安徽省合肥市第十一中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

安徽省合肥市第十一中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试

题（含解析）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上，并且用2B 铅笔把对应的准考证号涂黑。

2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案；不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并收回。 一、解答题(共12道小题，每道小题5分，共60分.请将正确答案填涂在答题卡上) 1.一个学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为： A. 100 B. 80

C. 60

D. 40

【答案】A 【解析】 【分析】

根据分层抽样的方法，得到高三学生抽取的人数为5

200235

?

++，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，采用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，所以高三学生抽取的人数为5

200100235

?

=++人，故选A ．

【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

2.若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A.

11a b

> B. a b -> C. 22a b > D. 33a b <

【答案】D 【解析】

∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确

对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D

3.不等式20x x ->的

解集是：

A. ()1,0-

B. ()(),10,?-∞-?+∞

C. ()0,1

D. ()(),01,-∞?+∞

【答案】C 【解析】 【分析】

把不等式20x x ->转化为不等式(1)0x x -<，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，不等式20x x ->，等价于(1)0x x -<，解得01x <<， 即不等式20x x ->的解集为(0,1)，故选C ．

【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加演讲比赛，那么下列互斥但不对立两个事件是（ ）

A. “至少1名男生”与“全是女生”

B. “至少1名男生”与“至少有1名是女生”

C. “至少1名男生”与“全是男生”

D. “恰好有1名男生”与“恰好2名女生” 【答案】D 【解析】

【详解】从3名男生和2名女生中任选2名学生的所有结果有“2名男生”、“2名女生”、“1名

男生和1名女生”。

选项A 中的两个事件为对立事件，故不正确； 选项B 中的两个事件不是互斥事件，故不正确； 选项C 中的两个事件不是互斥事件，故不正确；

选项D 中的两个事件为互斥但不对立事件，故正确。选D 。

5.在数列{}n a 中，12a =，1221n n a a +-=，则101a 的值为： A. 52 B. 51

C. 50

D. 49

【答案】A 【解析】 【分析】

由1221n n a a +-=，得到11

2n n a a +-=

，进而得到数列{}n a 首项为2，公差为12

的等差数列，利用等差数列的通项公式，即可求解，得到答案．

【详解】由题意，数列{}n a 满足1221n n a a +-=，即11

2

n n a a +-=， 又由12a =，所以数列{}n a 首项为2，公差为1

2

的等差数列， 所以10111

1002100522

a a d =+=+?

=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了等差数列的定义，以及等差数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的定义，以及等差数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

6.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷1000个点，己知恰有400个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是

A. 2

B. 3

C. 10

D. 15

【答案】C 【解析】 【分析】

根据古典概型概率公式以及几何概型概率公式分别计算概率，解方程可得结果. 【详解】设阴影部分的面积是s ，由题意得

2

400s

=1010005s ∴=，选C. 【点睛】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解． (2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．

7.在△ABC 中，c ，A ＝75°，B ＝45°，则△ABC 的外接圆面积为 A.

4

π B. π C. 2π D. 4π

【答案】B 【解析】 【分析】

根据正弦定理可得2R ＝

sin c

C

，解得R ＝1，故△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝π. 【详解】在△ABC 中，A ＝75°，B ＝45°，∴C ＝180°－A －B ＝60°.设△ABC 的外接圆半径为R ，则由正弦定理可得2R ＝

sin c

C

，解得R ＝1， 故△ABC 的外接圆面积S ＝πR 2＝π. 故选B.

【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及

2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正

弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.

8.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯

三百八十一，请问尖头几盏灯”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯： A. 281盏 B. 9盏

C. 6盏

D. 3盏

【答案】D 【解析】 【分析】

设塔的顶层共有1a 盏灯，得到数列{}n a 的公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项公式，即可求解．

【详解】设塔的

顶层共有1a 盏灯，则数列{}n a 的公比为2的等比数列，

所以717(12)38112

a S -==-，解得13a =，

即塔的顶层共有3盏灯，故选D ．

【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式与求和公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．

9. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为

A. 9

B. 18

C. 20

D. 35

【答案】B 【解析】

试题分析：因为输入的2,3x n ==,故1,2v i ==,满足进行循环的条件,4,1v i ==,满足进行循环的条件,9,0v i ==,满足进行循环的条件,18,1v i ==-,不满足进行循环的条件,故输出v 的值为18,故选B.

考点：1、程序框图；2、循环结构.

10.某种产品的广告费支出x 与销售额y （单位：百万元）之间有如下对应数据：

根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程为 6.517.5y x =+，则t 的值为（ ） A. 40 B. 50

C. 60

D. 70

【答案】C 【解析】

分析：由题意，求得这组熟记的样本中心(,)x y ，将样本中心点代入回归直线的方程，即可求解答案.

详解：由题意，根据表中的数据可得

2456855x ++++=

=，3040507019055

t t

y +++++==，

把(,)x y 代入回归直线的方程，得

190 6.5517.55t

+=?+，解得60t =，故选C. 点睛：本题主要考查了回归分析的初步应用，其中熟记回归直线的基本特征——回归直线方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

11.如图，某船在A 处看见灯塔P 在南偏东15方向，后来船沿南偏东45的方向航行30km 后，到达B 处，看见灯塔P 在船的西偏北15方向，则这时船与灯塔的距离是：

A. 10km

B. 20km

C. 3km

D. 53km 【答案】C 【解析】 【分析】

在ABP ?中，利用正弦定理求出BP 得长，即为这时船与灯塔的距离，即可得到答案． 【详解】由题意，可得30PAB PBA ∠=∠=，即30,120AB APB =∠=，

在ABP ?中，利用正弦定理得30sin 30

103sin120

PB =

=

即这时船与灯塔的距离是3km ，故选C ．

【点睛】本题主要考查了正弦定理，等腰三角形的判定与性质，以及特殊角的三角函数值的应用，其中熟练掌握正弦定理是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

12.办公室装修一新，放些植物花草可以清除异味，公司提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4种植物供员工选择，每个员工任意选择2种，则员工甲和乙选择的植物全不同的概率为： A.

1

6

B.

14

C.

112

D.

536

【答案】A 【解析】

【分析】

从公司提供的4中植物中任意选择2种，求得员工甲和乙共有36种选法，再由任选2种有24C 种，得到员工甲和乙选择的植物全不同有1

6C 种选法，利用古典概型的概率计算公式，即可求解．

【详解】由题意，从公司提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4种植物每个员工任意选择2种，

则员工甲和乙共有22

4436C C =种不同的选法，

又从公司提供绿萝、文竹、碧玉、芦荟4种植物中，任选2种，共有246C =种选法，

则员工甲和乙选择的植物全不同，共有1

66C =种不同的选法，

所以员工甲和乙选择的植物全不同的概率为61

366

P =

=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理利用排列、组合求得基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上） 13.把“五进制”数(5)1234转化为“十进制”数是_____________ 【答案】194 【解析】

由()3

2

51234152535412550154194=?+?+?+=+++=. 故答案为：194.

14.某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1~5号，并按编号顺序平均分成10组（1~5号，6~10号，…，46~50号），若在第三组抽到的编号是13，则在第七组抽到的编号是______． 【答案】33 【解析】

试题分析：因为是从50名学生中抽出10名学生，组距是5，

∵第三组抽取的是13号，

∴第七组抽取的为134533+?=． 考点：系统抽样

15.在ABC ?中，,,A B C 的对边为,,a b c ，若,3,13

A a b π

∠===，则c =___________

【答案】2 【解析】

根据余弦定理：2221

cos 222

c b a A c bc +-==?=

16.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME -）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OA A A A A A A =====，如果把图

乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,n OA OA OA ?的长度构成数列{}n a ，则此数列的

通项公式为n a =_____．

n 【解析】 【分析】

由图可知1122378...1OA A A A A A A =====，由勾股定理可得22

11n n a a -=+,利用等差数列

的通项公式求解即可.

【详解】根据图形1122378...1OA A A A A A A =====， 因为122378...OA A OA A OA A ???、都是直角三角形，

2211n n a a -∴=+,

2n a ∴是以1为首项，以1为公差的等差数列，

()2111n a n n ∴=+-?=，

n a ∴=

.

【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且246a a +=，63a S =． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）若*k N ∈，且k a ，3k a ，2k S 成等比数列，求k 的值． 【答案】（1）n a n =； （2）4. 【解析】 【分析】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式，列出方程组，即可求解． （2）由（1），求得()

12

n n n S +=，再根据k a ，3k a ，2k S 成等比数列，得到关于k 的方程，即可求解．

【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，

由题意可得：111136533a d a d a d a d +++=??+=+?，解得11

1a d =??=?

．

所以数列{}n a 的通项公式为11n a n n =+-=． （2）由1（）知()

12

n n n S +=

， 因为k a ，3k a ，2k S 成等比数列，所以2

32k k k a a S =?，即()2

921k k k k =?+，

解得4k =．

【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和前n 项和公式，列出方程准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

18.我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[

)0,0.5，

[)0.5,1，[]4,4.5?分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由； （2）估计居民月均用水量的中位数． 【答案】（1）万； （2）. 【解析】 【分析】

（1）由频率分布直方图的性质，求得0.3a =，利用频率分布直方图求得月均用水量不低于3吨的频率为0.12，进而得到样本中月均用水量不低于3吨的户数； （2）根据频率分布直方图，利用中位数的定义，即可求解． 【详解】（1）由频率分布直方图的性质，

可得()0.080.160.400.520.120.080.040.51a a ++++++++?=， 即2 1.42a =+，解得0.3a =，

又由频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为()0.120.080.040.50.12++?=， 即样本中月均用水量不低于3吨的户数为300.12 3.6?=万． （2）根据频率分布直方图，

得：0.080.50.160.50.300.50.400.50.470.5?+?+?+?=<， 则0.470.50.520.730.5+?=>， 所以中位数应在(]

2,2.5组内，即0.50.47

2 2.060.52

-+=，

所以中位数是2.06．

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质，以及频率分布直方图中位数的求解及应用，其中解答中熟记频率分布直方图的性质和中位数的计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

19.已知ABC ?内角,,A B C 的

对边分别是,,a b c ，若1

cos 4

B =

，2b =，sin 2sin C A =. （1）求a ；

（2）求ABC ?的面积. 【答案】（1）1a =； （2

. 【解析】 【分析】

（1）在ABC ?中，由正弦定理得2c a =，再由余弦定理，列出方程，即可求解a 得值； （2）由（1）求得2c =，利用三角形的面积公式，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）在ABC ?中，1

cos 4

B =，2b =，sin 2sin

C A =， 由正弦定理得2c a =，

由余弦定理得2

2

2

2

2

21

2cos 422444

b a

c ac B a a a a a =+-=+-??==， 解得1a =或1(a =-不合题意，舍去)， （2）由（1）知2c a =，所以2c =，

所以ABC ?

的面积为11sin 1222S ac B ==??= 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正

弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

20.为迎接世博会，要设计如图的一张矩形广告，该广告含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60 000

，四周空白的宽度为10 cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为

5 cm ，怎样确定广告矩形栏目高与宽的尺寸（单位：cm ），能使整个矩形广告面积最

小.

【答案】高200，宽100 【解析】

【详解】设广告矩形栏目高与宽分别为a cm, 20000

b a

=

cm 整个矩形广告面积为40000(20)(330)30(2)606003060600S a b a b a a ??

=++=++=+

+ ??

?

40000

3060600120006060072600a a

≥??

=+= 当且仅当时200,100a b ==取等号

21.已知数列{}n a 满足12a =-，124n n a a +=+． （1）证明：{}4n a +是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 【答案】（1）见解析；

（2）1

242n n S n +=--．

【解析】 【分析】

（1）由题设124n n a a +=+，化简得

14

24

n n a a ++=+，即可证得数列{}4n a +为等比数列．

（2）由（1），根据等比数列的通项公式，求得24n

n a =-，利用等比数列的前n 项和公式，

即可求得数列的前n 项和．

【详解】（1）由题意，数列{}n a 满足12a =-，所以142a += 又因为124n n a a +=+，所以()142824n n n a a a ++=+=+，即14

24

n n a a ++=+，

所以{}4n a +是以2为首项，2为公比的等比数列．

（2）由（1），根据等比数列的通项公式，可得42n n a +=，即24n n a =-，

所以()()()(

)2

2

12242424222

4n

n

n n S a a a n =++?+=-+-+?+-=++?+-

(

)1

21242

2412

n n n n +-=

-=---，

即1

242n n S n +=--．

【点睛】本题主要考查了等比数列的定义，以及等比数列的通项公式及前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的定义，以及等比数列的通项公式和前n 项和的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

22.爱心超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份每天的最高气温数据，得到下面的频数分布表：

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的频率；

（2）当六月份有一天这种酸奶的进货量为450瓶时，求这一天销售这种酸奶的平均利润（单位：元）

【答案】（1）3

5

； （2）460元. 【解析】 【分析】

（1）根据表中的数据，求得最高气温位于区间[)20,25和最高气温低于20的天数，利用古典概型的概率计算公式，即可求得相应的概率；

（2）分别求出温度不低于25C 、温度在[

)20,25C ，以及温度低于20C 时的利润及相应的概率，即可求解这一天销售这种酸奶的平均利润，得到答案．

【详解】（1）根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C ）有关． 如果最高气温不低于25，需求量为500瓶， 如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶， 如果最高气温低于20，需求量为200瓶，

得到最高气温位于区间[)20,25和最高气温低于20的天数为2163654++=， 所以六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的频率543

905

p =

=． （2）当温度大于等于25C 时，需求量为500瓶，利润为：4502900?=元， 当温度在[

)20,25C 时，需求量为300瓶， 利润为：()30024503002300?--?=元， 当温度低于20C 时，需求量为200瓶， 利润为：()4004502002100--?=-元， 平均利润为

257436216

900300(100)460909090

+++?

+?+-?=元 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及概率的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用古典概型及其概率的计算公式，以及平均利润的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． —