2017七年级数学几何题标准格式.doc

1 证明的再认识

2，根据“两直线平行，同位角相等”，可知∠A＝∠1，由于A、B、D三点在同一条直线上，因此根据平角的定义，∠1＋∠2＋∠ABC＝180°，所以∠A＋∠ABC＋∠C＝180°．于是可知，不论三角形的形状如何，它的三个内角的和等于180°．

图27.1.3

证明格式表示．已知：△ABC．

求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．

证明：如图27.1.3，延长线段AB到D，过点B画BE∥AC．因为

BE∥AC（画图），

所以∠A＝∠1（两直线平行，同位角相等），

∠C＝∠2（两直线平行，内错角相等），

又因为∠1＋∠2＋∠ABC＝180°（平角的定义），

所以∠A＋∠ABC＋∠C＝180°（等量代换）．

例求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

图27.1.4

已知：如图27.1.4，∠CBD是△ABC的一个外角．

求证：∠CBD＝∠A＋∠C．

证明：因为

∠A＋∠ABC＋∠C＝180°（三角形的内角和等于180°），

所以∠A＋∠C＝180°－∠ABC（等式的性质）．

又因为∠ABC＋∠CBD＝180°（平角的定义），

所以∠CBD＝180°－∠ABC（等式的性质）．

因此∠CBD＝∠A＋∠C（等量代换）．

由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把上述命题也作为定理．已知：如图27.2.2，在△ABC和△AˊBˊCˊ中，∠ACB＝∠AˊCˊBˊ＝90°，

AB ＝A ˊB ˊ，AC ＝A ˊC ˊ．图

27.2.2

求证： △ABC ≌△A ˊB ˊC ˊ．

证明 如图27.2.2那样，把△ABC 和△A ˊB ˊC ˊ拼在一起．因为

∠A ˊC ˊB ˊ＝∠ACB ＝90°（已知），

所以 ∠B ˊC ˊ B ＝180°（等式的性质），

即点B ˊ、C ˊ、B 在同一条直线上．

在△A ˊB ˊB 中，因为

A ˊ

B ˊ＝AB ＝A ˊB （已知），

所以 ∠B ＝∠B ˊ（等边对等角）．

在△ABC 和△A ˊB ˊC ˊ中，因为

∠ACB ＝∠A ˊC ˊB ˊ（已知），

∠B ＝∠B ˊ（已证），

AB ＝A ˊB ˊ（已知），

所以 △ABC ≌△A ˊB ˊC ˊ（A.A.S.）．

与等腰三角形的判定方法相类似，我们也可用逻辑推理的方法证明PD ＝PE ．

已知： 如图27.2.3，OC 是∠AOB 平分线，点P 是OC 上任意一点，PD ⊥

OA ，PE ⊥OB ，点D 、E 为垂足．

求证： PD ＝PE ．

分析 图中有两个直角三角形△PDO 与△PEO ，容易看出满足（A.A.S.）

定理的条件．

证明 因为PD ⊥OA ，PE ⊥OB （已知），

所以 ∠PDO ＝∠PEO ＝90°（垂直的定义）．

在△PDO 和△PEO 中，因为

∠DOP ＝∠EOP （已知），

∠PDO ＝∠PEO （已证），

PO ＝PO （公共边），

所以 △PDO ≌△PEO （A.A.S ）．

因此 PD ＝PE （全等三角形的对应边相等）．

图

27.2.4

已知：如图27.2.4，QD ⊥OA ，QE ⊥OB ，点D 、E 为垂足，QD ＝QE ．

求证：点Q 在∠AOB 的平分线上．

分析 为了证明点Q 在∠AOB 的平分线上，可以画射线OQ ，利用（H.L.）定理证明△QOD ≌△QOE ，图

27.2.3

从而得到∠AOQ＝∠BOQ．

已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．

求证：P A＝PB．

证明因为MN⊥AB（已知），

所以∠PCA＝∠PCB＝90°（垂直的定义）．

在△PCA和△PCB中，因为

AC＝BC（已知），

∠PCA＝∠PCB（已证），

PC＝PC（公共边），

所以△PCA≌△PCB（S.A.S）．

因此P A＝PB（全等三角形的对应边相等）．

1. 平行四边形

平行四边形判定定理1一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

已知：四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD．

求证：四边形ABCD是平行四边形．

分析要证明四边形ABCD是平行四边形，只要证明另一组对边平行，因此，可以连结其中一条对角线，然后证明内错角相等．

图27.3.1

证明如图27.3.1，连结AC．因为

AB∥CD，

所以∠BAC＝∠DCA（两直线平行，内错角相等）．

在△ABC和△CDA中，因为

AB＝CD，

∠BAC＝∠DCA，

AC＝CA，

所以△ABC≌△CDA（S.A.S.）．

因此∠BCA＝∠DAC（全等三角形的对应角相等），

BC∥DA（内错角相等，两直线平行）．所以四边形ABCD是平行四边形．