高中高考导数专题.doc
导数及其应用
导数的运算
1.几种常见的函数导数：
①、c （ c 为常数）；②、 ( x n ) （）；③、 (sin x) = ；④、 (cos x) = ；⑤、( a x ) ；⑥、 ( e x ) ；⑦、 (log a x ) ；⑧、 (ln x ) .
2.求导数的四则运算法则：
(u v) u v ； (uv) u v uv ；
u u v uv
注：① 必须是可导函数 .
( v ) v 2
3. 复合函数的求导法则： f x ( ( x)) f (u) ? ( x) 或 y x y u ? u x
一、求曲线的切线（导数几何意义）
导数几何意义： f (x0 ) 表示函数 y f (x) 在点( x0 ， f (x0 ) )处切线L的斜率；
函数 y f (x) 在点( x0 ， f (x0 ) )处切线L方程为 y f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
1. 曲线在点处的切线方程为（）。
A:B: C: D:
答案详解 B 正确率 : 69%,易错项: C
解析 : 本题主要考查导数的几何意义、导数的计算以及直线方程的求解。
对求导得，代入得即为切线的斜率，切点为，所以切线方程为即。故本题正确答案为B。2.
变式一：
3. 设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为( )
A．B．C．D．
4. 已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
变式二：
5. 在平面直角坐标系中，点P 在曲线上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切线的斜率为2，则点 P 的坐标
为.
6. 设曲线在点（ 1， 1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为, 令，则的值为.
7. 已知点 P 在曲线=上，为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则的取值范围是
y
A 、 [0,)
B 、
C 、
D 、
变式三：
8.已知直线y =x＋1与曲线相切，则α的值为( )
B. 2
C.－1
D.－2
9.若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于
( )
A．或 B ．或 C ．或 D ．或
10. 若曲线在点处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
A、 64 B 、 32 C 、 16 D 、 8
11. （本小题满分 13 分）设 f ( x) ae x 1 b(a 0) .（I）求 f ( x)在[0, ) 上的最小值；
ae x 3
x ；求a,b的值.
（ II ）设曲线y f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为y
2
12. 若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是.
二、求单调性或单调区间
1、利用导数判定函数单调性的方法：设函数在某个区间D内可导，
如果 f ( x) ＞0，则在区间D上为增函数；
如果 f ( x) ＜0，则在区间D上为减函数；
如果 f ( x) =0恒成立，则在区间D上为常数.
2、利用导数求函数单调区间的方法：不等式 f ( x) ＞0的解集与函数定义域的交集，就是的增区间；不等式 f (x) ＜ 0 的解集与函数定义域的交集，就是的减区间.
1、函数的单调递增区间是( )
A. B.(0,3) C.(1,4) D.
2. 函数的单调减区间为.
3.已知函数，，讨论的单调性。
答案详解由题意，的定义域是，所以有。设，二次方程的的判别式。
当，即时，对一切都有。此时，在上是增函数；
当时，，此时在上也是增函数；
当，，即时，方程有两个不同的实根，，，。
此时在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增。
解析 : 本题主要考查导数在研究函数中的应用。
本题的难点在于参数分类的讨论，如何做到不重不漏。
首先在定义域的情况下，对函数求导，在求极值的过程中，会涉及到二次方程的根个数问题，
要针对判别式进行分类讨论，在极值为两个的情况下，讨论其与定义域的关系，并根据导数
与函数增减性的关系，列表求得函数增减性。
4.已知函数。（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线的斜率；（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。答案详解（Ⅰ）当时，，，故。所以曲线在点处的切线的斜率为。
（Ⅱ）。令，解得或，由知，。以下分两种情况讨论：
（ 1）若，则。当变化时，的变化情况如下表：
且；函数在处取得极小值，且。所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，
（ 2）若，则。当变化时，的变化情况如下表：
所以在内是增函数，在内是减函数；函数在处取得极大值，且；函数在处取得极小值，且。
解析 : 本题主要考查利用导数判断函数单调性。
（Ⅰ）求出这种情况下，函数在处的导数，即为切线斜率。
（Ⅱ）首先求解出极值，然后对参数进行分类讨论，使用列表法，对函数和导数列表，列出
函数的单调区间和极值。
三、求函数的极值与最值
1、极值的判别方法：当函数在点处连续时，
① 如果在附近的左侧 f (x) ＞ 0，右侧 f ( x) ＜ 0，那么是极大值；
② 如果在附近的左侧 f (x) ＜ 0，右侧 f ( x) ＞ 0，那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件为点两侧导数异号，而不是 f (x) =0.
2、最值的求法：求f( x) 在 [ a，b ] 上的最大值与最小值的步骤如下：
(1)求 f ( x)在区间( a， b)内的极值(极大值或极小值)；
(2)将 y = f ( x)的各极值与端点处的函数值f ( a)、 f ( b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个最小
值.
注：极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.
1. 设函数 f ( x) xe x，则（）
A.x 1 为 f (x) 的极大值点
B.x 1 为 f ( x) 的极小值点
f (x) 的极小值点
C.x 1 为f ( x) 的极大值点
D. x 1
为
答案详解 D 正确率 : 53%,易错项: B解析:本题主要考查函数极值的计算。
令导函数求得，且在上小于零，在上大于零，则在上单调递减，在上单调递增，为的极小值
点。
2. 函数在处取得极小值.
3.（本小题满分 13 分，（Ⅰ）小问 6 分，（Ⅱ）小问 7 分 . ）
设 f (x) a ln x 1 3 x 1,其中a R，曲线 y f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于y 轴.
2x 2
（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）求函数 f (x) 的极值.
4. ( 本小题满分 13 分 ) 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格 x
（单位：元 / 千克）满足关系式y a 10(x 6)2，其中 3 x 3 每日可售出该商品11 千克 . （ I ）求a的值 . （ II ）若该商品的成本为 3 元 / 千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 5．请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰 .E,F 直角三角形，再沿虚线折起，使得A,B,C,D 四个点重合与图中的点P, 正好形成一个正四棱柱形状的包装盒 在 AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜 边的两个端点，设AE FB x(cm) . （ 1）某广告商要求包装盒的侧面积S( cm2 ) 最大，试问x 应取何值？ （ 2）某厂商要求包装盒的容积V (cm3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 答案详解（ 1），所以时侧面积最大。 （2），所以。当时，递增，当时，递减，所以，当时，最大。此时，包装盒的高与底面边长 的比值为。 解析 : 本题主要考查函数和配方法求函数最值的方法。 （1）由图写出侧面积的函数表达式，再对表达式化简、配方，即可求得取最大值对应的值。 （ 2）由图写出容积的函数表达式，再通过对函数求导，判断函数的单调性，从而求得取最大值对应的值，再求解高与底面边长的比值即可。 四、判断函数的零点 1.函数 f( x)= 的零点所在的一个区间是 A.（－ 2，－ 1）； B.（－1,0）； C.（0,1）； D.（1,2） 答案详解 B 正确率 : 64%,易错项: C解析:本题主要考查连续函数的性质。 由于是连续函数，且在上单调递增，根据零点附近函数值符号相反，可采用代入排除的方法求解。 A 项，故 A 项错误； B 项，，则零点定理知有零点在区间上，故 B 项正确； C项，故C项错 误； D 项，故D 项错误。综上所述：符合题意的是 B 项。故本题正确答案为B。 2. 设函数则( ) A. 在区间内均有零点； B. C. 在区间内有零点，在区间内无零点； 在区间内均无零点； D. 在区间内无零点，在区间内有零点. 答案详解 D正确率 : 33%,易错项: C 解析 : 本题主要考查导数的应用。 定义域为，先对求导，，解得在单调递减，单调递增。讨论上，在其上单调，，，故在上无零点；讨论上，在其上单调，，，故在上有零点。 故本题正确答案为D。 易错项分析：零点存在定理不熟悉导致易错；零点存在定理适应于连续函数在给定区间里的零点问题，局限于判断在给定区间是否有零点，而对于在给定的区间有多少个零点却无法处理。 3. 已知函数y＝x3－ 3x＋ c A. － 2 或 2 ； B. 的图像与 － 9 或 3 x 轴恰有两个公共点，则 ； C.－1或1； D. c＝ － 3 或 1 答案详解 A 正确率 : 53%,易错项: C解析:本题主要考查导数在函数中应用。 对函数求导，得到函数的增减性和极值，作出函数图象。由图可知，当函数取极大值和极小值时，有两个横坐标与之对应。极大值为2，极小值为－ 2。可知，。 故本题正确答案为A。 4. 16 分）若函数y f ( x) 在 x x0处取得极大值或极小值，则称 x0为函数 y f ( x) 的极值点 . 已知 a， b 是 实数， 1 和1是函数 f ( x) x3 ax2 bx 的两个极值点． （ 1）求a和b的值；（ 2）设函数g ( x) 的导函数 g ( x) f ( x) 2 ，求 g( x) 的极值点； （ 3）设h( x) f ( f ( x)) c，其中c [ 2 ，2] ，求函数y h(x) 的零点个数． 答案详解（ 1）由题设知，且，，解得。 （2）由（ 1）知，因为，所以的根 为，，于是函数的极值点只可能是或。 当时，， 当时，，故是的极值点， 当或时，，故不是的极值点，所以的极值点为。 （3）由（ 1）知，其函数图象如下图所示， 先讨论（）的零点，即与的交点的个数： 时，由图象得的零点为和； 时，由图象得的零点为和； 时，由图象得的零点为，，； 时，由图象得的零点分别在，，三个区间内； 时，由图象得的零点分别在，，三个区间内。 令，现在考虑（）的零点： 当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有 个零点。 当时，有两个根和，而有三个不同的根，分别在，，三个区间内，有两个不同的根和，故有 个零点。 当时，有三个不同的根，，，满足，，，，而（，，）有三个不同的根，故有个零点。 综上可知，当时，函数有个零点；当时，函数有个零点。 解析 : 本题主要考查导数在研究函数中的应用。 （1）对函数求导，代入极值点使该点处导数值为，得到关于的方程组，解出的值。 （2）由（ 1）问所得的，求出的表达式，令其等于求极值点。验证极值点真假后列出结果。（3）先结合图象分类讨论（）的零点，再令，分类讨论（）的零点。 五、导数与图像 1．函数 f x ax m 1 x n在区间上的图象如图所示，则的值可能是 A．B．C．D． 2. 若函数的导函数在区间上是增函数，则函数在区间上的图象可能是( ) ．．． y y y y o a b x o b x o a b x o a b x a A ．B． C ． D ． 3. 【 2010 江西理数】如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面 部分的图形面积为，则导函数的图像大致为 六、导数与不等式 利用导数求解（证明）不等式主要方法是：将不等式 t (x)g( x) 左右两边的多项式移到一边，构造出一个新的函数 f ( x) t (x) g( x) ，通过对 f (x) 求导，根据 f (x) 的大小和导数的性质，结合已知条件进行求解或证明. 1. 若f x x22x 4ln x ，则 f x ＞0的解集为 A．0, B.1,02, C.2, D.1,0 答案详解 C 正确率 : 50%,易错项: B解析:本题主要考查导数的运算和不等式的解法。 本题的易错点是容易忽视函数的定义域。 的定义域为，，即，结合解得。 故本题正确答案为C。易错项分析：本题的易错点是容易忽视函数的定义域，忽视在对数函数中真数要大于的隐含条件，从而在解不等式时出现负数，使函数没有意义，这是解对数不等 式以及对数函数有关的问题时常见的错误。 2. 函数f（x）的定义域为R，f（－ 1）=2，对任意x∈ R，f (x) 2 ， 则 f （x）＞ 2x＋4 的解集为 A. （－ 1， 1） B. （－ 1，＋） C.（－，－ 1） D. （－，＋） 3.本小题满分 12 分）设函数 (1) 求函数的单调区间； (2)若，求不等式 f x 的解集． 4.设函数有两个极值点、且，。 （1）求、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点和区域； （2）证明：。 答案（ 1），依题意知，方程有两个根，且等价于 ，，，。由此得满足的约束条件为 满足这些条件的点的区域为图中阴影部分。 （2）由题设 知：，故，于 是， 由于，而由（Ⅰ）知，故， 又由（ 1）知，所以。 解析本题主要考查导数、线性规划以及方程根的综合运用。 （ 1）本题应该根据先求出的导函数，然后再利用二分法得到关于三个参量的不等式，进而便 可得出的取值范围，进而便可作出满足这些约束条件的平面区域。 （ 2）该题主要利用已知条件，将表示为与其他参量的等式，并利用，便可得到的大致范围， 再将其他参量的取值范围代入该式，便可得到欲证结论。 5.( 本题满分 12 分 ) 设函数有两个极值点，且 （ I ）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明： 解 :（I），令，其对称轴为. 当时，在内为增函数； 由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得⑴ ⑵ 当时，在内为减函数； ⑶ 当时，在内为增函数； （ II ）由（ I ）， 设， 则 ⑴ 当时，在单调递增； ⑵当时，，在单调递减 . ，故． 6.（本小题满分 12 分）已知函数f ( x)= x－ax＋( a－ 1) ，. （ 1）讨论函数的单调性；（ 2）证明：若，则对任意x，x，xx，有 . 解析：(1) 的定义域为 . f x 2分 （ i ）若，即，则 f x ，故在单调增加 . (ii)若，而，故，则当时，； 当及时， 故在单调减少，在单调增加 . (iii)若，即，同理可得在单调减少，在单调增加. (2)考虑函数 则 由于 1 从而当时有，即，故，当时，有········· 12 分 7.（本小题满分 12 分）已知函数 （1）如，求的单调区间； （2）若在单调增加，在单调减少，证明＜6. （ 1）单调减 . (2) 由条件得： 从而因为 ∴ 将右边展开，与左边比较系数得，故 又由此可得于是 8.（本小题满分 100 分）已知函数满足。（Ⅰ）求的解析式及单调区间；（Ⅱ）若，求的最大值。 答案详解（Ⅰ）， 令得：。 ， 得：， 在上单调递增， ，， 得：的解析式为，且单调递增区间为，单调递减区间为。 （Ⅱ）得。 ①当时，在上单调递增，时，与矛盾； ②当时，，， 得：当时，， 。 令；则， ，，当时，； 当时，的最大值为。 解析 : 本题主要考查函数的求导和函数的单调性，利用函数单调性求极值。 （Ⅰ）先对函数求导得。当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。 （Ⅱ）构造函数，求导得。讨论在不同取值的情况下函数的单调性，通过求得函数的极值，求得关于表达式的取值范围，再构造函数，求导取极值，得出的最大值。 9设为常数，曲线与直线在点相切。 （ 1）求的值；（ 2）证明：当时，。 答案详解（ 1）由的图象过点，代入得。 由在处的切线斜率为，又，得。 （ 2）由均值不等式，当时，，故 记，则 令，则当时，。 因此在内是减函数，又由，得，所以， 因此在内是减函数，又由，得， 于是，当时，。 解析 : 本题主要考查导数的应用及不等式的证明。 （1）由与直线在点相切得过点，且，解方程即可求出，。 （2）令，注意到，可考虑证明单调递减。对求导数，通过判断的正负研究的单调性。 解读第二问欲证的不等式为：，一般来说，我们的思路是证明（记）且，然而对本题来说可能 比较困难，函数式掺杂了对数和根式，求导计算会比较麻烦，于是我们想到放缩。那么如何放 缩呢？对数求导显然比根式求导后的式子简单，于是我们考虑放缩根式，且放缩到求导后形式 简洁的式子，一次函数是个理想的函数，这时，想到切线正好是一次的，且不会放缩的过大， 于是我们取根式在处的切线方程（切线方程是个有力的放缩武器），接下来的证明 就十分自然了。如果不用放缩法，也可以化简该不等式，用换元法。我们取，则，不等式化 为，即，求导得，注意到时该式子为零，故有这个因式，通分后对分子因式分解得，有，可 得导数小于零，从而不等式获证。 10.（本题满分 100 分）已知函数（为常数，是自然对数的底数），曲线在点处的切线与轴平行。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ），其中为的导函数，证明：对任意，。 答案详解（Ⅰ）由，得，，由于曲线在处的切线与轴平行，所以，因此。 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，， 令，，当时，； 当时，，又，所以时，；时，； 因此的单调递增区间为，单调递减区间为。 （Ⅲ）因为，所以，。 因此对任意，等价于， 由（Ⅱ），，所以，。 因此，当时，，单调递增；当时，，单调递减。 所以的最大值为，故。 设，因为，所以时，，单调递增。 ，故时，，即， 所以，因此对任意，。 解析 : 本题主要考查函数的求导和求解函数单调区间。 （Ⅰ）先对函数求导，得导函数，代入切点的横坐标值，即，可求得。 （Ⅱ）由，，这时不能直接判断的正负性，先令，，通过求导判断该函数的单调性，然后可 判断得当时，；当时，，从而判断出的正负性，即的单调递增区间为，单调递减区间为。 （Ⅲ）由题，，可先将所证等价转化为证明，分析函数，，求导判断其单调性求得，而，则， 故得证对任意，。 七、求参数范围 1. （本小题共13 分）设函数（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围. （Ⅰ）；（Ⅱ）由 f (x) ，得， 若，则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， （Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增， 综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是. 2．（）设f ( x) e x ，其中 a 为正实数（Ⅰ）当 a 4 f ( x) 的极值点； 1 ax 2 时，求 3 （Ⅱ）若 f (x) 为 R 上的单调函数，求a的取值范围. （Ⅰ）当 a 4 时，令 f (x) 0 ，则 4x2 8x 3 0 .解得x1 3 , x 2 1 ， 3 2 2 列表得 x ( , 1 ) 1 ( 1 , 3 ) 3 3 , 2 2 2 2 2 2 f ( x) ＋0 －0 ＋f ( x) ↗极大值↘极小值↗ ∴ x1 3 1 是极大值点 . 是极小值点， x2 2 2 （Ⅱ）若 f ( x) 为R上的单调函数，则 f ( x) 在R上不变号，结合 f ( x) x 1 ax 22ax 与条件 a ，e (1 ax2 ) 2 >0 知 ax 2 2ax 1 0 在R上恒成立，因此4a2 4a 4a(a 1) 0. 由此并结合a>0，知0 a 1. 3.已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 Ⅰ），由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以。 考虑函数，则。 （ i ）设，由知，当时，。而，故当时，，可得；当时，，可得，；从而当，且时，，即。（ii ）设。由于当时，，故，而，故当时，，可得，，与题设矛盾。 （iii ）设。此时，而，故当时，，可得，而，与题设矛盾。综合得，的取值范围为。解析 : 本题主要考查函数求导和函数的单调性，以及分类讨论思想。 （Ⅰ）先对函数求导，将点代入到导函数，得出斜率，又在直线上，从而得到两个方程，联 立解得的值。 （Ⅱ）本问为不等式与函数的问题，要进行分类讨论，讨论时应注意不要漏情况。首先将不等 式转化为求函数极值。即将不等式右边式子左移，得讨论函数，这里应注意的取值范围。 通过分类讨论可得取值范围为。 解读 本题（ 2）中，若直接对作差后所得的函数求导，形式繁杂，且不易得出导数零点。由于只是 判断函数的正负号，可以提出，这样，余下的部分的求导变得简单可行，且的正负容易判断。4．本小题满分 100 分）已知函数。（1）求的单调区间； （ 2）若对于任意的，都有，求的取值范围。 答案详解 （ 1）。令，得。当时，与的情况如下： 所以，的单调递增区间是和；单调递减区间是。 当时，与的情况如下： 所以，的单调递减区间是和；单调递增区间是。 （2）当时，因为，所以不会有，。当时，由（ 1）知在上的最大值是，所以等价于，解得。解析 : 本题主要考查函数的求导和函数的单调性问题。 （1）先对函数求导得。当时，单调递增，求得的的取值范围即为单调增区间；当时，单调递减，求得的的取值范围即为单调减区间。 （2）利用函数的单调性，求得的最大值，代入不等式，即可求得的取值范围。 5.本小题满分 12 分）已知函数，，其中， （1）若在处取得极值，求的值；（ 2）求的单调区间； （3）若的最小值为，求的取值范围。 答案详解（ 1）因为，所以，又在处取得极值，所以。 （2）令， 当，即时，在定义域内恒成立，所以函数在内单调递增； 当，即时，在区间内，函数递减；在区间内，函数递增。 综上所述，当时，函数在区间内单调递增；当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增。 （3）当时，函数在区间内单调递增，此时，所以满足条件； 当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增，此时，所以不满足题意，所以的取值范 围为。 解析 : 本题主要考查函数与导数的单调性、函数的极值。 （1）对函数求导，在函数极值点处导数有意义时导数为零，然后计算求解； （ 2）导数大于零时函数递增，导数小于零时函数递减，然后分类讨论的取值范围进行求解； （ 3）分两种情况讨论函数的最小值，满足函数最小值为的的取值范围即为解。 6.设函数。（ 1）若为的极值点，求实数； （2）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立。 注：为自然对数的底数。 答案详解（ 1）求导得。 因为是的极值点，所以， 解得或，经检验，符合题意，所以或。 （2）①当时，对于任意的实数，恒有成立。 ②当时，由题意，首先有，解得， 由（ 1） 知，令， 则， 且 又在内单调递增，所以函数在内有唯一零点， 则，，从而，当时，； 当时，；当时，。 即在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。 所以要是对恒成立，只要成立。 由，知 将③代入①得。又，注意到函数在内单调递增，故。 再由③以及函数在内单调递增，可得。 又②解得，。所以。 综上，的取值范围为。 解析 : 本题主要考查导数以及不等式的综合运用。（1）本题应该先对函数求导，又因为为的极值点，所以，据此便可解的实数的取值范围。 （2）由于当时，，所以此时恒成立，所以只需讨论当时的情况即可。本题应该先判断出的零 点即的极值点，从而可判断出的单调性。最后判断得在内单调递增，在中单调递减，在中单 调递增。所以应该使得在该区间内的极大值点或者在端点处满足，这样便可解得的取值范围。 7.已知，，函数。（ 1）证明：当时， （i ）函数的最大值为；（ ii ）； （2）若对恒成立，求的取值范围。 答案详解（ 1）（ i ）。 当时，有，此时在上单调递增。 当时，。此时在上单调递减，在上单调递增。所以当时， （ii ）由于，故当时， 当时， 设，则。 所以，。所以当时，。故。 （ 2）由（ i ）知，当时，，所以。若，则由（ ii ）知，。所以对任意恒成立的充要条件是， 即，或，在直角坐标系中，所表示的平面区域为如图所示的阴影部分，其中不包括线段，做一组 平行直线，得，所以的取值范围是。 解析 : 本题主要考查利用导函数判断函数单调性和利用线性规划求解极值。 （1）（ i ）先对函数求导，得导函数，讨论和两种情况下函数的单调性，求得。 （ii ）分别讨论和两种情况下，对进行放缩。再令，对其求导，分析其单调性，求得。故可 得。 （2）列出对任意恒成立的充要条件，画出不等式组的平面区域图，设目标函数为，可求得的 取值范围为。 8. （本小题满分 13 分）已知函数 f ( x) = e ax x ，其中 a ≠ 0.(1) 若对一切 x ∈ ， f ( x) ≥ 1 恒成立，求 a 的取值 R 集合 .(2) 在函数 f ( x) 的图像上取定两点 A( x 1 , f ( x 1 )) ， B(x 2 , f ( x 2 )) ( x 1 x 2 ) ，记直线 AB 的斜率为 K ， 问：是否存在 x 0∈（ x 1，x 2），使 f ( x 0 ) k 成立？若存在，求 x 0 的取值范围；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）若 a 0 ，则对一切 x 0 ， f (x) e ax x 1，这与题设矛盾，又 a 0，故 a 0 . 而 f (x) ae ax 1,令 f ( x) 0,得x 1 ln 1 . 1 ln 1 a a 1 ln 1 1 ln 1 当 x 时， f ( x) 0, f ( x) 单调递减； 当 x 时， f (x) 0, f (x) 单调递增， 故当 x 时， f (x) a a a a a a 取最小值 1 ln 1 1 1 1 f ( ) a ln . a a a a 1 1 ln 1 于是对一切 x R, f (x) 1恒成立，当且仅当 1. ① a a a 令 g(t) t t ln t , 则 g (t ) ln t. 当 0 t 1 时， g (t ) 0, g(t) 单调递增；当 t 1时， g (t ) 0, g(t ) 单调递减 . 故当 t 时， g(t ) 取最大值 g(1) 1 . 因此， 当且仅当 1 1 即 a 1 时，①式成立 . 综上所述， a 的取值集合为 1 . 1 a （Ⅱ）由题意知， k f (x 2 ) f (x 1) e ax 2 e ax 1 1. 令 ( x) f ( x) k ae ax e ax 2 e ax 1 , x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 则 ( x 1 ) e ax 1 e a (x 2 x 1 ) a( x 2 x 1 ) 1 , (x 2 ) e ax 2 e a( x 1 x 2 ) a( x 1 x 2 ) 1 . x 2 x 1 x 2 x 1 令 F (t ) e t t 1，则 F (t) e t 1. 当 t 0 时， F (t ) 0, F (t ) 单调递减；当 t 0 时， F (t) 0, F (t) 单调递增 . 故当 t 0 ， F (t ) F (0) 0, 即 e t t 1 0. 从而 e a ( x 2 x 1 ) a( x 2 x 1 )1 0 ， e a ( x 1 x 2 ) a( x 1 x 2 ) 1 0, 又 e ax 1 0, e ax 2 x 1 0, ∴ ( x 1) 0, ( x 2 ) 0. x 2 x 1 x 2 因为函数 y ( x) 在区间 x 1 , x 2 上的图像是连续不断的一条曲线，∴存在 x 0 (x 1, x 2 ) 使 ( x 0 ) 0, ( x) a 2e ax 0, ( x) 单调递增，故这样的 c 是唯一的，且 c 1 ln e ax 2 e ax 1 . a a( x 2 x 1) 故当且仅当 x ( 1 ln e ax 2 e ax 1 , x 2 ) 时， f ( x 0 ) k . a a(x 2 x 1 ) x0 (x1, x2 ) 使 f ( x0 ) k 成立.且 x0 1 e ax2 e ax1 上所述，存在的取范 ( ln , x2 ) a a( x2 x1) 9. ( 本分14 分 ) 已知函数的最小0，其中 （Ⅰ）求的；（Ⅱ）若任意的有≤成立，求数的最小； （Ⅲ）明（）. 、解：（Ⅰ）函数的定域 ，得 ， （Ⅱ） 在上恒成立????（ * ） ， ①当，与（* ）矛盾 ②当，符合（* ），∴ 数的最小 （Ⅲ）由（ 2）得：任意的恒成立 取： 当，得：当， 得： . 10.（本小分 14 分）已知二次函数的函数的像与直平行，且在取得极小．． （1）若曲上的点到点的距离的最小，求的； （2）如何取，函数存在零点，并求出零点． （1）依可 () ，； 又的像与直平行，即 ，，， 当且当，取得最小，即取得最小 当，解得 当，解得 （ 2）由 () ，得 当，方程有一解，函数有一零点； 当，方程有二解， 若，，函数有两个零点， 即；若，，函数有两个零点， 即；当，方程有一解，， 函数有一零点 上，①当，函数有一零点； ②当 () ，或（），函数有两个零点；③当，函数有一零点. 2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题精心校对版题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009年-2018年北京高考真题的分类汇编。2.本系列文档有相关的试题分类汇编，具体见封面。3.本系列文档为北京双高教育精心校对版本4.本系列试题涵盖北京历年（2011年-2020年）高考所有学科一、解答题（本大题共10小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。2.（2012年北京高考真题数学(文)）已知函数2()1(0)f x ax a ，3()g x x bx ．（Ⅰ）若曲线()y f x 与曲线()y g x 在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值；（Ⅱ）当3a ，9b 时，若函数()()f x g x 在区间[,2]k 上的最大值为28，求k 的取值范围．3.（2011年北京高考真题数学(文)）已知函数()()x f x x k e . （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值. 4.（2009年北京高考真题数学(文)）姓名：__________班级：__________考号：__________●-------------------------密--------------封- -------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------● 2012年高考真题理科数学解析汇编：导数与积分 一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-;则()y f x =的图像大致为 2 ．（2012年高考（浙江理））设a >0,b >0. （ ） A ．若2223a b a b +=+,则a >b B ．若2223a b a b +=+,则a b D ．若2223a b a b -=-,则a 5 ．（2012年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是 “函数3 ()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6 ．（2012年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴 所围图形的面积为 （ ） A ． 2π 5 B ． 43 C ． 32 D ． π2 7 ．（2012年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点 P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 （ ） A ． 14 B ． 15 C ． 16 D ． 17 8 ．（2012年高考（大纲理））已知函数3 3y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个 公共点,则c = （ ） A ．2-或2 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．3-或1 二、填空题 9 ．（2012年高考（上海理））已知函数 )(x f y =的图像是折线段ABC ,若中 A (0,0), B (21,5), C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ . 10．（2012年高考（山东理））设0a >.若曲线y x = 与直线,0x a y ==所围成封闭图形 的面积为2 a ,则a =______. 11．（2012年高考（江西理））计算定积分 1 21 (sin )x x dx -+=? ___________. 12．（2012年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为 ___________________. 三、解答题 13．（2012年高考（天津理））已知函数 ()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a . (Ⅰ)求a 的值; (Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2 ()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 1-y x O 第3题图 1 1 高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则 函数与导数高考真题 1．2log 510＋log 50.25＝ A 、0 B 、1 C 、2 D 、4 2．2 2 (1cos )x dx π π-+?等于( ) A.π B.2 C.π-2 D.π+2 3．设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)= (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-3 4．设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ） 132 （Ｄ）213 75．已知函数3()2x f x +=，1()f x -是()f x 的反函数，若16mn =（m n ∈+R ，），则11()()f m f n --+的值为（ ） A ．2- B ．1 C ．4 D ．10 6．设正数a,b 满足4)(22lim =-+→b ax x x , 则=++--+∞ →n n n n n b a ab a 211 1lim （ ） A ．0 B ． 41 C ．21 D ．1 7．已知函数y =13x x -++的最大值为M ，最小值为m ，则m M 的值为 (A)14 (B)12 (C)22 (D)32 8．已知函数y ＝x 2-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝ （A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1 9．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3] m x x f x x x ?-∈-?=?--∈??，其中0m >。若方程 3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ） A ．158(,)33 B ．15(,7)3 C ．48(,)33 D ．4(,7)3 10．已知函数2()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与 ()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ． (0,2) B ．(0,8) C ．(2,8) D ． (,0)-∞ 切线问题 1 已知函数31()4 f x x ax =++，()ln g x x =-．当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线； 2 设函数1 (0ln x x be f x ae x x -=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+． 3已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．求a 、b 的值； 4 设函数()()23x x ax f x a R e +=∈若()f x 在0x =处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； 5已知函数f(x)＝e x －ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ，曲线y ＝f(x)在点A 处的切线斜率为－1. 求a 的值及函数f(x)的极值； 6设函数，曲线在点处的切线方程为， 7已知函数．求曲线在点处的切线方程； 8设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2．求a ，b ，c ，d 的值； ()a x f x xe bx -=+()y f x =(2,(2))f (1)4y e x =-+()e cos x f x x x =-()y f x =(0,(0))f 单调性问题 1已知函数)(x f 满足212 1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-．求)(x f 的解析式及单调区间； 2 讨论函数2()2 x x f x e x -=+ 的单调性，并证明当x >0时，(2)20x x e x -++>； 3已知函数()2x x f x e e x -=--. 讨论()f x 的单调性； 4 设1a >，函数a e x x f x -+=)1()(2．求)(x f 的单调区间 ； 5已知函数f (x )＝a e 2x －b e －2x －cx (a ，b ，c ∈R )的导函数f ′(x )为偶函数，且曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的 切线的斜率为4－c . (1)确定a ，b 的值； (2)若c ＝3，判断f (x )的单调性； 6设，已知定义在R 上的函数在区间内有一个零点，为的导函数．求的单调区间； 7已知函数()ln()x f x e x m =-+. 设0x =是()f x 的极值点，求m ，并讨论()f x 的单调性； a ∈Z 432 ()2336f x x x x x a =+--+(1,2)0x ()g x ()f x ()g x 导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围. 1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 的解，附近，如 果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条 件12】“对任意 B．必要而不充分条件 ，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（） ．既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则 ．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数 ，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选 所述，“ 对任 意B． ， 【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用， 根 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意； 当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0， ， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一的零点，需 ，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意； 当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0， ，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足 ，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时 零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ． 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想， 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取 值范围是（） 2018年全国高考试题分类汇编-导数部分（含解析） 1.(2018·全国卷I 高考理科·T5)同(2018·全国卷I 高考文科·T6)设函数f (x )=x3+(a -1)x2+ax.若f (x )为奇函数,则曲线y=f (x )在点(0,0)处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 2.(2018·全国卷II 高考理科·T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 3.(2018·全国卷II 高考文科·T13)曲线y=2lnx 在点(1,0)处的切线方程为 4.(2018·全国Ⅲ高考理科·T14)曲线y=(ax +1)ex 在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= . 5.(2018·天津高考文科·T10)已知函数f(x)=exlnx,f ′(x)为f(x)的导函数,则f ′(1)的值为 . 6.(2018·全国卷I 高考理科·T16)已知函数f (x )=2sinx+sin2x,则f (x )的最小值是 . 7.(2017·全国乙卷文科·T14)曲线y=x 2 + 1 x 在点(1,2)处的切线方程为 . 8.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f (x )=(2x +ax-1)1x e -的极值点,则f (x )的极小值为 ( ) A.-1 B.-23e - C.53e - D.1 9.(2017 10.(2017递增,则称f (x )A.f (x )=2-x 11.(2017数a 12.(2017则称f (x )具有M ①f (x )=2-x ;②f (x 13.(2017·全国乙卷理科·T16)如图,圆形纸片的圆心为O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O.D ,E ,F 为圆O 上的点,△DBC ,△ECA ,△FAB 分别是以BC ,CA ,AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别以BC ,CA ,AB 为折痕折起△DBC ,△ECA ,△FAB ,使得D ,E ,F 重合,得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm 3 )的最大值为 . 14.(2017·天津高考文科·T10)已知a ∈R ,设函数f (x )=ax-lnx 的图象在点(1,f (1))处的切线为l ,则l 在y 轴上的截距为 . 15.(2016·全国卷Ⅰ高考文科·T12)若函数f (x )=x-1 3 sin2x+asinx 在(-∞,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( ) A.[-1,1] B.11,3 ? ? -?? ?? C.11,33??- ???? D.11,3? ? --???? 16.(2016·四川高考理科·T9)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的 切线,l 1与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 17.(2016·四川高考文科·T6)已知a 为函数f (x )=x 3 -12x 的极小值点,则a=( ) A.-4 B.-2 C.4 D.2 18.(2016·四川高考文科·T10)设直线l 1,l 2分别是函数f (x )=lnx,0x 1,lnx,x 1, ?-<?图象上点P 1,P 2处的切线,l 1 与l 2垂直相交于点P ,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A ,B ,则△PAB 的面积的取值范围是 ( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 19.(2016·山东高考文科·T10)同(2016·山东高考理科·T10) 若函数y=f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是 ( ) A.y=sinx B.y=lnx C.y=e x D.y=x 3 20.(2016·全国卷Ⅱ理科·T16)若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln (x+1)的切线,则b= . 第十讲 导数题的解题技巧 【命题趋向】导数命题趋势： 综观2007年全国各套高考数学试题，我们发现对导数的考查有以下一些知识类型与特点： （1）多项式求导（结合不等式求参数取值范围）,和求斜率（切线方程结合函数求最值）问题. （2）求极值, 函数单调性,应用题,与三角函数或向量结合. 分值在12---17分之间，一般为1个选择题或1个填空题，1个解答题. 【考点透视】 1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念． 2．熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则．了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数． 3．理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值． 【例题解析】 考点1 导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念. 例1．（2007年北京卷）()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 ． [考查目的] 本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力. [解答过程] ()2 2 ()2,(1)12 3.f x x f ''=+∴-=-+=Q 故填3. 例2. ( 2006年湖南卷）设函数()1 x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实 数a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞) [考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力. 高考文科数学专题复习导数训练题（文） 一、考点回顾和基础知识 1．导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容．考查方式以客观题为主，主要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题.选择填空题侧重于利用导数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型（函数关系）,如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 2.导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即 )(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 3.求导数的四则运算法则： ''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=?+++=? ''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=?+=（c 为常数） 2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值． 2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数． 函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，，，据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C. 点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集 ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。 高考数学文科导数真题汇编答案 一、客观题组 4 5. 7.设函数()f x 在R 上可导，其导函数()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是 8设函数f （x ）= 2 x +lnx 则 （ ） A ．x=12为f(x)的极大值点 B ．x=1 2为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点 9、函数y= 12 x 2 -㏑x 的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 11(2018年高考1卷) 12(2019年高考1卷) 一、 客观题答案1B ; 2.D; 3.y=x+1; 4.A . 5.y=2x-2 6D ,7C; 8D; 9B; 10.C 11.D; 12.y=3x 二、大题组 【2011新课标】21. 已知函数ln ()1a x b f x x x = ++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。 （1）求a 、b 的值； （2）证明：当0x >，且1x ≠时， f (x )>ln x x -1 【解析】 （1）22 1 ( ln ) '()(1)x x b x f x x x α+-= - + 由于直线230x y +-=的斜率为1 2 - ，且过点(1,1)， 故(1)1,1'(1),2f f =???=-?? 即1,1,22 b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 （2）由（1）知f (x )=x x x 11ln ++，所以f (x )-ln x x -1=11-x 2 (2ln x -x 2-1 x )， 考虑函数，则2 2 222)1()1(22)(x x x x x x x h --=---='， 所以x ≠1时h ′(x )＜0，而h (1)=0 故)1,0(∈x 时，h (x )>0可得，),1(+∞∈x 时，h (x )<0可得， 从而当，且时，. 【2012新课标】21. 设函数f (x ) = e x -ax -2 （1）求f (x )的单调区间 （2）若a =1，k 为整数，且当x >0时，(x -k ) f ′(x )+x +1>0，求k 的最大值 【解析】 （1） f (x )的定义域为(,)-∞+∞，()x f x e a '=-， 若0a ≤，则()0f x '>，所以()f x 在(,)-∞+∞单调递增. 若0a >，则当(,ln )x a ∈-∞时，()0f x '<；当(ln ,)x a ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(,ln )a -∞单调递减，在(ln ,)a +∞单调递增. （2）由于1a =，所以()()1()(1)1x x k f x x x k e x '-++=--++. 故当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于1(0) (1) x x k x x e +<+>-①. 令1()(1) x x g x x e +=+-，则221(2)()1(1)(1)x x x x x xe e e x g x e e ----'=+= --. 由（1）知，函数()2x h x e x =--在(0,)+∞单调递增，而(1)0h <，(2)0h >， 所以()h x ，在(0,)+∞存在唯一的零，故()g x '在(0,)+∞存在唯一的零点. 设此零点为a ，则(1,2)a ∈. 当(0,)x a ∈时，()0g x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0g x '>. 所以()g x 在(0,)+∞的最小值为()g a . 又由()0g a '=，可得2a e a =+，所以()1(2,3)g a a =+∈. 由于①式等价于()k g a <，故整数k 的最大值为2 【2013新课标1】20. 已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4. (1)求a ，b 的值； ln ()1x f x x > -ln ()1x f x x >-0x >1x ≠ln ()1 x f x x >- 2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）e x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极 值，有极值时求出极值． 8．已知函数f（x）=e x cosx﹣x． （1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 9．设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|﹣x0|≥． 10．已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R， （1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）=f（x）+（x﹣a）cosx﹣sinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）=x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）=e x f （x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数y=g（x）和y=e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0； （ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）=e x（e x﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围． 导 数 专 题 题型1 根据导数的几何意义研究曲线的切线 1.（2012全国文13）曲线()3ln 1y x x =+在点()1,1处的切线方程为________. 2. (2015全国I 文14)已知函数 ()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 处的切线过点()2,7，则 a = . 3. (2015全国II 文16) 已知曲线ln y x x =+在点()11，处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切，则a = . 4.(2009，全国卷1) 已知函数42 ()36f x x x =-+.. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设点P 在曲线()y f x =上，若该曲线在点P 处的切线l 通过坐标原点，求l 的方程。 【解】（1）3 '()464(f x x x x x x =-=- 当(,)2x ∈-∞- 和(0,2 x ∈时，'()0f x <； 当(x ∈和)x ∈+∞时，'()0f x > 因此，()f x 在区间(,2-∞-和(0,2 是减函数， ()f x 在区间(2 - 和)+∞是增函数。 （Ⅱ）设点P 的坐标为00(,())x f x ，由l 过原点知，l 的方程为 0'()y f x x = 因此 000()'()f x x f x =， 即 423 0000036(46)0x x x x x -+--= 整理得 22 00(1)(2)0x x +-= 解得 0x = 或 0x = 因此切线l 的方程为 y =- 或 y =。 题型2 判断函数的单调性、极值与最值 5.（2013全国II 文11）.已知函数3 2 ()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（ ） . A. 0x R ?∈，0()0f x = B. 函数()y f x =的图象是中心对称图形 C. 若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减 绝密★启用前 2018年09月03日一中的高中数学组卷 试卷副标题 考试围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人得分 一．选择题（共9小题） 1．函数f（x）=的图象大致为（） A．B． C．D． 2．若函数f（x）=ax2+1图象上点（1，f（1））处的切线平行于直线y=2x+1，则a=（） A．﹣1 B．0 C．D．1 .页脚 3．设函数f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（） A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x 4．若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（） A．﹣1 B．﹣2e﹣3C．5e﹣3D．1 5．在数列{a n }中，a n =（﹣）n，n∈N*，则a n （） A．等于B．等于0 C．等于D．不存在 6．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（） A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2 7．若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx在（﹣∞，+∞）单调递增，则a的取值围是（） A．[﹣1，1] B．[﹣1，] C．[﹣，] D．[﹣1，﹣] 8．若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质．下列函数中具有T性质的是（）A．y=sinx B．y=lnx C．y=e x D．y=x3 9．设直线l 1，l 2 分别是函数f（x）=图象上点P 1 ，P 2 处的切 线，l 1与l 2 垂直相交于点P，且l 1 ，l 2 分别与y轴相交于点A，B，则△PAB 的面积的取值围是（） A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞） .页脚2009至2018年北京高考真题分类汇编之导数大题
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