初一数学_几何_三角形基础知识和基本练习题讲解

第七章三角形（一）——三角形的基本概念

学习目标：

1、明确三角形的相关概念；能正确对三角形进行分类；

2、能利用三角形三边关系进行有关计算。

学习过程：

三角形的有关概念——阅读课本第63至64页，回答以下问题：

（1）三角形概念：由不在同一直线上的条线段连接所组成的图形。（2）三角形的表示法（如图1）

三角形ABC可表示为：；

（3）ΔABC的顶点分别为A、、；

（3）ΔABC的内角分别为∠ABC，，；

（4）ΔABC的三条边分别为AB，，；或a，、；

（5）顶点A的对边是，顶点B的对边分别是，顶点C的对边分别是。三角形的分类：

（1）下图中，每个三角形的内角各有什么特点？

（2）下图中，每个三角形的三边各有什么特点？

（3）结合以上图形你认为三角形可以如何分类？试一试

①按角分类：

②按边分类：

第1题

3、三角形的三边关系

问题1：如图，现有三块地，问从A 地到B 地有几种走法，哪一种走法的距离最近？请将你的设计方案填写在下表中：

（3）阅读课本第64页，填写：三角形两边的和 （4）用式子表示：BC + AC AB （填上“> ”或“ < ” ） ① BC + AB AC （填上“> ”或“ < ” ） ②

AB + AC BC （填上“> ”或“ < ” ） ③

4、三角形的稳定性

问题2：盖房子时，在窗框未安装好前，木工师傅常先在窗框上斜钉

一根木条，为什么？

5

、例题：用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ 解：设底边长为xcm ，则腰长是 cm 因为三角形的周长为 cm

所以： 所以

x= cm

答：三角形的三边分别是 、 、

课堂练习： A 组

A 地

(6)

(5)

(4)

(3)(2)

(1)

1．①图中有 个三角形，分别为 ②△ABC 的三个顶点是 、 、 ； 三个内角是 、 、 ； 三条边是 、 、 ；

2、如图中有 个三角形，用符号表示 3．判断下列线段能否组成三角形：

①4，5，6 （ ）②1，2，3 （ ） ③2，2，6 （ ）④8，8，2 （ ） 4、下列的图形中具有稳定性的是 （写编号）

5、等腰三角形一腰长为6，底边长为7，则另一腰为 ，周长为 。

6、等腰三角形一边长为6，一边长为7，则第三边是 ，周长为 。

B 组

例题：

用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形，若有一边的长为4cm ，那么另两边为多少？ 分析：

题中没有说明已知的边是底还是腰，所以4cm 可以作底，也可以作腰，本题分两种情况； 解：当长的边4cm 为底边，设腰长为xcm ，

则 ， x= ；

当长的边4cm 为腰，设底边为xcm ， 则 ， x= ；

答：三角形另两边为

思考：按上述方法求得线段能否构成三角形？

7、等腰三角形一边长为8，一边长为2，则第三边是，周长为。

8、等腰三角形周长为22，一边长为10，求另两边长；

9、等腰三角形周长为30，一边长为8，求另两边长；

10、等腰三角形周长为10，一边长为6，求另两边长；

C 组：

如右图，把这些点作为三角形的顶点，可画个正三角形。

第七章三角形（二）——三角形的中线、角平分线、高

学习目标：

正确理解三角形的中线、角平分线、高；

利用它们的性质解简单几何计算题。

课前知识：

如右图，顶点A的对边是，

顶点B、C的对边分别是、。

∠BAC的对边是，

∠ABC，∠BCA的对边分别是、。

图2

三．新课：

1、阅读课本第65页至第66页，了解什么三角形的高线、中线、角平分线；

2、请在下图中分别画出三角形的高AD 、中线AE 、角平分线AF ；

3、几何语言表示三角形的高、中线、解平分线； （1）三角形的中线（如图一）：

∵CF 是AB 上的中线 ∴①AF = =

2

1

②AB=2 =2 （2）三角形的角平分线（如图二）：

∵BE 是ΔABC 中∠ABC 的角平分线

∴①∠1=∠2= ∠ABC ②∠ABC=2∠ =2∠ （3）三角形的高线（如图三）：

∵AD 为ΔABC 中BC 边上的高，

∴① ⊥ ②∠ =∠ =90° 四．巩固练习： A 组：

1、按要求画出下列三角形的中线、高线、角平分线

A

画三角形的中线AE

过点A 作三角形的高AD

A

画角平分线AF

C

E

F

画中线AD 画DF 边上的高EM 画∠HGN 的角平分线

GK

2、如图1：∠BAC=60°，AD是三角形ABC的角平分线，则∠BAD= °，∠CAD= °；

3、如图2，AD为ΔABC中BC边上的高，∠B=35°，∠C=45°，则∠BDA= °

∠BAD= °，∠CAD= °。

4、如图3，ΔABC的周长为20，AB=6，AC=8，AD是BC边上的中线，则BC= ，

BD= ，CD= 。

5、下列三个图中三个∠B有什么不同？过点A作画出下列三角形的高，这三个三角形ABC的边BC上的高

AD在各自三角形的什么位置上？你能说出其中的规律？

解：图一∠B是角，这个三角形ABC的边BC上的高AD在

图二∠B是角，这个三角形ABC的边BC上的高AD在

图三∠B是角，这个三角形ABC的边BC上的高AD在

B 组：

6、在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线、AF是高，填空：

（1）BD= =

1

2

； （2）1

2

BAE ∠=??????=

???????? （3）90BFA ∠=??????????=? （4）1

2

ABC

S

=

?????????? 7、如图，在ΔABC 中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD 是ΔABC 的 一条角平分线，求∠ADB 的度数。

8、∠B=30°，∠C=70°， AD 、AE 分别为BC 边上的角平分线、高。求∠DAE 的度数。 、

C 组：

如图，ΔABC 中，AB=2，BC=4，ΔABC 的高AD 与CE 的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式）

第七章三角形（三）——练习1 一、知识点：

三角形的分类：

按角分类

不等边三角形：三角形三条边

按边分类底边和腰不的等腰三角形

等腰三角形

（有两条边相等）等边三角形：三条边都

三角形三边的关系：

1、三角形的任意两边之和第三边；

2、三角形的任意两边之差第三边。

如图一， + > ； - >

三角形的重要线段：

（1）三角形的高 （2）三角形的中线 （3）三角形的角平分线

如图，在ABC 中，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，F 是BC 边上的中点，则有 （1）∵ AD ⊥BC ，

∴ ∠ =∠ = 90° （2）∵AE 平分∠BAC ，

∴∠ =∠ =2

1

∠ （3）∵F 是BC 边上的中点，

∴ = =2

1

（四）三角形的稳定性：

盖房子时，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，(如右图) 为什么要这样做呢？

答：

练习：要是四边形木架不变形，至少要在钉几根木条? 五边形木架和六边形木架呢？ （请在图上画出）

至少要钉 根木条 至少要钉 根木条 至少要钉 根木条

二、练习： A 组 （一）、选择题：

1.如图，共有三角形的个数是（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

2．以下列长度（cm ）的三条小木棒，若首尾顺次连接，能钉成三角形的是（ ）。 （A ）10、14、24 （B ）12、16、32 （C ）16、6、4 （D ）8、10、12

（二）填空：

1、如图：AD 、AE 分别是ABC 的角平分线和中线，如果 ∠BAD ＝50°，CE ＝5cm ，那么∠BAC= 度， BC ＝ cm ；

2、等腰三角形的两条边长分别为10cm 和5cm ，它们的周长是 cm 。

3、已知等腰三角形的一边长等于5cm ，一边长等于6 cm ，则它的周长为 cm 。

4、一个等腰三角形的周长是20 cm ，

（1）若一条边长为5 cm ，则另两边的长分别为 ； （2）若一条边长为6 cm ，则另两边的长分别为 。 5、如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD 是BC 边上的高， DE ⊥AB 于E ，那么图中共有 个直角三角形。

（三）按要求画出下列三角形的高

B 组：

1、在三角形ABC 中∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，求三角形ABC 的各内角的度数；

画AC 边上高

画DE 边上高 画HG 边上高

2、如图，AD 是△ABC 的角平分线.DE ∥AC,DE 交AB 于E, DF ∥AB, DF 交AC 于F,图中 ∠1与∠2有什么关系?为什么?

3、如图，AB ∥CD ，∠A=40°，∠D=45°，求∠1和∠2；

4、如图AB ∥CD ，∠A=45°，∠C =∠E ，求∠C ；

5、如图3，A 岛在B 岛的北偏东50度方向，C 岛在B 岛的北偏东80度方向，C 岛在A 岛的现偏东30度方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？

第七章 三角形（四）——三角形内角和定理

学习目标：

（1）学会利用已学的相交线与平行线等相关性质证明三角形的内角和定理； （2）初步了解什么是几何证明，并感受证明几何问题的基本结构和推导过程； （3）基本学会利用三角形内角和定理解决生活中的实际问题。

试一试，下面的练习，你还会做吗？

如图1（1），已知：直线上有一点A ，过点A 作射线AM 、AN ； 1、若∠DAM=30°，∠EAN=70°，则∠1等于 度。

2、若在AM 上任取一点B ，过点B 作BC ∥DE 交AN 于点C 如图1（2）， 则：（1）∠2等于 度，根据： （2）∠3等于 度，根据： （3）∠1+∠2+∠3等于 度。

（三）问题：任剪一个三角形，按下列要求进行实验 （1）先剪下∠B 和∠C （如图2），然后把它们与∠A 拼合在一起，就得到一个平角．有多少种不同的拼合 方法？请你把这些不同的方法分别拼出来；这个实验 说明什么？你会证明吗？

图2

实验说明：

（2）在（1）中你觉得哪几种拼合的结果有助于发现证明三角形内角和等于180度思路？它们有什么共同的特点？

（四）证明三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180

o；

已知：如图3，三角形ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180 证明：（方法一）

（五）巩固练习

比一比，看谁最快求出下列各图形中，∠1、∠2或∠3的度数；

∠1= ∠2= ∠3=

（六）应用举例

如图3，C 岛在A 岛的北偏东50度方向，B 岛在A 岛的北偏东80度方向，C 岛在B 岛的北偏西40度方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？

E

第3题

（七）练习

A

组 1．求出下列图中x 的值: x= x= x= x=

2、求下列图形中的∠1、∠2的度数：

（1） （2） （3）

AB ∥CD

∠1= o ∠1= o ∠1= o ∠2= o ∠2= o ∠2= o 3、如图,从A 处观测C 处时仰角∠CAD=30o,从B 处

观测C 处时仰角为∠CBD=45o,则∠CBA 是 度， 从C 处观测A,B 两处时视角∠ACB 是 度。

B 组

4、如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD ， 其中∠A=150度，∠B=∠D=40度，求∠C 的度数。

5、如图，AD ⊥BC ，∠1=∠2，∠C=65°，求∠BAC 的度数。

第七章三角形（五）——三角形的外角

一、学习目标：

1、知道什么叫三角形的外角；理解三角形外角的两条性质定理；

2．能用三角形外角的有关定理解答问题。

二、复习回顾：

1、三角形内角和定理：三角形的内角和等于。

2、如图, △ABC中∠A+∠B+∠C=

3、如图，在△ABC中若∠A=60°，∠B=35°，则∠ACB= °，∠ACD= °；

三、新授课：

（一）认识三角形的外角，阅读课本第74页，了解什么是三角形的外角，并回答下列问题：

1、如图，△ABC的一个外角是；

2、如图，若∠C=50°，∠B=28°，则∠BAC= °∠DAB= °

（二）三角形外角的性质定理：

1、如图，△ABC的一个外角是，和它不相邻的内角

是，。

2、猜想：∠BAD和∠B、∠C之间的关系是。

证明：

归纳：①三角形的一个外角等于；

②三角形的一个外角大于一个。

几何语言：∠1=∠ +∠；

∠ABE= + ；

∠1 >∠；∠1 >∠；

（三）三角形的外角和——每一个三角形的内角相应地取其中一个外角相加的结果；

思考：如图，∠1+∠2+∠3= °（你能证明得到的结论吗？）

证明：

1

2

80?60?

归纳：三角形的外角和等于 °

三、巩固练习：A 组： 计算：

∴∠1= ∴∠2= ° ∴∠3= °

∴∠4= ° ∴∠5= ° ∴∠6= °

2、如图，CE ∥AB

∴∠2= ° ∴∠CDE= °，∠E= ° 3、∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，∠A=90°，∠B=55°，则∠C= °

4、∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，∠A=90°，∠B=55°，则与∠C 相邻的外角= °

5、右图：△ACD 的外角是 。

6、下列说法正确的是（ ）

A ．三角形的一个外角大于它的一个内角；

D

C

B

A

B ．三角形的一个外角等于它的两个内角；

C ．三角形的一个外角等于和它不相邻两个内角的和；

D ．以上答案都不对。

B 组：

1、下列各图中，表示∠1是△ABC 的外角的是（ ）

2、如右图，以下说法不正确的是（ ） A 、∠EFD 是△BFC 的一个外角； B 、∠DFC 是△BFC 的一个外角； C 、∠EFD+∠FBC+∠FCB=180°； D 、∠CDF=∠A+∠ABD

3、如图，D 是△ABC 边上的一点，E 是BD 上一点，则对 ∠1、∠2、∠A 之间的关系描述正确的是（ ）。 A 、∠A < ∠1 > ∠2 B 、∠2 >∠1>∠A C 、∠1 >∠2>∠A D 、无法确定

4、填空：

（1）一个三角形最多有 个直角，一个三角形最多有 个钝角；

（2）一个三角形的三个外角中，最多有 个锐角，最多有 个直角，最多有 个钝角。

5、如右图：D 是△ABC 中BC 边上的一点，∠B=∠BAD ，∠ADC=80°， ∠BAC=70°，求：∠B ，∠C 的度数。

6、如右图：在直角三角形ABC 中，CD ⊥AB 于D ，∠BCD=35°， 求∠A 、∠EBC 的度数。 C 组：

如图，△ABC 中，分别延长△ABC 的边AB 、AC 到D 、E ，∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点P ，爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律： 若∠A ＝50°，则∠P ＝ °； 若∠A ＝90°，则∠P ＝ °； 若∠A ＝100°，则∠P ＝ °；

请你用数学表达式归纳∠A 与∠P 的关系，并说明理由。

第七章三角形（六）——练习2

一、知识点： 三角形的角：

1. 三角形的内角和等于 °

2. 三角形的外角和等于 °

如图，∠ 是ABC 的一个外角 3. 三角形外角性质：

（1）三角形的一个外角等于 ； 如图，∠ACD=∠ +∠ ；

（2）三角形的一个外角大于 。 如图，∠ACD > ；∠ACD > 三角形的三边关系：

第2、3小题

三角形的任意两边之和 第三边；三角形任意两边之差 第三边。 即：三角形两边 < 三角形的第三边 <三角形的两边

二、练习：

1．如图：AB ∥CD ，AD 和BC 交于点O ，若∠A=42°∠C=59°，则∠AOB 等于 .

2．有一块直角三角形纸片ABC ，把它折叠，使点C 落在AB 边上。若∠C=90°，∠B=40°，则∠DAB= 。 3．在△ABC 中（如图），BD 平分∠ABC ，∠A=36°，∠C=72°，

那么∠ABD 的度数是 ；∠BDC 的度数是 。

4、 等腰三角形的两条边长分别为8cm 和5cm ，它们的周长是 cm

5．一个等腰三角形的周长是18cm ，其中一边长为5，则其余两边的长分别是 。

6．如图：1l ∥2l

，∠1=80°，∠2=30°，求∠3的度数； B 組

7．如图：AB ∥CD ，AD ∥CD ，∠1=50°，∠2=80°。 （1）∠BDC ，∠DBC 分别是多少度？ （2）∠C 等于多少度？

第1题

第2题

第6题

第7题