ()()0,0,1,1----------- (3’)

6,6,3xx yy xy

f x f y f ''''''===- ----------- (4’) ∴在()0,0点，092>=-=?AC B ，无极值----------- (6’)

在()1,1点，2

270,

60B AC A ?=-=-<=>，故()1

1,1-=f 为极大值---------- (8’)

2、总收益)05.010()2.024(22112211p p p p q p q p R -+-=+= --------------(2’)

总利润

1395

1205.0322.0)(4035)05.010()2.024(222

212211-+-+-=+---+-=-=p p p p q q p p p p C R L ------(4’)

324.011+-=??p p L ， 121.022

+-=??p p L

，-------------------------------(5’) 令

1=??=??p L

p L ，解得120,8021==p p ---------------------------------(6’) . 即（80，120）为唯一驻点。 --------------------------------(7’) 由问题的实际意义知最大利润一定在区域{}

0,0),(2121>>p p p p 内部取得，而函数在该区域内只有唯一驻点，因此该驻点即为最大值点。从而当120,8021==p p 时，利润最大，最大利润为605 -------------------------------(8’)

3．设水箱的长为,xm 宽为,ym 则其高应为./2xym 此水箱所用材料的面积

A ???

???+?+=xy x xy y xy 222???? ??++=y x xy 222).0,0(>>y x 此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点).,(y x 令,0222=??? ??-=x y A x .0222=???? ?

?-=y x A y 解这方程组,得唯一的驻点,23=x .23=y 根据题意可断定,该驻点即为所求最小值点. 因此当水箱的长为m 32、宽为m 32、高为=?33

22m 32时，水箱所用的材料最省.

4．3cos 20

3.1))(1

a rdr r a

d dxdy y x

a V a D

πθθπ

??-

5.解：设),(y x 是抛物线2

x y =上的任一点，它到直线02=--y x 的距离平方是：

)2()22

(

--=--=y x y x d ，

于是问题转化为在约束条件2

x y =下，求目标函数2

)2(2

--=

y x d 的最小

值。

构造)(2

)2(),,(22

x y y x y x L ----=

λλ 则：由?????=-==---==+--=0

020222

x y L y x L x y x L y x λλλ解得41

,21==y x 是唯一驻点，由题知，最小值点必

在此点取得，最近距离为：8

7=d 。 6. 总收益为()y x y x R 910,+=

利润为()()()(

331.068400,,,y

xy x y x y x C y x R y x L ++-++-=-=

y x L y x L y x 3.01.06,1.03.08--='--='

由0='='y x L L 得5.12,5.22==y x

3.0,008.03.0,1.0,3.02

<-=<-=-=?∴-=''-=''-=''A AC B L L L yy xy xx 函数达到极大

微积分复习题题库超全

习题 1—2 1．确定下列函数的定义域：（1）91 2 -=x y ；（2）x y a arcsin log =；（3）x y πsin 2 = ；（4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？（1）2)(,)(x x g x x f ==；（2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ；（3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ；（4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？（1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=；（3）2211x x y +-=；（4）)1)(1(+-=x x x y ；（5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明：（1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数；（2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：（1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =；（3）x y πsin 1+=；（4）x x y cos =；（5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。（1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==；（3）23,log 2+==x u u y a ；（4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？（1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ；

微积分上下模拟试卷和答案

北京语言大学网络教育学院《微积分（上、下）》模拟试卷一注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、设函数()f x 的定义域是[]0,4 ，则函数1)f 的定义域是（） 2、数列n n n )211(lim + ∞ →的极限为（）。 [A] e 4 [B] e 2 [C] e [D] e 3 3 、函数y = ）。 [A] ()2 1,,y x x =+∈-∞+∞ [B] [ )21,0,y x x =+∈+∞ [C] (] 21,,0y x x =+∈-∞ [D] 不存在 4、1 arctan y x =，则dy =（）。 [A] (1,1)- [B] (1,0)- [C](0,1) [D] [1,25] [A] 2 1dx x + [B] 2 1dx x -+ [C] 22 1x dx x + [D] () 22 1dx x x +

5、x x x x sin cos 1lim 0?-→=（） 6、设,ln x y =则'y ＝（）。 [A] [B] 1 x ； [C] 不存在 [D] 7、函数433 4 +-=x x y 的二阶导数是（）。 [A] 2x [B] 2 1218x x - [C] 3 2 49x x - [D] x 12 8、21lim 1x x x →∞ ?? -= ??? （） 9、已知()03f x '=-，则()() 000 3lim x f x x f x x x ?→+?--?=?（） 10、函数1()()2 x x f x e e -=+的极小值点是（） 11、函数()ln z x y =--的定义域为（） [A] (){},0x y x y +< [B] (){},0x y x y +≠ [C] (){},0x y x y +> [D] (){},,x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 12、幂级数1 n n x n ∞ =∑的收敛域是（） [A] -1 [B] 0 [C] 1/2 [D] 不存在 [A] 2 e - [B] e [C]2e [D] 1 [A] 12 [B] -12 [C]3 [D] -3 [A] 1 [B] -1 [C]0 [D] 不存在

微积分期末测试题及复习资料

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课一．关于积分的不等式 1．离散变量的不等式（1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2）广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。（3） Young 不等式：由（2）可得设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。（4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。（5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。（6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

高等数学下册模拟试题2及答案.

高等数学（下）模拟试卷二一．填空题（每空3分，共15分） z= 的定义域为；（1 ）函数 xy （2）已知函数z=e，则在(2,1)处的全微分dz=；（3）交换积分次序， ? e1 dx? lnx0 f(x,y)dy 2 ＝； )点B(1,1)间的一段弧，则（4）已知L是抛物线y=x上点O(0,0与之 ? = （5）已知微分方程y''-2y'+y=0，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分） ?x+y+3z=0? （1）设直线L为?x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππ A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 ?z=33 z=f(x,y)z-3xyz=a（2）设是由方程确定，则?x（）； yzyzxzxy2222 A. xy-z B. z-xy C. xy-z D. z-xy （3）微分方程y''-5y'+6y=xe的特解y的形式为y=（）； A.(ax+b)e B.(ax+b)xe C.(ax+b)+ce D.(ax+b)+cxe （4）已知Ω是由球面x+y+z=a

三次积分为（）； A 2 2 2 2 2x 2x 2x 2x 2x * * dv???所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成Ω ? 2π0 π2 dθ?sin?d??rdr a 2 B. ? 2π0 π20 dθ?d??rdr a a0 C. ? 2π0 dθ?d??rdr 0∞ πa D. ?

2π0 dθ?sin?d??r2dr π 2n-1n x∑ n 2（5）已知幂级数n=1，则其收敛半径（）. 2 B. 1 C. 2 D. 三．计算题（每题8分，共48分） 1、求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程 . ?z?z x+y 2、已知z=f(sinxcosy,e)，求?x，?y . 22 D={(x,y)x+y≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算3、设 ??arctan D y dxdyx . 22 f(x,y)=x+5y-6x+10y+6的极值. 4、求函数 5、利用格林公式计算 ? L (exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy ，其中

微积分(上)期末考试试题(B)

微积分(上)期末考试试题（B）

对外经济贸易大学 2003-2004学年第一学期《微积分》（上）期末考试试卷(B) 课程课序号CMP101??（1~14）学号：___________ 姓名：___________ 班级：___________ 成绩：___________ 题号一二三四五六总分成绩一、选择题 (选出每小题的正确答案，每小题２分，共计８分) 1．下列极限正确的是 _________。（A ）1 0lim 20x x + →= （B ） 10lim 20 x x - →= （C ）1lim(1) x x e x →∞ -=- （D ） 01lim (1)1x x x +→+= 2．若()(),f x x a x x φφφ=-≠其中（）为连续函数，且（a ）0，() f x 在 x a =点_________。（A ）不连续（B ）连续（C ）可导（D ）不可导

３．设f （x ）有二阶连续导数，且 2 () (0)0,lim 1,_______x f x f x →'''==则。 () 0()A x f x =是的极大值点 ()0(0)B f （，）是f(x)的拐点 ()0()C x f x =是的极小值点 ())0D f x x =（在处是否取极值不确定４．下列函数中满足罗尔定理条件的是。 ()ln(2) [0,1] A f x x x =-（） 2 01()0 1 x x B f x x ?≤<=? =?（） ()sin sin [0,] C f x x x x π=+（） 2 1 ()1[1,1] D f x x =- -（） 5．若()(),f x x φ''=则下列各式成立。 () ()()0A f x x φ-= () ()()B f x x C φ-= () ()()C d f x d x φ=?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →-===-在处可导，且，那么曲线() y f x =在原点处的切线方程是__________。２．设函数f （x ）可导，则2 (4)(2)lim 2 x f x f x →--=-_________。 3．设ln ,()x xf x dx x '=?为f(x)的一个原函数那么。 4 ．设 2121,2ln 3x x y a x bx x a b ===++均是的极值点，则、的值为。 5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数

清华大学微积分试题库完整

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

大学微积分模拟试卷

一、单项选择题（本大题分5小题，每小题2分，共10分）（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号内。） 1．当0→x 时，与x 相比较下列变量中是高阶无穷小量的是（） A ．x sin B . x C . 1-x e D . x cos 1- 2．函数)(x f y =在点0x x =处连续且取得极大值，则)(x f 在0x 处必有（）（A ）0)(0='x f （B ）0)(0<''x f （C ）0)(0='x f 且0)(0<''x f （D ）0)(0='x f 或不存在 3．2 2 11 011lim x x x e e +-→的极限为（）（A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ）不存在补充：2=x 是函数x x f -=21 arctan )(的（） A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点 4．已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则=--→x f x f x 2) 1()31(lim 0（）（A ）3 （B ）－3 （C ）－6 （D ）6 5．已知某商品的需求函数为5P e Q -=，当3=P 时，下列解释正确的是（）（A ）价格上升1％，需求增加0.6% （B ）价格上升1％，需求减少0.6% （C ）价格上升1％，需求增加60% （D ）价格上升1％，需求减少60% 二、填空题（将正确答案填在横线上）（本大题分5小题，每小题2分，共10分） 1．函数)1(arcsin )(+=x x x x f 的连续区间为 2．x x x e e x -→-0lim 的值等于 3．已知21212lim e x x x k x =? ?? ??-+∞→，则=k 4．)99()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=)()100(x f x x sin -与3ax 是等价无穷小，则=a 三、计算题（必须有解题过程）（本大题分12小题，每小题5分，共60分） 1．求极限x x x 2cot ) 2(lim 2ππ -→ 2．x x x ln 1 )(cot lim +→

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时二填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

AP 微积分BC 选择题样卷一

AP Calculus Practice Exam BC Version - Section I - Part A Calculators ARE NOT Permitted On This Portion Of The Exam 28 Questions - 55 Minutes 1) Given Find dy/dx. a) b) c) d) e) 2) Give the volume of the solid generated by revolving the region bounded by the graph of y = ln(x), the x-axis, the lines x = 1 and x = e, about the y-axis. a) b) c) d) e) 3) The graph of the derivative of f is shown below.

Find the area bounded between the graph of f and the x-axis over the interval [-2,1], given that f(0) = 1. a) b) c) d) e) 4) Determine dy/dt, given that and a) b) c) d) e) 5) The function is invertible. Give the slope of the normal line to the graph of f -1 at x = 3. a) b) c) d)

e) 6) Determine a) b) c) d) e) 7) Give the polar representation for the circle of radius 2 centered at ( 0 , 2 ). a) b) c) d) e) 8) Determine a) b) c) d) e)

微积分上期末考试试题A卷附答案

一、选择题 (选出每小题的正确选项，每小题２分，共计10分) 1．1 lim 2x x - →=_________。（A ） - （B ） + （C ） 0 （D ）不存在 2．当0x →时，()x x f x x += 的极限为 _________。（A ） 0 （B ） 1 （C ）2 （D ）不存在３．下列极限存在，则成立的是_________。 0()()() lim ()x f a x f a A f a x - ?→+?-'=?0()(0) ()lim (0) x f tx f B tf x →-'= 0000()()()lim 2()t f x t f x t C f x t →+--'= 0()() ()lim ()x f x f a D f a a x →-'=- ４．设f （x ）有二阶连续导数，且()0 () (0)0,lim 1,0()_______x f x f f f x x →'''==则是的。（A ）极小值（B ）极大值（ C ）拐点（D ）不是极值点也不是拐点 5．若()(),f x g x ''=则下列各式成立。 ()()()0A f x x φ-=()()()B f x x C φ-= () ()() C d f x d x φ= ?? () ()()d d D f x dx x dx dx dx φ=?? 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 设0 (2) ()0(0)0,lim 1sin x f x f x x f x →===-在处可导，且，那么曲线()y f x =在原点处的切线方程是__________。２．函数()f x =[0，3]上满足罗尔定理，则定理中的= 。 3．设1 (),()ln f x f x dx x '=?的一个原函数是那么。 4．设(),x f x xe -=那么2阶导函数 ()___f x x ''=在点取得极_____值。 5．设某商品的需求量Ｑ是价格Ｐ的函数5Q =-，那么在Ｐ＝４的水平上，若价格下降1％，需求量将。 6．若,1 1),(+-= =x x u u f y 且,1)('u u f =dy dx = 。三、计算题（每小题6分，共42分）： 1、求 11ln (ln ) lim x x e x -→

清华大学微积分题库

(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 22 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2sin 2cos 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为 04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。

高等数学基础模拟题答案

高等数学基础模拟题一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（ D ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 2.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． (A) x 1 (B) x x sin (C) 1e -x (D) 2x x 3.设x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x ) 1()1(lim 0（ B ）． (A) e 2 (B) e (C) e 41 (D) e 21 4. =? x x xf x d )(d d 2 （ A ）． (A) )(2x xf (B) x x f d )(2 1 (C) )(2 1 x f (D) x x xf d )(2 5.下列无穷限积分收敛的是（ B ）． (A) ? +∞ d e x x (B) ? +∞-0 d e x x (C) ? +∞1d 1 x x (D) ? +∞ 1 d 1x x 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数) 1ln(92 --=x x y 的定义域是 (1,2)U(2,3］． 2.函数? ??≤>-=0sin 0 1x x x x y 的间断点是 X=0 ． 3.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ． 4.函数1)1(2 ++=x y 的单调减少区间是（－∞，－1）． 5.='?x x d )(sin sinx + c ．三、计算题（每小题9分，共54分）

1.计算极限x x x 5sin 6sin lim 0→． 2.设2 2sin x x y x +=，求y '． 3.设x y e sin 2=，求． 4.设是由方程y x y e cos =确定的函数，求． 5.计算不定积分? x x x d 3cos ． 6.计算定积分? +e 1 d ln 2x x x ．四、应用题（本题12分）圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？五、证明题（本题4分）当0>x 时，证明不等式x x arctan >．

[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分学)模拟试卷11.doc

[考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷11 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是( ) （A）x1＞x2，y1＜y2．（B）x1＞x2，y1＞y2．（C）x1＜x2，y1＜y2．（D）x1＜x2，y1＞y2． 2 交换积分次序∫1e dx∫0lnx f(x，y)dy为( ) （A）∫0e dy∫0lnx f(x,y)dx （B）∫ey e d y∫01f(x,y)dx （C）∫0lnx dy∫1e f(x,y)dx （D）∫01dy∫ey e f(x,y)dx 3 设f(x，y)连续，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)等于( ) （A）xy．（B）2xy．

（C）（D）xy+1． 4 则积分域为( ) （A）x2+y2≤a2．（B）x2+y2≤a2(x≥0)．（C）x2+y2≤ax．（D）x2+y2≤ax(y≥0)． 5 设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则( ) （A）不一定存在．（B）存在且等于f(0，0)．（C）存在且等于πf(0，0)．（D）存在且等于． 6 设区域D由曲线=( ) （A）π．（B）2．（C）一2．

（D）一π． 7 设平面D由及两条坐标轴围成，则( ) （A）I1＜I2＜I3．（B）I3＜I1＜I2．（C）I1＜I3＜I2．（D）I3＜I2＜I1． 8 设D为单位圆x2+y2≤1，，则( ) （A）I1＜I2＜I3．（B）I3＜I1＜I2．（C）I3＜I2＜I1．（D）I1＜I3＜I2． 9 设其中函数f可微，则=( ) （A）2yf'(xy)．（B）一2yf'(xy)．

期末高等数学(上)试题及答案

第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分)

清华大学微积分A(1)期中考试样题

一元微积分期中考试答案一．填空题（每空3分，共15题） 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6．第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11．x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15． 13y x =+ 二．计算题 1. 解：,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ，0=b 时，)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解：=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分所以，原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3．解：)'1)((''y y x f y ++= ，故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ；……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解：

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学期末考试 This manuscript was revised on November 28, 2020

清华大学 2010-2011学年第一学期期末考试试卷（A 卷）考试科目：高等数学A （上）考试班级： 2010级工科各班考试方式：闭卷命题教师：一. 9分） 1、若在) ,(b a 内，函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ，二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调，曲线是的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =，求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。本大题共3小题，每小题3分，总计 9分） 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231，则必有答( ) 2、设211)(x x f -=，则)(x f 的一个原函数为答( ) 3、设f 为连续函数，又，?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题，每小题5分，总计10分） 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题，每小题8分，总计24分） 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ，，在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(0≤≤x f ，证明：至少存在一点]1,0[∈ξ，使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式：当4>x 时，22x x >。 3小题，每小题8分，总计24分） 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题，每小题6分，总计24分） 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含答案)

电气092班电气092班 2 【注】高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二）地点：主教楼1601教室以下题目供同学们复习参考用！！！！《高等数学》（二）期末模拟试题一、填空题：（15分） 1．设,y x z =则=??x z .1-y yx 2. 积分=??D xydxdy .其中D 为40,20≤≤≤≤y x 。 16 3. L 为2x y =点(0,0)到(1,1)的一段弧，则=? ds y L .121 55- 4. 级数∑∞ =-1)1(n p n n 当p 满足时条件收敛.10≤

电气092班电气092班 3 （A ）???Ω +dv y x )(22; （B ）???1 1 2 0 r dz rdr d π θ；（C ）?? ?+----2 22 2 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ；（D ）??? 1 1 0 2 0 dz rdr d π θ。 5．方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为。B （A ）x e b ax )(+ （B ）x cxe b ax ++ （C ）x ce b ax ++ （D ）x xe b ax )(+ 三、),(2 2 x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数，求22x z ??.（8分）解：)2(x f x z -?'=?? )2()2(222-?'+-?''=??f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2 xy y x f z ?-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x y z ???2. x f f y z ?'?'+-?'=???21)1( ]2[1211 2y f x f x y z ?'?''+?''-=????x y f x f ?'??'?''+?''+??]2[2221 ??' ?'+??''?'+22f x y f 11 22)(f x xy f ''-''+'?'=??222122)2(f xy f y x ''?'+''?'-+?? 四、计算?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，L 为由点A(1,0)到B(0,1)，再到 C(-1,0)的有向折线。（8分）解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x x y e x Q y e y P x x cos ,2cos =??-=?? .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式 ?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (