2018-2019北京市房山区高三数学理科一模试题及答案

房山区2019年高考第一次模拟测试试卷

数学（理）

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）若集合{1,0,1,2}M =-，{|21,}N y y x x M ==+∈，则集合N M

等于

（A ）{1,1}-

（B ）{1,2}

（C ）{1,1,3,5}-

（D ）{1,0,1,2}-

（2）已知复数i 21+=z ，且复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于实轴对称，则

=2

1

z z （A ）1+i

（B ）

i 5

453+ （C ）

i 5

4-53 （D ）i 3

41+

（3）已知实数,x y 满足条件0

4010

x y x y x -≤??

+-≤??-≥?

，则y x 的最大值是

（A ） 1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （4）执行如图所示的程序框图，若输出的88S =，则判断 框内应填入的条件是

（A ）4k > （B ）5k > （C ）6k > （D ）7k >

（5）下列函数中，与函数3

y x =的单调性和奇偶性相同的函数是

（A

）y = （B ）ln y x = （C ）tan y x = （D ）x x y e e -=-

（6）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A

）（B

）（C

）（D

）

（7）“m m >3

”是“关于x 的方程sin x m =无解”的

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件

（8）如图，直线AB 与单位圆相切于点O ，射线OP 从OA 出发，绕着点O 逆时针旋转，在旋转的过程中，记(0)AOP x x π∠=<<，OP 经过的单位圆O 内区域（阴影部分）的面积为S ，记()S f x =，则下列判断正确．．

的是 （A ）当34x π=

时，31

42

S π=

- （B ）(0,)x π∈时， ()f x 为减函数 （C ）对任意(0,)2

x π

∈，都有(

)(

)2

2

f x f x π

π

π-++=

（D ）对任意(0,

)2

x π

∈，都有()()2

2

f x f x π

π

+

=+

第二部分 （非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）抛物线2

4x y =的焦点坐标为 .

（10）某班植树小组今年春天计划植树不少于100棵，若第一天植树2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数)(*

N n n ∈等于 . （11）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点2,

6π?

?

??

?

到直线l 的距离为______．

（12）已知函数()f x 同时满足以下条件：①周期为π；②值域为[0,1]；③()()0f x f x --=．试写出一个满足条件的函数解析式()f x = .

（13）四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产.某学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》（每种名著均有若干本），要求每人只借阅一本名著，每种名著均有人借阅，且甲只借阅《三国演义》，则不同的借阅方案种数为 .

（14）如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为2，且

μλ+=，则λμ+= .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

（15）（本小题13分）

在△ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2cos 0B B +=． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若b =5a c +=，求△ABC 的面积．

（16）（本小题13分）

2017年冬，北京雾霾天数明显减少．据环保局统计三个月的空气质量，达到优良的天数超过70天，重度污染的天数仅有4天．主要原因是政府对治理雾霾采取了有效措施，如：①减少机动车尾气排放；②

A B E

D

C

实施了煤改电或煤改气工程；③关停了大量的排污企业；④部分企业季节性的停产．为了解农村地区实施煤改气工程后天燃气使用情况，从某乡镇随机抽取100户，进行月均用气量调查，得到的用气量数据（单位：千立方米）均在区间(]05，内，将数据按区间列表如下：

（Ⅰ）求表中x ，m 的值，若同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计该乡镇每户月平均用气量；

（Ⅱ）从用气量在区间]4,3(和区间]5,4(的用户中任选3户，进行燃气使用的满意度调查，求这3户用气量处于不同区间的概率；

（Ⅲ）若将频率看成概率，从该乡镇中任意选出了3户，用X 表示用气量在区间(]1,3内的户数，求X 的分布列和期望．

（17）（本小题14分）

如图，四棱锥ABCD P -中，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，2=

=CD PD ，

PC =2，BC //=AD 2

1

，AD CD ⊥. （Ⅰ）求证：⊥CD 平面PAD ；

（Ⅱ）若E 为PD 中点，求CE 与面PBC 所成角的正弦值； （Ⅲ）由顶点C 沿棱锥侧面经过棱PD 到顶点A 的最短路线与PD 的

交点记为F .求该最短路线的长及FD

PF

的值.

P

A

C

D

E

（18）（本小题14分）

已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>过点()0,1-

，离心率2

e =.

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点F ()1,0作斜率为()0k k ≠的直线l ，l 与椭圆C 交于M ，N 两点，若线段MN 的垂直平分线交x 轴于点P ，求证：

||

||

MN PF 为定值．

（19）（本小题13分）

已知函数()1ln ()f x a x a x

∈R ＝－． （Ⅰ）当1a ＝-时，

（i ）求()f x 在(1,(1))f 处的切线方程；

（ii ）设()()1g x xf x =-，求函数()g x 的极值； （Ⅱ）若函数f (x )在区间2

1,e ??

+∞????

有两个的零点，求实数a 的取值范围．

（20）（本小题13分）

已知有穷数列()12:,,...,2,n B a a a n n N ≥∈数列B 中各项都是集合{}

11x x -<<的元素，则称该数列为Γ数列．对于Γ数列B ，定义如下操作过程T :B 中任取两项,p q a a

的最

后，然后删除,p q a a 这样得到一个1n -项的新数列1B (约定：一个数也视作数列)．若1B 还是Γ数列，可继续实施操作过程T ，得到的新数列记作2B ，…，如此经过k 次操作后得到的新数列记作k B .

房山区2019年高考第一次模拟测试试卷

数学（理） 参考答案

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

(9) ()01， (10)6 (11)2 (12) x y sin =或 x y cos = 或其它满足条件的结果。

(13) 60 (14) 1三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

（Ⅰ）解：由已知得 22cos cos 10B B +-=， 即 (2cos 1)(cos 1)0B B -+=．

解得 1

cos 2

B =

，或cos 1B =-． 因为 0πB <<，故舍去cos 1B =-． 所以 π

3

B =

． …………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理得 222

2cos b a c ac B =+-．

将π3

B =

，b =2

()37a c ac +-=． 因为 5a c +=，

所以 6ac =．

所以 △ABC 的面积1sin 2S ac B =

=

…………13分

解：（Ⅰ）=100-75=25x ，25

==0.25100

m 估计该村每户平均用气量为

0.514+1.525+2.555+3.54+4.52

2.05100

?????= …………4分

（Ⅱ）设A =“这3户用气量处于不同区间”，则

21124242

3

6C C +C C 164()==C 205

P A = …………7分 （Ⅲ）X 的可能取值为0，1，2，3，则

3

03411(X=0)C =

55125P ????

=? ? ???

?? 1

2

134112

(X=1)C =

55125P ??

??=? ?

???

?? 2

123

4148

(X=2)C =

55125P ??

??=? ?

????? 3

0334164

(X=3)C =

55125P ??

??=? ?

???

??

X 1124864120+1+2+3=1251251251255

EX =?

??? 或4~3,5X B ??

???

，

所以4123=55EX =? …………13分

（17）证明：证明：（Ⅰ） 由题，2

22PD PC CD =+

∴ PD ⊥CD

D AD PD D =⊥ ,A CD

P A D CD 面⊥∴ …………5分 （Ⅱ）法1：由（Ⅰ）知OB OD OB PO OD PO ⊥⊥⊥,.,

∴以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系O-xyz,如图所示

C （0,1,2）P(0,0,1), D(0,1,0) B(0,0,2) E(0,21,2

1

)

)2

1

,21,2(--=CE ,)0,1,0(),1,0,2(=-=

设面PBC 的法向量),,(z y x n =

)

2,0,1(0

,2,1x ,02{002{{=∴=====?==-???n y z y x z y z x 则令 设CE 与面PBC 所成角为θ

1515

|cos |sin =

><=∴CE θ

…………10分

（Ⅱ）法2：以点D 为坐标原点建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示 C （0,2,0）P(-1,0,1), D(0,0,0) B(0,2,1-) E(21-

,0,2

1) )2

1

2,21(，--=,)0,0,1(),12,0(=-=，

设面PBC 的法向量),,(z y x =

)

2,1,0(0

,2,1y ,02{002{{=∴=====?==-???y z y x z x z y 则令 设CE 与面PBC 所成角为θ

1515

|,cos |sin =

><=∴n CE θ

…………10分

法3：

以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz,如图所示

C （0,2,2）P(0,1,1), D(0,2,0) B(0,1,2) E(0,23,2

1

)

)2

1

,21,2(--=,)0,1,0(),1,0,2(=-=BC PB

设面PBC 的法向量),,(z y x n =

)

2,0,1(0

,2,1x ,02{002{{=∴=====?==-???y z y x z y z x 则令 设CE 与面PBC 所成角为θ

1515

|cos |sin =

><=∴CE θ

…………10分

（Ⅲ）为等腰直角三角形面PDC PD CD PD ?∴⊥∴?PAD

将侧面PCD 绕着PD 旋转，使其与侧面PAD 共面，点C 运动到C ’，连接AC ’交PD 于E ， 则AC ’为最短路线

090'=∠=∠PDC APD

为平行四边形

四边形P ADC '//'∴=∴DC AP 的中点，为C A PD '∴E

10

210

222,122==+=='=∴

PE AP AE C A ED PE

…………14分

（18）（Ⅰ）根据题意

22212b c e a a b c =??

?

==???=+?

解得：1a b ?=??=??所以椭圆C 的方程为2

212x y +=

…………… 5分 （Ⅱ）设直线l 的方程为(1)y k x =-

由22

12(1)x y y k x ?+=???=-?

得 2222(21)4220k x k x k +-+-= 由0?>得k R ∈且0

k ≠

设1122(,),(,)M x y N x y ，线段MN 中点00(,)Q x y 那么2122421k x x k +=+，212222

21

k x x k -=+

212000222,(1)22121

x x k k x y k x k k +-===-=++ 设(,0)P p ，根据题意PQ MN ⊥

所以20202

121221k

y k k x p k

p k -+==---+，得22

21k p k =+ 所以22221

||12121

k k PF k k +=-=++

||MN =

22

)

21

k k +=+

所以

||

||

MN PF = ………………… 14分 （19） (Ⅰ)解：1a ＝-，()1ln f x x x

＝－，()11f ＝，()211x x f x

-'+＝

. ()10k f ∴='＝.

故所求切线方程为：1y ＝

(Ⅱ) 解：()ln g x x x =,函数定义域为：{|0}x x >

()ln 1g x x '=+，01

x e

=

111

(0,)(,)()()x

e e e

g x g x +∞'-+极小值 故()g x 的极小值为1

e

-

，无极大值. (Ⅲ)解法1：令()1ln 0f x a x x =-=，解得：1

x x a

ln ＝（显然0a ≠） 问题等价于函数1

y a

=

与函数y x x ln ＝的图像有两个不同交点. 由(Ⅱ)可知：2212()g e e =-，11()g e e =-，21112a e

a e ?>-

????≤-??，解得：22e a e -

≤<- 故实数a 的取值范围是2,2e e ??

--????

.

(Ⅲ)解法2： ()2211a ax f x x x x

+=-

-=-，

（1） 0a =时，()211,f x x e ??

=

+∞????

在上是减函数，()f x 不能有两个零点； （2）0a >时，10ax +>，所以()210ax f x x +=-

<，

在21,e ??+∞????恒成立，所以()21,f x e ??

+∞????

在上是减函数，()f x 不能有两个零点；

（3）0a <时，令()210,ax f x x +=-

=，

1

x a

=- ()(),f x f x ，变化情况如下表：

()

()

,1110,,0x a a a f x f x ????

--

-+∞ ?

?????

-

+

极大值 （i ）211a e -

≤时，即2a e ≤-，()f x 21,e ??

+∞????在上是增函数，所以()f x 不能有两个零点； （ii ）211a e -

>时，20e a -<<()211,f x e a ??-????在上是减函数，()1,f x a ??

-+∞????

在上是增函数. ()10f =所以若()f x 21,e ??

+∞????

在有两个零点只需：

21010

f a f e ???-< ?????????≥ ????

? 即：221ln 01ln 0a a a e a e ???---< ???????-≥?? 解得22a e e a <-???≥-?? 所以22e a e -≤<-

综上可知a 的范围是2,2e e ??

--????

20.解：（Ⅰ）1B 有如下的三种可能结果：11111

115

:,;:,;:0,3223

7B B B

……………………3分 （Ⅱ）?,{|11}a b x x ∈-<<，有

(1)(1)1011a b a b ab ab +----=<++且(1)(1)

(1)0.11a b a b ab ab

+++--=>++ 所以1a b ab

++{|11}x x ∈-<<，即每次操作后新数列仍是Γ数列.

又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对Γ数列A 每操作一次，项数就减少一项，所以对n 项的Γ数列A 可进行1n -次操作（最后只剩下一项） ……………………6分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知9B 中仅有一项.

对于满足,{|11)a b x x ∈-<<的实数,a b 定义运算：1a b

a b ab

+=

+，下面证明这种运算满足交换律和结合律。 因为1a b

a

b ab

+=

+，且1b a

b a ba

+=

+，所以a b a b =，即该运算满足交换律；

因为1()1111b c

a b c a b c abc bc a b c a bc ab bc ca

a bc ++

+++++==

=+++++?+ 且1()1111a b

c

a b a b c abc ab a b c c a b ab ab bc ca c ab

+++++++===

++++++?+ 所以()()a

b c a b c =，即该运算满足结合律.

所以9B 中的项与实施的具体操作过程无关 ………………..….11分 选择如下操作过程求9B ： 由（Ⅰ）可知1152

37=； 易知5507

7-

=；11044-=；1105

5-=；11

066

-=； 所以5:

B 5

,0,0,0,06

； 易知5B 经过4次操作后剩下一项为

56

. 综上可知： 95:6

B . ....................13分