东南大学数学分析考研真题

1 东南大学 数学分析

一．叙述定义（5+5=10）

1．+∞=-∞

→)(lim x f x 2．当为极限不以时，A x f a x )(+→

二．计算（9*7=63）

1． 求曲线)1(2x Ln y -=，02

1≤≤x 的弧长。 2． 设0),,(),,,(2==δδy e x g y x f u ，,sin x y =且已知f 与g 都具有一阶偏导数，

.

,0dx du g 求≠??δ 3． 求dx x

x ?2)ln ( 4． 求2

0)(lim x a x a x

x x -+→，（a>0） 5． 计算第二型曲面积分

dxdy dx d y dyd x

S 222δδδ++??

其中S 是曲面22y x +=δ夹与=δ1与=δ0之间的部分，积分沿曲面的下侧。

6． 求常数λ，使得曲线积分

2222,0y x r dy r y

x dx r y x L +==-?λλ 对上半平面的任何光滑闭曲线L 成立。

7． 在曲面)0,0,0(,142

22>>>=++δδy x y x 上求一点，使过该点的切平面在三个

坐标轴上的截距的平方和最小。

三，证明题（6+7+7+7=27）

1． 讨论级数∑?∞==101sin n n dx x

x π的敛散性。 2． 设)(x f 在区间[0，2]上具有二阶连续导数，且具有二阶连续导数，且对一切

]2,0[∈x ，均有|)(x f |1≤，|)("x f |1≤，证明对一切],2,0[∈x 成立|)('x f |2≤

3． 证明：积分?∞

-0dy xe xy 在（0，+∞）上不一致收敛。

4． 证明：函数x x x f ln )(=在（1，）

∞上连续。