2021届天津市红桥区高三第一次模拟考试数学试题Word版含解析

2021届天津市红桥区高三第一次模拟考试

数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。 祝各位考生考试顺利！ 参考公式：

柱体的体积公式 Sh V =柱体，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高．

锥体的体积公式 Sh V 31

=锥体 ，其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高．

球的体积公式 334

R V π=球 ，其中R 表示球的半径．

第Ⅰ卷 注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2．本卷共9题，每小题5分，共45分。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）已知全集{}1,2,3,4,5U =, 集合{}3,4,5M =, {}1,2,5N =, 则集合{}1,2可以表示为

(A) M

N (B) N M C U )(

(C) )(N C M U (D) )()(N C M C U U （2）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,+∞上单调递减的是

(A) 12

+-=x y (B) 1y x

=

(C) 2x

y -= (D) ln y x = （3）方程2log 2=+x x 的解所在的区间为

(A) ()0.5,1 (B) ()1,1.5 (C) ()1.5,2 (D) ()2,2.5

（4）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

(A) π (B)

4

π

(C)

2π (D) 4

3π （5）已知函数()?ω+=x y sin 的两条相邻的对称轴的间距为π2，现将()?ω+=x y sin 的图像向左平移π

8

个单位后得到一个偶函数，则?的一个可能取值为

(A)

3π4 (B) π

4

(C) 0 (D) π

4-

（6）在ABC △中，“π3A >

”是“1

cos 2

A <”的 (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件

（7）已知一个口袋中装有3个红球和2个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为ξ，则ξ的期望为

(A) 59 (B) 518

(C) 56 (D) 524

（8）已知双曲线22

1y x m

-=与抛物线28y x =的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为

(A) 20x y ±= (B) 20x y ±=

0y ±=

(D) 0x ±=

（9）如图所示，在菱形ABCD 中，1=AB ，60DAB ∠=，E 为CD 的中点，则AB AE ?的值是

B

C

D

E

A

(A) 1 (B) 1- (C) 2 (D) 2-

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分． （10）若i 是虚数单位，则

2

1i

=+______. （11）函数x

e x x

f ?=2

)(单调减区间是______.

（12）过原点且倾斜角为60的直线被圆2

2

40x y y +-=所截得的弦长为______. （13）6

)12(x

x -

的二项展开式中的常数项为______.（用数字作答） （14）若441x y

+=，则x y +的取值范围是______.

（15）设()f x 与()g x 是定义在同一区间[]a b ，上的两个函数，若函数()()()h x f x g x =-在[]a b ，上有两个不同的零点，则称()f x 与()g x 在[]a b ，上是“关联函数”．若31()3f x x m =+与21

()22

g x x x =+在[03]，上是“关联函数”

，则实数m 的取值范围是______.

三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤． （16）（本小题满分15分）

设ABC ?的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且3b =，4=c ，B C 2=. （Ⅰ）求B cos 的值； （Ⅱ）求)4

2sin(π

-

B 的值．

（18）（本小题满分51分）

已知椭圆)0(122

22>>=+b a b y a x 的离心率2

2=e ,且右焦点到直线02=+-y x 的距离为22．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线BD AC ,过原点O ,若22

a

b k k BD AC -=?，

证明：四边形ABCD 的面积为定值.

A B

（19）（本小题满分51分）

已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是公比大于0的等比数列，且 2211=-=a b ，

123-=+b a ，7233=+b S ．

（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）令???

??-=为偶数，为奇数

n b a n c n

n n 2,2，求数列的{}n c 前项n 和n T ．

（20）（本小题满分51分）

已知函数x a x x x f ln 2)(2

++=.

（Ⅰ）若函数)(x f 在区间(]10，

为单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当1≥m 时，不等式3)(2)12(-≥-m f m f 恒成立，求实数a 的取值范围．

2021届天津市红桥区高三第一次模拟考试

数学试题参考答案

二、填空题 每题5分

10. i -1 11. ()0,2-或[](][)0,2,0,2,0,2--- 12. 13. 160- 14. (],1-∞- 15. 31023??

????

， 三、解答题

16.（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）因为B C 2=，

所以B C 2sin sin =，..........1分

B B

C cos sin 2sin =，..................3分 B b c cos 2=，................................5分

且3b =，4=c ， 所以3

2

cos =

B . ..........................7分

因为9

5

4cos sin 22sin =

=B B B ..................................9分 9

1

sin cos 2cos 22-=-=B B B .......................................11分

故4

sin

2cos 4

cos

2sin )4

2sin(π

π

π

B B B -=-

...............13分

18

2

104+=

。......................................15分

到直线02=+-y x 的距离为222

2

00=+++=B

A C By Ax d ..........1分

解得2=c ..............2分

a

c

e ==

22，222c b a += ， 2,22==b a ，................................4分 所以14

82

2=+y x ；...............................5分

（Ⅱ）设m kx y l AB +=:代入14

82

2=+y x ，

得0824)21(2

2

2

=-+++m kmx x k ，...............6分

则2

21214k

km

x x +-=+，22212182k m x x +-=?，...........8分 因为22

a

b k k BD

AC -=?，得21212y y x x ?-=?，.........9分

即))((22121m kx m kx x x ++-=?，

解得242

2

+=k m ，..............................10分 因为4=ABCD S AOB S ?.............................11分 且AOB S ?d AB 2

1

=

， 又,4)(1212

212

x x x x k

AB -++=2

1k

m d +=

..........13分

整理得2

2222221)

4(8)21(1621k

m k m k m S AOB

+--+=?22=........14分 所以28224=?=ABCD S 为定值。.........................................15分

19. （本小题满分51分）

（Ⅰ） 设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为0>q ， 且 2211=-=a b ，123-=+b a ，7233=+b S ． 所以 11-=a ，21=b ，...............2分 解得 2,2=-=q d ，....................4分

所以 n a n 21-=，n

n b 2=。.......6分

（Ⅱ） ???

??-=为偶数，为奇数n b a n c n n

n 2,2

???

??-=为偶数，为奇数n n n c n

n 2

2

4,2．.......................7分 ① k n 2=)(*

∈N k 时，数列{}n c 的前n 项和

)()(24212312k k k n c c c c c c T T +++++++==-

)2

1

42723(2123--++++=k k k .............8分

令 =k A 12321

42723--+++k k ，

所以 =k A 4112532

1

42723+-+++k k ，，...............9分

所以

=k A 431212532

14)212121(423+---++++k k k ， 1212144

11)

411(81423+-----?+=k k k

可得 1

22

913

12926-?+-=k k k A ．...........................11分 所以 +==k T T k n 221

22

913

12926-?+-k k ．..........12分 ②12-=k n )(*

∈N k 时，数列{}n c 的前n 项和

1222--+=k k n a T T )()(12422231--+++++++=k k c c c c c c

3

22

91

129262-?+-+

=k k k .........14分

所以 ???

???

?

-=?+-+=?+-+=--12,2911292622,2

9131292623212k n k k k n k k T k k n *∈N k ．.....15分 （或???

???

?=?+-+-=?+-+=--k n n n k n n n T n n n 2,2913692612,2

97693512*∈N k ）

20.（本小题满分51分）

（Ⅰ）函数x a x x x f ln 2)(2

++=，

因为0)('0)('≤≥x f x f 或在(]10，

成立，..............................3分 所以或0222≥++a x x 0222

≤++a x x ，

即或x x a 222--≥x x a 222

--≤，....................................4分

得40-≤≥a a 或；...................................................................6分