江西省抚州一中高三下学期第八次同步测试数学文

抚州一中高三第八次同步考试

数学试卷（文）

第Ⅰ卷（选择题

共60分）

一、选择题：本大题共１２小题，每小题５分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.

１．设全集U=R ，A={x ∈N ︱１≤x ≤１0}，B={ x ∈R ︱x ２+ x —6=0}，则下图中阴影表示的集合为

Ａ．{２} Ｂ．{３} Ｃ．{—３，２} Ｄ．{—２，

３}

２．在2008

43)1()1()1(x x x ++++++ 的展开式中，3

x 的系数是

Ａ．4

2008C

Ｂ．4

2009C

Ｃ．3

2008C

Ｄ．3

2009C

３．已知),(b a A 是直线0),(:=y x f l 上的一点，),(q p B 是直线l 外一点，由方程

0),(),(),(=++p q f b a f y x f 表示的直线与直线l 的位置关系是

Ａ．斜交

Ｂ．垂直

Ｃ．平行

Ｄ．重合

４．如果数列{}n a 满足21=a ，12=a ，且

1

1

11++---=

-n n n n n n a a a a a a （n ≥２），则这个数列的第１0项等于 A ．

1021 B ．9

21 C ．101 D ．51

５．已知)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，则函数[])()(2

2

x f x f y +=的最大值为

Ａ．6 Ｂ．１３ C ．２２ Ｄ．３３ 6．对于R 上可导的任意函数()x f ，若满足()()01/

≥-x f

x ，则必有

A ．()()()1220f f f <+

B ．()()()1220f f f >+

C ．()()()1220f f f ≥+

D ．()()()1220f f f ≤+

7．已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的左、右焦点分别为F １、F ２，P 是准线上一点，

且ab PF PF PF PF 4,2121=?⊥，则双曲线的离心率是

Ａ．2

Ｂ．3

Ｃ．２ Ｄ．３

8．已知点A 、B 、C 不共线，且有332

AB BC ?=

=

-，则有 Ａ．||||||AB CA BC << Ｂ．||||||BC CA AB << Ｃ．||||||AB BC CA <<

Ｄ．||||||CA AB BC <<

9．如图，正三棱锥A —BCD 中，点E 在棱AB 上，点F 在棱CD 上，且AE CF

EB FD

=

，若异面直线EF 和AC 所成的角为

3

π

，则异面直线EF 与BD 所成的角为 Ａ．

6π Ｂ．4

π

Ｃ．2

π

Ｄ．无法确定

１0．设动点()y x P ,满足条件?

??≥≥-++-30

)4)(1(x y x y x OP 的最小值是

Ａ．

5 Ｂ． 10 Ｃ．

2

17

Ｄ． １0 １１．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，

由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（ ）

A ．60

B ．４8

C ．３6

D ．２４

１２．在ΔABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ??==?=，P 为线段AB 上的一点，

且11

,||||

CA CB CP x y x y CA CB =?+?+则的最小值为

Ａ．

7

6

Ｂ．

712

Ｃ．

7312+ Ｄ．

736+

第Ⅱ卷（非选择题

共90分）

二、填空题：本大题共４小题，每小题４分，共１6分.把答案填在题中横线上.

１３．已知{}{}1,2,3,4,5,6,7A B ==,取适当的对应法则f ，那么从A 到B 的函数中

满足(1)(3)(4)f f f ≥≥的有 个；

１４．关于x 的不等式：||22

a x x ->-至少有一个负数解，则a 的取值范围是 ；

１５．设正四面体ABCD 的棱长为２，点O 为正四面体内切球的球心，则下列结论正确的是 ；

A B

D F E

１内切球的表面积为23

π； ２三棱锥O —BCD 的体积为

6

；

３直线AD 与平面ABC 所成角为；４平面ABC 与平面BCD 所成角为arctan １6．已知12,F F 是椭圆22

22

1(510)(10)x y a a a +

=<<-的两个焦点，B 是短轴的一个端点， 则12F BF ?的面积的最大值是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共7４分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

１7．（本小题满分１２分）

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 、b 、c 成等比数列。 （１）求角B 的取值范围；

（２）若关于B 的表达式0)2

4sin()24

sin(

42cos >+-+

-m B

B B ππ

恒成立， 求实数m 的取值范围。

１8．（本小题满分１２分）

一种电脑屏幕保护画面，只有符号“O ”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“O ”和“×”之一，其中出现“O ”的概率为p ，出现“×”的概率为q 。若第k 次出现“O ”，则

1=k a ；现出“×”，则1-=k a ，记n n a a a S +++= 21

（１）当ξξ求记时|,|,21

3S q p ===的值，并分别求相应的概率； （２）当)4,3,2,1(02,3

2

,318=≥===i S S q p i 且求时的概率。

１9．（本小题满分１２分）

如图，已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，0

90C ∠=，侧棱与底面所成的

角为α0

(090)α<<，点1B 在底面上的射影D 落在BC 上.

（１）求证：AC ⊥平面11BB C C ；

（２）当α为何值时，11AB BC ⊥，且使点D 恰为BC 的中点？ （３）若1

arccos 3

α=，且当1AC BC AA ==时，求二面角1C AB C --的大小.

２0．（本小题满分１２分）

已知函数3

2

()f x x ax =-，其中a 为正常数

（１）设当(0,1)x ∈时，函数 ()y f x =图象上任一点P 处的切线的斜率为k ，若1k ≥-，

求a 的取值范围；

（２）当[]1,1x ∈-时，求函数2

()(3)y f x a x x =+-的最大值。

２１．（本小题满分１２分）

已知数列{}n a 的首项13

5

a =

，1321n n n a a a +=+，12n =，，．

A

B

C

D

A 1

B 1

C 1

（１）求{}n a 的通项公式； （２）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ??

-- ?++??

≥，12n =，，；

２２．（本小题满分１４分）

如图，已知直线l 与抛物线y x 42

=相切于点(2,1)P ，且与x 轴交于点A ，定点B 的坐标

为（２，0）。

（１）若动点M 满足20AB BM AM ?+=，求点M 的轨迹C ；

（２）若过点B 的直线l '（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的两点E 、F （E 在

B 、F 之间）

，试求OBE ?与OBF ?面积之比的取值范围。

x

抚州一中高三第八次同步考试

数学参考答案（文）

一、选择题

题号

１

２

３

４

５

6

7

8

9

１

１

１

１

２ 答案

A B C D B C B A A D B C

二、填空题１３：３0； １４：（2,4

9

-）； １５：１３； １6：93100．

三、解答题

１7．解：（１）,2

ac b =

,21222cos 222=-≥-+=∴ac ac ac ac b b a B 当且仅当a=b=c 时，21

cos =B

??

?

??∈∴3,0πB …………………………５分

（２）m B B B +-+

-)24sin()24

sin(

42cos ππ

m B

B B +++-=)2

4cos()24sin(42cos ππ

m B B ++-=)2sin(22cos π

1cos 2cos 22-+-=m B B ,2

3

)21(cos 22-+-=m B …8分 1cos 21<≤B ]1,2

3

[23)21(cos 22--∈-+-∴m m m B 0)2

4sin()24sin(42cos >+-+-m B

B B ππ不等式 恒成立。

,23,023>>-∴m m 得 故m 的取值范围是),2

3

(+∞……………………１２分

１8．解：（１）||3S =ξ的取值为１，３，又,2

1

==q p

,432)21()21()1(213=??==∴C p ξ ,4

1)21()21()3(33=+==ξp ………３分 ξ∴的分布列为

.2

4341=?+?

=∴ξE ……………………6分 （２）当28=S 时，即前八秒出现“O ”５次和“×”３次，又已知)4,3,2,1(0=≥i S i 若第一、三秒出现“O ”，则其余六秒可任意出现“×”３次，

若第一、二秒出现“O ”，第三秒出现“×”，则后五秒可任意出现“×”３次，

故此时的概率为353

53

6)32()31()(??+=C C P )218780

(380383078或=?=

………１２分

１9．解：（１）略 （２）0

60α=

（３）0

45

２0．解：（１）

2'()

32,(0,1)k f

x x ax x ==-∈ ……１分

22

min min 232231111,3210,(3)2211(3)(3)

21(0,1),311

(3)0(4)

2(2)()()(3)3,[1,1]'()333()3x k x ax a x x x

a x x x x x x x a a x

g x f x a x x x ax x g x x a x a +≥--+≥≤

=+≤+

∈+

≥==∴+=>=+-=-∈-=-=-=由得即恒成立

即分时当且仅当又，故的取值范围是分设则((5)

x x 分

１当1,'()0()a g x g x ≥≤时，从而在[-1,1]上是减函数，

()(1)31g x g a ∴-=-的最大值为 ……7分

２当0

１时，'()3(g x x x =+

2max '()0,'()0,()[1,[()(2(8)

((1)2311)1)1

10,0,((1)

4

()(1)13(10)1

10,1,4

g x x g x x g x g x g g g a a g g g x g a a g >><<∴-∴=-=-=?<<<<∴==-≥≤<由得由得在上是增函数，在上是减函数的极大值为分由知

当即时分当即

时max max

((1)

()(2(11)

31(1)1()2(1)

(12)

4113(0)4

g g x g a a g x a a a ≥∴==?

?-≥?

?

=≤

?

-<

２１．解：（Ⅰ）

1321n n n a a a +=

+，112133n n a a +∴=+，1111

113n n a a +??∴-=- ???

，

又

1213n a -=，11n a ??∴- ???

是以23为首项，1

3为公比的等比数列． ∴1

1212

1333n n n a --==，332n n n a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032n

n n

a =>+， 21121(1)3n

x x x ??-- ?++?? 2112111(1)3n x x x ??

=

-+-- ?++??

2

111(1)1(1)n x x x a ??=-

-+??++??

2112(1)1n a x x

=-

+++

2

111n n n a a a x ??=--+ ?+??

n a ≤，∴原不等式成立．

２２．解：（I ）由,4

142

2

x y y x ==得 .2

1x y =

'∴ 故l 的方程为∴-=,1x y 点A 的坐标为（１，0）

设),1(),,2(),0,1(),,(y x AM y x BM AB y x M -=-==则

由0)1(20)2(0222=+-?+?+-=+

?y x y x AM 得

整理12

22

=+y x ∴动点M 的轨迹C 为以原点为中心，焦点在x 轴上， 长轴长为22，短轴长为２的椭圆。

（II ）如图，由题意知l '的斜率存在且不为零，

设l '方程为)0)(2(≠-=k x k y １

将１代入12

22

=+y x ，整理，得 .2

1

00,0)28(8)12(2222<<>?=-+?-+k k x k x k 得由

设),(11y x E 、),(22y x F ，

则,122812822

212221???

????+-=+=+k k x x k k x x ２

令,,BF

BE S S OBF OBE

==

??λλ则 由此可得.10,2

2

,21<<--=?=λλλ且x x 由２知,214

)2()2(2

21k x x +-=

-+-

,212

4)(2)2()2(2

212121k

x x x x x x +=

++-=-?-

81

2)1(22

+=+∴k λλ，

即.2

1)1(422

-+=

λλk

,2

102<

,21

21)

1(402

<-+<

∴λλ 解得.223223+<<-λ 又,1223,10<<-∴<<λλ

OBF OBE ??∴与面积之比的取值范围是)1,223(-