高考理科数学安徽卷解析版Word版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

(安徽卷)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．

考生注意事项：

1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．

书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡．．．

规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．

参考公式：

如果事件A 与B 互斥，那么

P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )

如果事件A 与B 相互独立，那么

P (AB )＝P (A )P (B )

第Ⅰ卷(选择题 共50分)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．(2013安徽，理1)设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z ＝( )．

A ．1＋i

B ．1－i

C ．－1＋i

D ．－1－i

答案：A

解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由·i+2=2z z z 得(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)，

即(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i ，

所以2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，

所以a ＝1，b ＝1，即z ＝a ＋b i ＝1＋i.

2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )．

A ．16

B ．2524

C ．34

D ．1112

答案：D 解析：开始2＜8，110+

22

s ==，n ＝2＋2＝4；

返回，8＜8不成立，输出1112s =. 3．(2013安徽，理3)在下列命题中，不是．．

公理的是( )． A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案：A

解析：由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理．

4．(2013安徽，理4)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )．

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案：C

解析：函数f (x )的图象有以下三种情形：

a ＝0 a ＞0 a ＜0

由图象可知f (x )在区间(0，＋∞)内单调递增时，a ≤0，故选C.

5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( )．

A ．这种抽样方法是一种分层抽样

B ．这种抽样方法是一种系统抽样

C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

答案：C

解析：五名男生成绩的平均数为

15(86＋94＋88＋92＋90)＝90， 五名女生成绩的平均数为

15

(88＋93＋93＋88＋93)＝91， 五名男生成绩的方差为 2

1s ＝22222

869094908890929090905(-)+(-)+(-)+(-)+(-) ＝8，

五名女生成绩的方差为2

2s ＝22

288913939165

(-)+(-)=， 所以2212s s >，故选C.

6．(2013安徽，理6)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为112x x x ?

?<->????

或，则f (10x )＞0的解集为( )．

A ．{x |x ＜－1或x ＞－lg 2}

B ．{x |－1＜x ＜－lg 2}

C ．{x |x ＞－lg 2}

D ．{x |x ＜－lg 2}

答案：D

解析：由题意知－1＜10x ＜

12， 所以x ＜1lg 2

＝－lg 2，故选D. 7．(2013安徽，理7)在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )．

A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2

B ．θ＝

π2

(ρ∈R )和ρcos θ＝2 C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1 D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1

答案：B

解析：由题意可知，圆ρ＝2cos θ可化为普通方程为(x －1)2＋y 2＝1.

所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为x ＝0和x ＝2，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为θ＝π2

(ρ∈R )和ρcos θ＝2，故选B. 8．(2013安徽，理8)函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得

1212===n n f x f x f x x

x x ()()()，则n 的取值范围是( )． A ．{3,4} B ．{2,3,4}

C ．{3,4,5}

D ．{2,3}

答案：B

解析：1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===000

n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为y ＝f (x )图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与y ＝f (x )的交点个数．

如图所示，由数形结合知识可得，①为n ＝2，②为n ＝3，③为n ＝4.

9．(2013安徽，理9)在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =?=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R 所表示的区域的面积是( )．

A ．．

C ．．答案：D

解析：以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B 两点关于

x 轴对称，由已知|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，可得出∠AOB ＝60°，点A 1)，点B 1)，

点D 0)．

现设P (x ，y )，则由OP ＝λOA ＋μOB 得(x ，y )＝λ，1)＋μ，－1)，即,.

x y λμλμ+)=-=?? 由于|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R ，

可得11,x y ?≤≤??-≤≤??

画出动点P (x ，y )满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为

10．(2013安徽，理10)若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2

＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( )．

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

答案：A

解析：由f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝0得，x ＝x 1或x ＝x 2，

即3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的根为f (x )＝x 1或f (x )＝x 2的解．如图所示，

x 1＜x 2 x 2＜x 1

由图象可知f (x )＝x 1有2个解，f (x )＝x 2有1个解，因此3(f (x ))2

＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数为

3.

第Ⅱ卷(非选择题 共100分)

考生注意事项：

请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．

11．(2013安徽，理11)

若8

x ?+ ?

的展开式中x 4

的系数为7，则实数a ＝__________. 答案：12

解析：

∵8

x ?+ ?

的通项为1838C ()r r r r

x a x -- 883

3

8

8

=C C r r r r

r r

r r

a x

x

a x

-

--

-=，

∴8－r －

3

r

＝4，解得r ＝3. ∴33

8C 7a =，得12

a =.

12．(2013安徽，理12)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝__________.

答案：

2π3

解析：∵3sin A ＝5sin B ，∴3a ＝5b .① 又∵b ＋c ＝2a ，②

∴由①②可得，53a b =

，73

c b =， ∴222222

57133cos 52223

b b b b a

c C ab b b ????+- ? ?+-????=

==-??，∴2π3C =.

13．(2013安徽，理13)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2

于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为__________．

答案：[1，＋∞)

解析：如图，设C (x 0，20x )(2

0x ≠a )，A

(a )，B

，a )，

则CA ＝

(0x ，2

0a x -)，CB ＝

0x ，2

0a x -)．

∵CA ⊥CB ，∴CA ·CB ＝0，

即－(a －20x )＋(a －20x )2

＝0，(a －20x )(－1＋a －20x )＝0，∴2

0x ＝a －1≥0，∴a ≥1.

14．(2013安徽，理14)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是__________．

答案：n a = 解析：设11OA B S ?＝S ， ∵a 1＝1，a 2＝2，OA n ＝a n ， ∴OA 1＝1，OA 2＝2.

又易知△OA 1B 1∽△OA 2B 2，

∴11

222

212

21124OA B OA B S OA S OA ??()??=== ?()??. ∴1122

A B B A S 梯形＝311OA B S ?＝3S .

∵所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等， 且△OA 1B 1∽△OA n B n ，

∴

1

n

OA OA ==

=

∴1n a a =

，∴n a =

15．(2013安徽，理15)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，

过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．

①当0＜CQ ＜1

2

时，S 为四边形 ②当CQ ＝

1

2时，S 为等腰梯形 ③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝1

3

④当3

4

＜CQ ＜1时，S 为六边形

⑤当CQ ＝1时，S

答案：①②③⑤

解析：当CQ ＝

12时，D 1Q 2＝2

11D C ＋C 1Q 2＝54，AP 2＝AB 2＋BP 2＝54

，所以D 1Q ＝AP ，又因为AD 1∥2PQ ，所以②正确；当0＜CQ ＜1

2

时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图(1)所示；

图(1)

如图(2)，当CQ ＝34时，由△QCN ∽△QC 1R 得11C Q C R CQ CN =，即11

4314

C R

=，C 1R ＝13，故③正确；

图(2)

如图(3)所示，当

3

4

＜CQ ＜1时，截面为五边形APQMF ，所以④错误； 当CQ ＝1时，截面为APC 1E ，

图(3)

可知AC 1EP ，且四边形APC 1E 为菱形，S 四边形APC 1E 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16．(2013安徽，理16)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·πsin 4x ω??

+ ??

?

(ω＞0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

(2)讨论f (x )在区间π0,2??????

上的单调性．

解：(1)f (x )＝4cos ωx ·sin π4x ω?

?+

??

?

＝ωx ·cos ωx ＋2

ωx

(sin 2ωx ＋cos 2ωx )

π

2sin 24x ω?

?=++ ??

?

因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，

从而有

2π

=π2ω

，故ω＝1.

(2)由(1)知，f (x )＝π2sin 24x ?

?+ ??

?.

若0≤x ≤π2，则ππ5π

2444x ≤+≤.

当πππ2442x ≤+≤，即π

08x ≤≤时，f (x )单调递增； 当ππ5π2244x ≤+≤，即ππ82

x ≤≤时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间π0,8??????上单调递增，在区间ππ,82??

????

上单调递减．

17．(2013安徽，理17)(本小题满分12分)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2

)x 2

，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )

＞0}．

(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；

(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．

解：(1)因为方程ax －(1＋a 2

)x 2

＝0(a ＞0)有两个实根x 1＝0，22

1a

x a

=+， 故f (x )＞0的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}．

因此区间20,

1a I a ?

?= ?+??

，I 的长度为2

1a a +. (2)设d (a )＝2

1a

a

+，则d ′(a )＝22211a a -(+). 令d ′(a )＝0，得a ＝1.

由于0＜k ＜1，故当1－k ≤a ＜1时，d ′(a )＞0，d (a )单调递增； 当1＜a ≤1＋k 时，d ′(a )＜0，d (a )单调递减．

所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．

而23

223

2

11211111211k

d k k k k k d k k k

k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)

， 故d (1－k )＜d (1＋k )．

因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值

2

122k

k k

--+. 18．(2013安徽，理18)(本小题满分12分)设椭圆E ：22

22

=11x y a a +

-的焦点在x 轴上． (1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；

(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．

解：(1)因为焦距为1，所以2a 2

－1＝14

， 解得a 2

＝

58

. 故椭圆E 的方程为22

88=153

x y +. (2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)

，其中c =

由题设知x 0≠c ，

则直线F 1P 的斜率1F P k ＝

0y x c +， 直线F 2P 的斜率2F P k ＝0

0y x c -，

故直线F 2P 的方程为y ＝

0()y x c x c --． 当x ＝0时，y ＝0

0cy c x -，

即点Q 坐标为0

(0,

)cy c x -. 因此，直线F 1Q 的斜率为1F Q k ＝0

y c x -.