广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期末考试试题 理.doc

广东省汕头市金山中学2021届高三数学上学期期末考试试题 理

一、选择题：(每小题5分，共60分，只有一项是符合题目要求的) 1. 若i z 21+=,则

=-?1

4z z i

( )

A. 1

B.

C. i

D.

2. 如图所示,向量A ,B ,C 在一条直线上,且BC AC 4=，则( )

A.OB OA OC 32

21+=

B.OB OA OC 2

123-= C.OB OA OC 2+-= D. OB OA OC 3

4

31+-=

3. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初步健步不为难,次日脚痛减

一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起,因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”请问此人第5天走的路程为( ) A. 36里 B. 24里 C. 18里 D. 12里

4. 某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为( )

A. π32

B.π

C. π34

D. π3

5

5. 已知命题],0[:0π∈?x p ,使得a x <0sin ,命题:q 对，]3,2

1

[∈?x a x

>+11若q p ∧为真命题,则a 的

取值范围是( )

A. )34

0(， B.)30(，

C.)3

41(， D. )31(， 6. 已知直线,354)3(:1m y x m l -=++ 8)5(2:2=++y m x l 平行,则实数m 的值为( )

A. 7-

B.1-

C. 7-或1-

D.

3

13 7. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,11=a ,22=a ,且对于任意1>n ,N n ∈,满足)1(211+=+-+n n n S S S ,

则=10S ( ) A. 91

B. 90

C. 55

D. 54

8. 已知函数x x x f sin )(=,)('x f 为)(x f 的导函数,则函数)('x f 的部分图象大致为( )

A. B. C. D.

9. 如图,正四棱锥ABCD P -的侧面PAB 为正三角形,E 为PC 中点,

则异面直线BE 和PA 所成角的余弦值为 ． A. 33 B. 23 C. 22 D. 2

1

10. 函数)2

)(2sin()(π

??<

+=x x f 的图象向左平移

6

π

个单位后所得图象对应的函数是偶函数,且存在]2

,0[π

∈x ,使得不等式m x f ≤)(成立,则m 的最小值是( )

A. 1-

B.21-

C. 2

1

D. 1

11. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表,第一行为1,第二行为53，,第三行为，

，，1197第四行为，

，，，19171513如图所示,在宝塔形数表中位于第i 行,第j 列的数记为j i a ,,比如，92,3=a ，152,4=a ，234,5=a 若，0172,=j i a ,则

=+j i ( )

A. 64

B.65

C.71

D. 72

12. 已知菱形ABCD 的边长为32,O

BAD 60=∠，沿对角线BD 将菱形ABCD 折起,使得二面角

C B

D A --的余弦值为3

1

-,则该四面体ABCD 外接球的体积为( )

A.

π3

7

28 B. π68

C.

π3

5

20 D.π36

二、填空题：（本大题共4小题，共20分）

13. 设变量y x ,满足约束条件：??

???≥≤+-≥x y y x x 222

,则2

2y x z +=的最大值是 ．

14. 函数)0(1)6

sin(2)(>--

=ωπ

ωx x f 最小正周期是π,则函数)(x f 的单调递增区间

是 ． 15. 已知函数21111)(++++=

x x x x f , 由1

1

111)1(++

+-=-x x x x f 是奇函数, 可得函数)(x f 的图象关于点)0,1(-对称, 类比这一结论得函数++++++=2312)(x x x x x g (6)

7

+++

x x 的图象关于点______对称．

16. 已知函数?????≤->+-=1

,11

,)(3

2

x x x x x x f ，若函数)1()(--=x a x f y 恰有三个零点，则实数a 的取值范围是 ．

三、解答题：（本大题共7题，22、23题选其中一道作答，共70分） 17. (12分）在ABC ?中,角C B A ,,的对边分别为,

,,c b a C

A B

c b c a sin sin sin +=

--. Ⅰ求角A 的大小；．

Ⅱ若2=a ,求c b +的取值范围．

18. (12分）已知}{n a 为等差数列, 前n 项和为)(*

N n S n ∈,}{n b 是首项为2的等比数列且公比大于0,

1232=+b b ,1432a a b -=,41111b S =．

Ⅰ求}{n a 和}{n b 的通项公式； Ⅱ求数列}{2n n b a 的前n 项和.n T

19. (12分）如图, 在四棱锥ABCD P -中, 平面⊥ABCD 平面PAD , BC AD //，

AD AP BC AB 2

1

=

== ，O ADP 30=∠,O BAD 90=∠, E 是PD 的中点． 证明：PB PD ⊥；

设2=AD ,点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为

5

10

,求二面角P AB M --的余弦值．

20. (12分）已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为2

1

, 以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形

的面积为34． Ⅰ求椭圆C 的方程；

Ⅱ如图所示,记椭圆的左、右顶点分别为B A ,, 当动点M 在定直线

4=x 上运动时, 直线AM 、BM 分别交椭圆于P 、Q 两点, 求四边

形APBQ 面积的最大值．

21. (12分）已知函数.,2

1ln )(2

R a x ax x x f ∈+-

=． 当0=a 时,求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程； 令)1()()(--=ax x f x g , 求函数)(x g 的极值；

若2-=a , 正实数21,x x 满足0)()(2121=++x x x f x f , 证明：.2

1

521-≥+x x ．

(22题、23题选择一道作答)

22、(10分）在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为,sin cos 3??

?==θ

θ

y x (θ为参数,直线l 的参数方程为

,14?

?

?-=+=t y t

a x (t 为参数． 若1-=a ,求C 与l 的交点坐标；

若C 上的点到l 距离的最大值为17,求a ．

23、(10分）已知函数.22)(-+=x x x f 解不等式;4)(≤x f

设函数)(x f 最小值为m ,若实数a 、b 满足2

22m b a =+, 求

1

1

422++

b a 最小值．

汕头市金山中学2021级高三上学期期末理科数学参考答案

1-12 CDDDA AAAAB DB 13. 8 14. ,

15.

16. ]3,()4

3,1[--∞?--

17. 解：

由

,利用正弦定理可得：

,化为：．

由余弦定理可得：

,

．

．

Ⅱ在中有正弦定理得,又,

所以,,

故,

因为

,故,所以,,

故b+c 的取值范围是（2，4]． 18.

解：Ⅰ设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q ． 由已知,得

,而

,

所以, 又因为,解得,

所以

．

由,可得, 由,可得, 联立,解得,,

由此可得． 所以

的通项公式为

,的通项公式为

；

Ⅱ设数列的前n 项和为,由

, 有

,

,

上述两式相减,得

,

得

．

所以数列的前n 项和为．

19. 证明：(1)?=∠90BAD , ,

平面平面PAD,交线为AD,

平面PAD,, 在

中,,

,?=∠90APD ,

,

,平面PAB, 平面PAB,．

解：如图,以P 为坐标原点,过点P 垂直于平面PAD 的射线为z 轴,射线PD 为x 轴, 射线PA 为y 轴,建立空间直角坐标系,

,,,

0,,

1,,

1,,

,

0,,

设

,则

,

,

,

又

,

点M 在线段PC 上且异面直线BM 与CE 所成角的余弦值为

,

,

整理,得

,解得或舍,,

设平面MAB 的法向量

y,,

则,取,得,

由知平面PAB,平面PAD 的一个法向量为0,,

．

二面角的余弦值为．

20. 解：Ⅰ根据题意,椭圆C ：

的离心率为,则有,

以椭圆长、短轴四个端点为顶点的四边形的面积为

,则有

,

又,解得,,,

故椭圆C的方程为；

Ⅱ由对称性,可令点,其中．

将直线AM的方程代入椭圆方程,得

,

由,得,则．

再将直线BM的方程代入椭圆方程得

,

由,得,则．

故四边形APBQ的面积为

．

由于,且在上单调递增,故,从而,有．当且仅当,即,也就是点M的坐标为时,四边形APBQ的面积取最大值6．21. 解：当时,,则,所以切点为,

又,则切线斜率,故切线方程为：,即；

,

所以,

当时,因为,所以．所以在上是递增函数,无极值；

当时,,令,得或,由于,所以．

所以当时,；当时,,

因此函数在是增函数,在是减函数,

当时,函数的递增区间是,递减区间是,

时,有极大值,

综上,当时,函数无极值；

当时,函数有极大值,无极小值；

由,,即．

,

所以,

令,且令,则

由,得,,,

可知,在区间上单调递减,在区间上单调递增．

所以,

所以,

解得或,

又因为,,因此成立．

22. 解：曲线C的参数方程为为参数,化为标准方程是：；

时,直线l的参数方程化为一般方程是：；

联立方程,解得或,

所以椭圆C和直线l的交点为和

的参数方程为参数化为一般方程是：,

椭圆C上的任一点P可以表示成,,

所以点P到直线l的距离d为：

,满足,且的d的最大值为．当时,即时,

解得和,符合题意．

当时,即时

,

解得和18,符合题意．

23. 解：当时,则,解得：,

当时,则,解得：,

当时,则,此时无解,

综上,不等式的解集是；

由知,当时,,

当时,则,

当时,则,

故函数的最小值是2,

故,即,

则

,

当且仅当且,

即,取“”,故的最小值是．