高考数学平面向量及其应用习题及答案doc

一、多选题

1．已知点()4,6A ，33,2B ??- ???

，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（） A ．14,33??

???

B ．97,2?

? ???

C ．14,33??

- ???

D ．(7，9)

2．设P 是ABC 所在平面内的一点，3AB AC AP +=则（） A ．0PA PB += B ．0PB PC += C ．PA AB PB += D ．0PA PB PC ++=

3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为

（）

A ．

B ．

C ．8

D ．

4．在ABC 中，若30B =?，AB =2AC =，则C 的值可以是（） A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对各边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =

30A =?，则B =（）

A ．30

B ．45?

C ．135?

D ．150?

6．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且

()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（）

A ．sin :sin :sin 4:5:6A

C = B ．ABC ?是钝角三角形

C ．ABC ?的最大内角是最小内角的2倍

D ．若6c =，则ABC ? 7．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列结论中正确的是（）

A ．若a b >，则sin sin A

B >

B ．若sin 2sin 2A B =，则AB

C 是等腰三角形 C ．若cos cos a B b A c -=，则ABC 是直角三角形

D ．若2220a b c +->，则ABC 是锐角三角形

8．在ABC 中，15a =，20b =，30A =，则cos B =（）

A ．

B ．

C ．23

D ．

9．有下列说法，其中错误的说法为（）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c

B ．若PA PB PB P

C PC PA ?=?=?，则P 是三角形ABC 的垂心

C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向

D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 10．在下列结论中，正确的有（）

A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合

B ．平行向量又称为共线向量

C ．两个相等向量的模相等

D ．两个相反向量的模相等

11．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（）

A ．A

B D

C =

B ．AB D

C =

C ．AB DC >

D ．BC AD ∥

12．已知实数m ，n 和向量a ，b ，下列说法中正确的是（） A ．()

m a b ma mb -=- B ．()m n a ma na -=-

C ．若ma mb =，则a b =

D ．若()0ma na a =≠，则m n =

13．设,a b 是两个非零向量，则下列描述正确的有（） A ．若||||||a b a b +=-，则存在实数λ使得a b λ= B ．若a b ⊥，则||||a b a b +=-

C ．若||||||a b a b +=+，则a 在b 方向上的投影为||b

D ．若存在实数λ使得a b λ=，则||||||a b a b +=- 14．已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A ．若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B ．若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C ．若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模

D ．若a b a b -=-,则a 与b 方向相同15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

16．设(),1A a ，()2,1B -，()4,5C 为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若OA 与OB 在

OC 方向上的投影相同，则a =（）

A ．12

B ．

C ．-2

D ．2

17．若△ABC 中，2

sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（）

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

18．在ABC ?中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若

22sin cos sin a b c

A B B

===，则ABC ?的面积为（

） A ．2

B ．4

C ．2

D ．22

19．已知在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若ABC 的面积为

S ，且222()S a b c =+-，则tan C =（）

A ．43

B ．34

C ．

D ．

20．a ，b 为单位向量，且27a b +=，则向量a ，b 夹角为（）

A ．30

B ．45?

C ．60?

D ．90?

21．已知点O 是ABC 内部一点，并且满足2350OA OB OC ++=，OAC 的面积为

1S ，ABC 的面积为2S ，则

S S = A ．310 B ．38

C ．

D ．

421 22．在△ABC 中，M 为BC 上一点，60,2,||4ACB BM MC AM ∠=?==，则△ABC 的面积的最大值为（） A ．123

B ．63

C ．12

D ．183

23．在ABC ?中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为（）． A ．4

B ．3

C ．-4

D ．5

24．已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=，则

::PAB PAC PBC S S S =△△△（）

A ．1∶2∶3

B ．1∶2∶1

C ．2∶1∶1

D ．1∶1∶2

25．如图，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且满足1

BD DC =

，过点D 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N 若AM mAB =，AN nAC =，则（）

A ．m n +是定值，定值为2

B ．2m n +是定值，定值为3

C ．

m n

+是定值，定值为2 D ．

m n

+是定值，定值为326．题目文件丢失！

27．在矩形ABCD 中，3,3,2AB BC BE EC ===，点F 在边CD 上，若

AB AF 3→→=，则AE BF

→→的值为（） A ．0

B ．

C ．-4

D ．4

28．若两个非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=，则向量a b +与a 的夹角为( ) A ．

π B ．

π C ．

π D ．

π 29．如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为AE 的中点，则DF =（）

A ．13

AB AD -+ B ．12

23AB AD + C ．

AB AD - D ．

AB AD - 30．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若

(),DE AB AD R λμλμ=+∈，则λμ?等于（）

A ．3

- B ．

316 C ．

D ．12

31．ABC ?中，22:tan :tan a b A B =，则ABC ?一定是（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形

D ．等腰或直角三角形

32．已知点O 是ABC ?内一点，满足2OA OB mOC +=，4

AOB ABC S S ??=，则实数m 为（） A ．2

B ．-2

C ．4

D ．-4

33．如图所示，设P 为ABC ?所在平面内的一点，并且11

AP AB AC =+，则BPC ?与ABC ?的面积之比等于（）

A ．

B ．

C ．

D ．

34．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2c A a C c +=且

a b =，则cos B 等于（）

A ．

154

B ．

C ．

D ．

35．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，且1

MP MN =，则P 点的坐标为( ) A ．(－8,1) B ．31,2?

?-- ??

C ．31,2?? ???

D ．(8，－1)

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、多选题 1．ABC 【分析】

先求出向量的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】由点，，则

选项A . ,所以A 选项正确. 选项B. ,所以B 选项正确. 选项C . ,所以C 选解析：ABC 【分析】

先求出向量AB 的坐标，然后由向量平行的条件对选项进行逐一判断即可. 【详解】

由点()4,6A ，33,2B ?

?- ???，则972，

AB ??=-- ???

选项A . 914

73023

??-?--?= ???,所以A 选项正确. 选项B. 9977022??

--?= ???

,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023????

-?---?-= ? ?????

,所以C 选项正确. 选项D. 979702??

-?--?≠ ???

,所以选项D 不正确故选：ABC 【点睛】

本题考查根据点的坐标求向量的坐标，根据向量的坐标判断向量是否平行，属于基础题.

2．CD 【分析】

转化为，移项运算即得解【详解】由题意：故即 , 故选：CD 【点睛】

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

解析：CD 【分析】

转化3AB AC AP +=为())(AB AP AC AP AP +=--，移项运算即得解【详解】

由题意：3AB AC AP += 故())(AB AP AC AP AP +=-- 即PB PC AP +=

0C PA PB P ++=∴,PA AB PB +=

故选：CD

本题考查了向量的线性运算，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.

3．AC 【分析】

利用余弦定理：即可求解. 【详解】

在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：，即，解得. 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基

解析：AC 【分析】

利用余弦定理：2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】

在△ABC 中，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，由余弦定理：2222cos b a c ac B =+-，

即216310a a -+=，解得8a = 故选：AC 【点睛】

本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理，考查了基本运算，属于基础题.

4．BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得，再由即可得解. 【详解】

由正弦定理可得，所以，又，所以，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

解析：BC 【分析】

由题意结合正弦定理可得sin C =

()0,150C ∈??即可得解.

由正弦定理可得sin sin AB AC C B =

，所以1

sin 2sin 2AB B C AC ?===，又30B =?，所以()0,150C ∈??，所以60C =?或120C =?. 故选：BC. 【点睛】

本题考查了正弦定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5．BC 【分析】

用正弦定理求得的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理得：，由于，所以或. 故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

解析：BC 【分析】

用正弦定理求得sin B 的值，由此得出正确选项. 【详解】

解：根据正弦定理sin sin a b A B

=得：

sin 2sin 12

b A B a ===，

由于1b a =>=，所以45B =或135B =.

故选：BC. 【点睛】

本题考查利用正弦定理解三角形，是基础题.

6．ACD 【分析】

先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】因为

所以可设：（其中），解得：所以，所以A 正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大，

又，所以角为

解析：ACD 【分析】

先根据已知条件求得::4:5:6a b c =，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可. 【详解】

因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=

所以可设：91011a b x a c x b c x +=??

+=??+=?

（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===

所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，

又222222(4)(5)(6)1

cos 022458

a b c x x x C ab x x +-+-===>?? ，所以C 角为锐角，所以B 错

误；

由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，

又222222(6)(5)(4)3

cos 22654

c b a x x x A cb x x +-+-===??，

所以2

cos22cos 18

A A =-=

，所以cos2A cosC = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角,可得：()20,A π∈，0,2C π??

∈ ??

所以2A C =，所以C 正确；由正弦定理得：2sin c R C =

，又sin 8

C ==

所以

2R =

，解得：7

R =，所以D 正确. 故选:ACD. 【点睛】

本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.

7．AC 【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到，从而得到是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判

解析：AC

【分析】

对选项A ，利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确；对选项B ，首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =，从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对选项C ，利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确；对D ，首先根据余弦定理得到A 为锐角，但B ，C 无法判断，故D 错误. 【详解】

对选项A ，2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >?>?>，故A 正确；对选项B ，因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =?= 所以A B =或2

A B π

，则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误；

对选项C ，因为cos cos a B b A c -=，

所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+，

sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+，sin cos cos sin B A A B -=，

因为sin 0B ≠，所以cos 0A =，2

A π

=，ABC 是直角三角形，故③正确；

对D ，因为2

0a b c +->，所以222

cos 02a b c A ab

+-=>，A 为锐角.

但B ，C 无法判断，所以无法判断ABC 是锐角三角形，故D 错误. 故选：AC 【点睛】

本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，同时考查学三角函数恒等变换，属于中档题.

8．AD 【分析】

利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值. 【详解】

由正弦定理，可得，，则，所以，为锐角或钝角. 因此，. 故选：AD. 【点睛】

本题考查利用正弦定理与同

解析：AD 【分析】

利用正弦定理可求得sin B 的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cos B 的值. 【详解】

由正弦定理sin sin b a B A

=，可得1

20sin 22sin 153

b A B a ?

===，

b a >，则30B A >=，所以，B 为锐角或钝角.

因此，cos B ==. 故选：AD. 【点睛】

本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.

9．AD 【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】

对于选项A ，当时，与不一定共线，故A 错误；对于选项B ，由，得，所以，，

同理，，故是三角形的垂心，所以B 正确；对于选项C ，两个非零向量

解析：AD 【分析】

分别对所给选项进行逐一判断即可. 【详解】

对于选项A ，当0b =时，a 与c 不一定共线，故A 错误；

对于选项B ，由PA PB PB PC ?=?，得0PB CA ?=，所以PB CA ⊥，PB CA ⊥，同理PA CB ⊥，PC BA ⊥，故P 是三角形ABC 的垂心，所以B 正确；

对于选项C ，两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向，故C 正确；

对于选项D ，当0b =，0a ≠时，显然有a ∥b ，但此时λ不存在，故D 错误. 故选：AD 【点睛】

本题考查与向量有关的命题的真假的判断，考查学生对基本概念、定理的掌握，是一道容易题.

10．BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案. 【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确

解析：BCD 【分析】

根据向量的定义和性质依次判断每个选项得到答案.

【详解】

A. 若两个向量相等，它们的起点和终点不一定不重合，故错误；

B. 平行向量又称为共线向量，根据平行向量定义知正确；

C. 相等向量方向相同，模相等，正确；

D. 相反向量方向相反，模相等，故正确；

故选：BCD

【点睛】

本题考查了向量的定义和性质，属于简单题.

11．BD

【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；

【详解】

解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；

与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故

解析：BD

【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；

【详解】

解：AB与DC显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误；

，故B正确；

AB与DC表示等腰梯形两腰的长度，所以AB DC

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；

等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以//

BC AD，故D正确；

故选：BD.

【点睛】

本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.

12．ABD

【分析】

根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性.

【详解】

根据向量数乘的运算可知A和B正确；C中，当时，，但与不一定相等，

解析：ABD

【分析】

根据向量数乘运算判断AB选项的正确性，通过m的特殊情况判断C选项的正确性，根据向量运算判断D选项的正确性.

【详解】

根据向量数乘的运算可知A 和B 正确；C 中，当0m =时，0ma mb ==，但a 与b 不一定相等，故C 不正确；D 中，由ma na =，得()0m n a -=，因为0a ≠，所以m n =，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】

本小题主要考查向量数乘运算，属于基础题.

13．AB 【分析】

若，则反向，从而；若，则，从而可得；

若，则同向，在方向上的投影为

若存在实数使得，则共线，但是不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若，则反向，由共线定理可得存在实数使得；对于选

解析：AB 【分析】

若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，从而a b λ=；若a b ⊥，则0a b ?=，从而可得||||a b a b +=-；

若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a

若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 【详解】

对于选项A ，若||||||a b a b +=-，则,a b 反向，由共线定理可得存在实数λ使得

a b λ=；

对于选项B ，若a b ⊥，则0a b ?=，

222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+?+-=-?+,可得||||a b a b +=-；

对于选项C ，若||||||a b a b +=+，则,a b 同向，a 在b 方向上的投影为||a ;

对于选项D ，若存在实数λ使得a b λ=，则,a b 共线，但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选：AB. 【点睛】

本题主要考查平面向量的性质及运算，明确向量的性质及运算规则是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.

14．ABD 【分析】

根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.

如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有. 当同向时

解析：ABD 【分析】

根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可. 【详解】

如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+. 当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-. 当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-

故选：ABD 【点睛】

本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.

15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．A 【分析】

根据平面向量的投影的概念，结合向量的数量积的运算公式，列出方程，即可求解. 【详解】

由题意，点(),1A a ，()2,1B -，()4,5C ， O 为坐标原点，根据OA 与OB 在OC 方向上的投影相同，则

OA OC OB OC OC

??=

即OA OC OB OC ?=?，可得4152415a +?=?-?，解得12

a =-

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的投影的定义，其中解答中熟记向量投影的定义，以及向量的数量积的运算公式，列出方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 17．A 【分析】

已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】

ABC ?中，sin()sin A B C +=，

∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，

整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =，

cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去），

0A π<< 90A ∴=?，

则此三角形形状为直角三角形．故选：A 【点睛】

此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题． 18．A 【分析】

首先由条件和正弦定理判断ABC 是等腰直角三角形，由三角形的性质可知直角三角形的外接圆的圆心在斜边的中点，所以由ABC 外接圆的半径可求得三角形的边长，再求面积. 【详解】由正弦定理可知2sin sin sin a b c

r A B C

===

已知

sin cos sin a b c

A B B

===sin cos B B =和sin sin C B =，所以45B =，45C =，所以ABC 是等腰直角三角形，

由条件可知ABC ，即等腰直角三角形的斜边长为

所以1

ABC

=?=. 故选：A 【点睛】

本题考查正弦定理判断三角形形状，重点考查直角三角形和外接圆的性质，属于基础题型.

【分析】

由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式，利用二倍角公式求得tan

，从而求得tan C ．【详解】

∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-，即2221

2sin 22

ab C a b ab c ??=++-， ∴222sin 2ab C ab a b c ?-=+-，

又222sin 2sin cos 1222

a b c ab C ab C

C ab ab +-?-===-，∴sin cos 12C C +=

，即22cos sin cos 222C C C =，则tan 22C =，∴2

22tan

2242tan 1231tan 2

C C ?===---，故选：A ．【点睛】

本题考查三角形面积公式，余弦定理，考查二倍角公式，同角间的三角函数关系，掌握相应的公式即可求解．属于中档题，考查了学生的运算求解能力． 20．C 【分析】

首先根据题的条件27a b +=

，得到2()7a b +=，根据a ，b 为单位向量，求得

2a b ?=

，进而求得向量夹角. 【详解】因为27a b +=

，所以2()7a b +=，

即2

447a a b b +?+=，因为2

1a b ==，所以12

a b ?=，所以1

cos ,2

a b <>=

，因为向量a ，b 夹角的范围为[0,180]??，所以向量a ，b 夹角的范围为60?，故选：C. 【点睛】

该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的，已知向量数量积求向量夹角，属于简单题目. 21．A 【解析】

∵2350OA OB OC ++=，∴()()

23OA OC OB OC +=-+．设AC 中点为M ，BC 中点为N ，则23OM ON =-, ∵MN 为ABC 的中位线，且

， ∴3

613

225

10OAC

OMC

CMN

ABC ABC S

S S ??==?=?= ???

，即123

S S =．选A ． 22．A 【分析】

由已知条件，令||AC a =，||BC b =，则在△ACM 中结合余弦定理可知48ab ≤，根据三角形面积公式即可求最大值【详解】

由题意，可得如下示意图

令||AC a =，||BC b =，又2BM MC =，即有1||||33

b CM CB =

= ∴由余弦定理知：222||||||2||||cos AM CA CM CA CM ACB =+-∠

2221216()332333

a a

b ab ab ab

b =+-?≥-=，当且仅当3a b =时等号成立

∴有48ab ≤

∴113sin 48123222

ABC S ab C ?=≤??=故选：A 【点睛】

本题考查了正余弦定理，利用向量的知识判断线段的长度及比例关系，再由余弦定理并应用基本不等式求三角形两边之积的范围，进而结合三角形面积公式求最值 23．C 【分析】

先对等式AB AC AB AC +=-两边平方得出AB AC ⊥，并计算出BC CA ?，然后利用投影的定义求出BC 在CA 方向上的投影．

【详解】

对等式AB AC AB AC +=-两边平方得，

2222

22AB AC AB AC AB AC AB AC ++?=+-?，整理得，0AB AC ?=，则AB AC ⊥，

()

16BC CA AC AB CA AC CA AB CA AC ∴?=-?=?-?=-=-，

设向量BC 与CA 的夹角为θ，

所以，BC 在CA 方向上的投影为16

cos 44

BC CA BC CA BC BC BC CA

θ??-?=?=

=-?，故选C ．【点睛】

本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题． 24．B 【分析】

延长PB 至D ，可得出点P 是ADC 的重心，再根据重心的性质可得出结论。【详解】

延长PB 至D ，使得2PD PB =，于是有0PA PD PC ++=，即点P 是ADC 的重心，依据重心的性质，有PAD PAC PDC S S S ==△△△.由B 是PD 的中点，得

::1:2:1PAB PAC PBC S S S =△△△.

故选：B 【点睛】

本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。 25．D 【分析】

过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，结合题设条件和三角形相似可得出

21312

AM n n

n AB n n ==

--+，再根据AM mAB =可得231n m n =

-，整理可得213m n

+=，最后选出正确答案即可. 【详解】

如图，过点C 作CE 平行于MN 交AB 于点E ，由AN nAC =可得

AC AN n

=，所以11AE AC EM CN n ==-，由12BD DC =可得

BM ME =，所以21312

AM n n

n AB n n ==

--+，因

为AM mAB =，所以231

m n =-，整理可得

3m n

+=.

故选：D . 【点睛】

本题考查向量共线的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.

26．无

27．C 【分析】

先建立平面直角坐标系，求出B,E,F 坐标，再根据向量数量积坐标表示得结果. 【详解】如图所示，

AB AF

2232,3cos 1133BE EC BE BC AF DF α=?=

=→→=?=?=．以A 为原点建立平面直角坐标系，AD 为x 轴，AB 为y 轴，则()(

)

230,3,3,1,,33B F

E ??

? ???

，

因此(

)

3,2,323264→=

-→→=

?-?=-=-，故选C.

【点睛】

平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式cos a b a b θ?=?；二是坐标公式

1212a b x x y y ?=+；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. 28．D 【分析】

根据条件利用平方法得到向量数量积的数值，结合向量数量积与夹角之间的关系进行求解即可．【详解】

∵非零向量a ，b 满足2a b a b b +=-=， ∴平方得2

a b

a b +=-，即2222

||2||2a b a b a b a b ++?=+-? ，

则0a b ?=，由2a b b +=，

平方得2

||24||a b a b b ++?=，得2

3a b =，即3a b =则2a b b +=，

22|3|a b a a a b b +?=+?=（），

则向量a b +与a 的夹角的余弦值23||3

223a b a b cos a b a b b

θ+?===+??（），，0.6

θπθ≤≤∴=

，，

故选D. 【点睛】

本题主要考查向量数量积的应用，求解向量数量积的大小是解决本题的关键． 29．D 【分析】

利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：

DF AF AD =-，1=

2AF AE ，=AE AB BE +，1

BE BC ，=BC AD ，即可得出答案. 【详解】

利用向量的三角形法则，可得DF AF AD =-，=AE AB BE +，

E 为BC 的中点，

F 为AE 的中点，则1=2AF AE ，1

BE BC 1111

=()=+2224

DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又

=BC AD

DF AB AD ∴=