第5讲-倍长中线与截长补短
三角形9级 全等三角形的经典模型（二）
三角形8级
全等三角形的经典模型（一） 三角形7级
倍长中线与截长补短
倍长中线与截长补短
满分晋级
漫画释义
2
倍长中线 与截长补短
知识互联网
教学目标：
1 掌握倍长中线的条件，学会运用倍长中线构造全等三角形，解决实际问题。
2 掌握截长补短的条件，学会运用截长补短构造全等三角形，解决实际问题。
教学重点：
判断倍长中线与截长补短的条件，构造全等三角形
教学难点：
灵活运用倍长中线与截长补短。
教学对象：熟练掌握全等三角形的基础的同学。
教学策略:自主、合作、探究先学后教，当堂训练。
介绍:此讲义适合全等三角形基础掌握扎实的同学，让孩子们学会构造全等的同时，可以解决最后的拔高题目。大家互相学习，有不到之处，欢迎批评指正，谢谢
【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =．
1 先让同学们讨论解决此题的方法及做法。
2 让同学们展示自己的解决方案。
【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．
则CDE BDA △≌△，
∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．
【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：
已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1；
思路导航
例题精讲
题型一：倍长中线
E
A B
C
D
A
B C
D
已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．
【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 1 先让同学们讨论解决此题的方法及做法。
2 让同学们展示自己的解决方案。
【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD
∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．
【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ．
1 先让同学们讨论解决此题的方法及做法。
2 让同学们展示自己的解决方案。
【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =
∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线 根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．
【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使
BD AB =．
给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． 【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．
②、④正确．
延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中
典题精练
A
B
D
E
D
C
B
A
AE BE AEC BEF CE FE =??
∠=∠??=?
∴EBF EAC ≌△△
∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠ ∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =??
∠=∠??=?
∴FBC DBC ≌△△
∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．
③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．
⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．
N
M E
D C
B
A
E
D
C
B
A
【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，
EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．
【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，
AF EF =，求证：AC BE =．
F
C
A
E
B
D
【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG
∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，
∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，
∴BE BG =，∴AC BE =．
【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．
N
A
B
C
D
M
P
Q Q P
M
D
C
B
A
【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．
易证△PMQ ≌△NMD ， ∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM ∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS) 易证△PCN 为等腰直角三角形， 又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．
G
F
E
D
C
B
A F
E D C B
A
定 义
示例剖析
截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段
D
C
B
A
在线段AB 上截取AD AC =
补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等
A
B C D
延长AC ，使得AD AB =
【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=?，求C ∠的大小．
（希望杯培训题）
D C B A
E
D C
B A
1 先让同学们讨论解决此题的方法及做法。
2 让同学们展示自己的解决方案。
【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．
∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，
∴ACD AED △≌△， ∴C AED ∠=∠，CD DE =，
例题精讲
思路导航
题型二：截长补短
D C
B
A
E
D
C
B
A
D C
E
B
A
D
C
B
A
∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=?，80C AED ∠=∠=?
【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．
求证：AB BD AC +=．
1 先让同学们讨论解决此题的方法及做法。
2 让同学们展示自己的解决方案。
【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．
在ABD △和AED △中
AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =
∴ABD AED △≌△
∴BD ED =，B AED ∠=∠
又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC = ∴AB BD AC +=．
方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠ 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，
∴AB BD AC +=．
方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，
∴C E ∠=∠ ∴AE AC = EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠
∴AE DE =，
∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC
若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.
建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法
典题精练
【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠． 1 先让同学们讨论解决此题的方法及做法。
2 让同学们展示自己的解决方案。
【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，
在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =． ∴ABD AED △≌△． ∴AB AE =，B AED ∠=∠．
又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，
∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．
图1
E A
B C
D
图2
E
A
B C
D
方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．
∵AB CD BD =-，∴ED CD =．
在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．
【探究对象】
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：
⑴过某一点作长边的垂线；
⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短法： ⑴延长短边。
⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。
【变式一】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAF =45°，求证：EF =DE +BF ．
D
C
B
A
G
A
D B
C
E
F
F
E
C B
D
A
【解析】 延长CD 到点G ，使得DG =BF ，连接AG
由四边形ABCD 是正方形得：∠ADG =∠ABF =90°，AD =AB 又∵DG =BF
∴△ADG ≌△ABF （SAS ） ∴∠GAD =∠F AB ，∴AG =AF 由四边形ABCD 是正方形得
∠DAB =90°=∠DAF +∠F AB =∠DAF +∠GAD =∠GAF
∴∠GAE =∠GAF -∠EAF =90°-45°=45° ∴∠GAE =∠F AE =45°
又∵AG =AF ，AE =AE ∴△EAG ≌△EAF （SAS ） ∴EF =GE =GD +DE =BF +DE
【变式二】正方形ABCD 中，点E 在CD 延长线上，点F 在BC 延长线上，∠EAF =45°，
请问现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？
G
F
E
C
B D
A
A
D
B
C
E
F
【解析】 数量关系为：EF =BF -DE ．理由如下：
在BC 上截取BG ，使得BG =DF ，连接AG 由四边形ABCD 是正方形得 ∠ADE =∠ABG =90°，AD =AB 又DE =BG
∴△ADE ≌△ABG （SAS ） ∴∠EAD =∠GAB ，AE =AG 由四边形ABCD 是正方形得
∠DAB =90°
=∠DAG +∠GAB =∠DAG +∠EAD =∠GAE ∴∠GAF =∠GAE -∠EAF =90°-45°=45° ∴∠GAF =∠EAF =45° 又∵AG =AE ，AF =AF ∴△EAF ≌△GAF （SAS ） ∴EF =GF =BF -BG =BF -DE
【变式三】正方形ABCD 中，点E 在DC 延长线上，点F 在CB 延长线上，∠EAF =45°，请问
现在EF 、DE 、BF 又有什么数量关系？
F E
C B
D
A
A
D
B
C E F
G
【解析】 数量关系为：EF =DE -BF .理由如下：
在DC 上截取DG ，使得DG =BF ，连接AG 由四边形ABCD 是正方形得 ∠ADG =∠ABF =90°
，AD =AB
又∵DG =BF
∴△ADG ≌△ABF （SAS ） ∴∠GAD =∠F AB ，AG =AF 由四边形ABCD 是正方形得
∠DAB =90°
=∠DAG +∠GAB =∠BAF +∠GAB =∠GAF ∴∠GAE =∠GAF -∠EAF =90°-45°=45° ∴∠GAE =∠F AE =45° 又∵AG =AF ，AE =AE ∴△EAG ≌△EAF （SAS ） ∴EF =EG =ED -GD =DE -BF
【变式四】正三角形ABC 中，E 在AB 上，F 在AC 上∠EDF =60°，DB =DC ，∠BDC =120°，
请问现在EF 、BE 、CF 又有什么数量关系？
G
A
B
D
C E
F
F
E C
D
B
A
【解析】 数量关系为：EF =BE +FC ，理由如下
延长AC 到点G ，使得CG =BE ，连接DG 由△ABC 是正三角形得：∠ABC =∠ACB =60° 又∵DB =DC ，∠BDC =120°，∴∠DBC =∠DCB =30°
∴∠DBE =∠ABC +∠DBC =60°+30°=90°，∠ACD =∠ACB +∠DCB =60°+30°=90° ∴∠GCD =180°-∠ACD =90°
∴∠DBE =∠DCG =90°
又∵DB =DC ，BE =CG ，∴△DBE ≌△DCG （SAS ） ∴∠EDB =∠GDC ， DE =DG
又∵∠DBC =120°=∠EDB +∠EDC =∠GDC +∠EDC =∠EDG ∴∠GDF =∠EDG -∠EDF =120-60°=60° ∴∠GDF =∠EDF =60° 又∵DG =DE ，DF =DF ∴△GDF ≌△EDF （SAS ） ∴EF =GF =CG +FC =BE +FC
【变式五】正方形ABCD 中，点E 在CD 上，点F 在BC 上，∠EAD =15°，∠F AB =30°，
求△AEF 的面积．
H
G
A
D B
C
E
F
F
E
C B
D
A
【解析】 延长CD 到点G ，使得DG =BF ，连接AG ，过E 作EH ⊥AG
前面如变式一所证，
△ADG ≌△ABF ，△EAG ≌△EAF ∠GAD =∠F AB =30°，S △EAG =S △EAF 在Rt △ADG 中，∠GAD =30°，AD
∴
∠AGD =60°，AG =2
设EH =x
在Rt △EGH 中和Rt △EHA 中 ∵
∠AGD =60°，∠HAE =45°
∴HG
，AH =x AG =2=HG +AH
x +，
∴EH =x =3
S △EAG =S △EAF =1
2
EH ?AG =
【例8】 已知：正方形ABCD 中，∠MAN =45°，绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC
（或它们的延长线）于点M 、N ．
⑴如图1，当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时，有BM +DN =MN ．当∠MAN 绕点A 旋转到BM DN ≠时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
⑵当∠MAN 绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明． （2012密云一模）
【解析】 ⑴图1中的结论仍然成立，即 BM DN MN +=．
证明：如图2，在MB 的延长线上截取BE =DN ，连结AE ． 易证 ABE ADN △≌△ （SAS ）． ∴AE =AN ；∠EAB =∠NAD ．
90,45BAD NAM ∠=∠=
∴45.BAM NAD ∠+∠= ∴45.EAB BAM ∠+∠=
∴EAM NAM ∠=∠．又AM 为公共边， ∴AEM ANM △≌△． ∴ME =MN ．
∴MN ME BE BM DN BM ==+=+ 即 DN BM MN +=．
⑵猜想：线段BM 、DN 和MN 之间的等量关系为：DN BM MN -= ． 证明：如图3，在DN 延长线上截取DE =MB ，连结A E ．
易证 ABM ADE △≌△（SAS ）． ∴AM =AE ；∠MAB =∠EAD ． 易证 AMN AEN △≌△（SAS ）． ∴MN EN = ．∵DN DE EN -=， ∴DN BM MN -=．
F
E N
A
B
D C
D C B A
训练1. 已知AD 为ABC △的中线，ADB ∠、ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ．求
证：BE CF EF +>．
F
E A
B D C
【解析】 延长FD 到N ，使DN DF =，连接BN 、EN ．
易证BND CFD △≌△，∴BN CF =， 又∵ADB ∠、ADC ∠的平分线分别交AB 于E 、交AC 于F ，
∴90EDF EDN ∠=∠=?，
利用SAS 证明EDN EDF △≌△，∴EN EF =， 在EBN △中，BE BN EN +>，∴BE CF EF +>．
训练2. 如图，在正方形ABCD 中，F 是CD 的中点，E 是BC 边上的一点，
且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+ 【解析】 解一：（截长)作FH AE ⊥于点H
分别证明AFH AFD EFH EFC △≌△，△≌△， ∴AH AD HE EC ==， ∴AE AH HE CD EC =+=+
解二：（补短）延长AF BC ，交于点G
先证明ADF GCF △≌△，∴CG DA CD ==，G FAD ∠=∠， ∵DAF EAF ∠=∠，∴G EAF ∠=∠ ∴AE EG =，∴AE EC CG EC CD =+=+．
H
F
E
D
C B
A
G F
E D
C
B
A
训练3. 如图，ABC △中，AB AC =，108A ∠=?，BD 平分ABC ∠交AC 于D 点．求证：
BC AC CD =+．
思维拓展训练(选讲)
F
E D
C
B A
D
C
B
A
F
E D
C
B A
【解析】 方法一：在BC 上截取E 点使BE BA =，连结DE ．
∵BD 平分ABC ∠，∴ABD EBD ∠=∠．
在ABD △与EBD △中
∵AB EB =，ABD EBD ∠=∠，BD BD = ∴ABD EBD △≌△，∴A DEB ∠=∠
∵108A ∠=?， ∴108DEB ∠=∠?∴72DEC ∠=?． 又∵361854ADB ∠=?+?=?
∴72CDE ∠=?，∴CDE DEC ∠=∠，∴CD CE = ∵BC BE EC =+，∴BC AC CD =+
方法二：如图，延长CA 到F ，使CF CB =，连结BF ． ∵AB AC =，且108BAC ∠=?， ∴36ABC C ∠=∠=?． ∵CB CF =，∴F FBC ∠=∠．
∴FAB C ABC ∠=∠+∠．∴72FAB ∠=?．
∵1
2
ADB C ABC ∠=∠+∠，
∴54ADB ∠=?．又∵54FBD ∠=?
∴BF AB AC FD ===．∴AF CD =．∴BC AC CD =+．
训练4. 五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，
求证：AD 平分∠CDE ．
【解析】 延长DE 至F ，使得EF =BC ，连接AC 、AF .
∵∠ABC +∠AED =180°，∠AEF +∠AED =180° ∴∠ABC =∠AEF
∵AB =AE ，BC =EF ，∴△ABC ≌△AEF ∴EF =BC ，AC =AF
∵BC +DE =CD ，∴CD =DE +EF =DF ∴△ADC ≌△ADF ，∴∠ADC =∠ADF 即AD 平分∠CDE .
C E
D
B A
A
B
D
E
F
C
题型一 倍长中线 课后演练
【演练1】 在ABC △中，59AB AC ==，，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是什么？ 【解析】中线倍长，27AD <<
【演练2】 在Rt ABC △中，F 是斜边AB 的中点，D 、E 分别在边CA 、CB 上，满足
90DFE ∠=?．若3AD =，4BE =，则线段DE 的长度为_________．
F
E
D
C
B
A
图 6
G E F
D
B
C A
【解析】如图，延长DF 至点G ，使得DF FG =，联结GB 、GE ．
由AF FB =，有ADF BGF △≌△
∴3BG AD ==，ADF BGF ∠=∠，∴AD GB ∥
∴180GBE ACB ∠+∠=?，∴90GBE ∠=?,
∴5GE ． 又DF FG =，EF DG ⊥，∴5DE GE ==．
题型二 截长补短 课后演练
【演练3】 如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作
60DMN ∠=?，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?(提示：过点M 作MG BD ∥交AD 于点G )
N E B M A D
G
N
E
B M A D
【解析】 猜测DM MN =.过点M 作MG BD ∥交AD 于点G ，AG AM =，∴GD MB =
又∵120ADM DMA +∠=∠，120DMA NMB +=∠∠ ∴ADM NMB =∠∠，而120DGM MBN ==∠∠，
复习巩固
∴DGM MBN △≌△，∴DM MN =．
【演练4】 如图所示，已知ABC △中，AC BC =，90C ∠=?，AD 平
分BAC ∠，求证：AC CD AB +=． 【解析】 解法一：如图，过D 作DE AB ⊥于E ．
CD AC ⊥∵，12∠=∠， Rt Rt ACD AED ∴△≌△，
,CD DE AC AE ==∴． 又DE BE ⊥∵，45B ∠=?，
DEB ∴△为等腰直角三角形．有DE BE =，故 BE CD =．
AB AE BE AC CD =+=+∴．
解法二：如图，延长AC 到E ，使CE CD =．
90ECD ∠=?∵，45E ∠=?∴．
又12∠=∠∵，45E B ∠=∠=?，AD 公共，
ADE ADB ∴△≌△，有AE AB =．
故AB AC CE AC CD =+=+．
【演练5】 已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE . 求证：BE +DF =AE .
【解析】 延长CB 至M ，使得BM =DF ，连接AM .
∵AB =AD ，AD ⊥CD ，AB ⊥BM ，BM =DF ∴ABM ADF △≌△
∴∠AFD =∠AMB ，∠DAF =∠BAM ∵AB CD ∥
∴∠AFD =∠BAF =∠EAF +∠BAE =∠BAE +∠BAM =∠EAM ∴∠AMB =∠EAM
∴AE =EM =BE +BM =BE +DF .
2
1
D
C
B
A
E
E
A
B
C
D
1
2
F
E
D
C
B
A M
F E
D
C B
A D
C
B
A
测试1. 如图所示，已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上．DE CD =，
EF AC =．求证：EF ∥AB ． 【解析】 延长AD 到M ，使DM AD =，连结EM ，
利用SAS 证明ADC MDE △≌△， ∴3M ∠=∠，AC EM =， 又AC EF =，∴EM EF =， ∴1M ∠=∠，∴13∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴23∠=∠， ∴12∠=∠，∴EF ∥AB ．
测试2. 已知ABC △中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，
试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．
A
B C
D
E
O
4
32
1O F
E
D C
B
A
【解析】 BE CD BC +=，
理由是：在BC 上截取BF BE =，连结OF ，
利用SAS 证得BEO △≌BFO △，∴12∠=∠，
∵60A ∠=?，∴1
901202
BOC A ∠=+∠=，∴120DOE ∠=，
∴180A DOE ∠+∠=，∴180AEO ADO ∠+∠=，∴14180∠+∠=， ∵23180∠+∠=，12∠=∠，∴34∠=∠，
利用AAS 证得CDO △≌CFO △，∴CD CF =，∴BC BF CF BE CD =+=+．
课后测
F
A C
D
E
B
321
M F A C D E B
倍长中线法、截长补短法
倍长中线（线段）造全等 1. 已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求 AD 证明：延长AD到E,使DE=AD, 则△ ADC≌△ EBD ∴ BE=AC=2 在△ ABE 中,AB-BE 专题2：倍长中线法和截长补短法 例1：如图，AD 为△ABC 中BC 边上的中线（AB ＞AC ） （1）求证：AB ﹣AC ＜2AD ＜AB +AC ； （2）若AB=8cm ，AC=5cm ，求AD 的取值范围． 针对训练：1、在△ABC 中，AC=5，中线AD=7，则BC 边的取值范围是________________． 2、如图，AD 为△ABC 的中线，∠ADB 和∠ADC 的平分线分别交AB 、AC 于点E 、F ． 求证：BE +CF ＞EF ． 3．如图，点D 、E 三等分△ABC 的BC 边，求怔：AB +AC ＞AD +AE ． 例2：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 针对训练：1.已知：如图，?ABC 中，∠C=90?，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作 DE//AB B 交BC 于E ，求证：CT=BE. 2、如图，已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：（1）AC=2AE （2）∠C=∠BAE 3、已知△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向外作等腰直角三角形，求证：EF=2AD 例3、在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC=AB +BD ． 针对训练： 1、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，且AC=AB +BD ．求证：AD 是∠BAC 的平分线． D A B C M T E 课题：《全等三角形之巧添辅助线——倍长中线法》 【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线 △ ABC中，AD是BC边中线方式1 :直接倍长延长AD至U E， 例2: ABC中，AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=AC 方法1:作DE丄AB于E,作DF 丄AC于F,证明二次全等 方法2 :辅助线同上，利用面积 方法3 :倍长中线AD E 方式2 :间接倍长 作CF丄AD于F,作BE丄AD的延长线于E延长MD到 C 【经典例题】 例1 :△ ABC中，AB=5, AC=3求中线AD的取值范围. 提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边 N,使DN=MD连接CN C 例3:已知在△ ABC中，AB=AC , D在AB 上, E在AC的延长线上，DE交BC于F,且DF=EF ,求证：BD=CE 方法1 :过D作DG // AE交BC于G,证明△ DGF^A CEF 使DE=AD，连接BE 方法2:过E 作EG // AB 交BC 的延长线于 G ,证明△ EFG^A DFB 方法3:过D 作DG 丄BC 于G,过E 作EHL BC 的延长线于 H,证明A BDG^A ECH 例4:已知在△ ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ,延长BE 交AC 于F ,求证：AF=EF 例5:已知：如图，在 ABC 中，AB 求证：AE 平分 BAC 方法1倍长AE 至G ,连结DG 方法2:倍长FE 至H ，连结CH 例 6:已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线，求证：/ C=Z BAE 提示：倍长 AE 至F ,连结DF,证明A ABE^A FDE ( SAS ,进而证明A ADF ^A ADC( SAS A 提示：倍长 AD 至G ,连接BG ,证明A BDG^A CDA 三角形BEG 是等腰三角形 AC , D E 在 BC 上,且 DE=EC 过 D 作 DF // BA 交 AE 于点 F , DF=AC. 第1题图 角平分线类 1如图，在 ABC 中，.B =2. C , BAC 的平分线 AD 交BC 与D .求证: AB BD = AC . 2如图，在 ABC 中，AB B^AC , BAC 的平分线 AD 交BC 与D .求证: .B =2. C . 3 女口图，ABC 中, AB=2AC ，AD 平分 BAC ，且 AD=BD ，求证：CD!AC 4如图，在四边形ABCD 中，BC > BA,AD = CD ，BD 平分.ABC ，求证: AC =180° 5 已知 ABC 中，/A =6°， BD 、CE 分别平分 ^ABC 和三ACB ， BD 、 CE 交于点0，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明 . C C 6 如图，在 ABC 中，.B =60 , AD 、CE 分别平分.BAC 、. BCA ，且 AD 7 如图，已知在 L ABC 内，.BAC =60° , ■ C = 40° , P , Q 分别在 BC , AP ，BQ 分别是? BAC ，■ ABC 的角平分线。求证: BQ+AQ=AB+BP 8在 ABC 中，AB AC ，AD 是.BAC 的平分线.P 是AD 上任意一点.求 证：AB - AC PB -PC . 9如图，P 是ABC 的外角? EAC 的平分线AD 上的点（不与A 重合）求 证：PB PC AB AC 与CE 的交点为F .求证: FE =FD . CA 上，并且 C 10.如图，在Rt ABC中，AD是斜边BC上的高，BE是.ABC的平分线，AD 交BE 于O，EF _AD 于F，求证：AF =0D . 11.已知在ABC中，.A =90，B的平分线交AC于E，交BC边上的高AH 于D，过D作DF // BC交AC于F，求证：AE =FC . 12已知在△ABC中，AB=AC，D在AB 上, E在AC的延长线上，DE交 BC 于F，且DF=EF，求证：BD=CE 1.截长补短法证明三角形全等 例1已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证： AE=AD+BE 练习1如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 AC-AB=2BE 2.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证： 3如图，已知AD∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求 证：AD+BC=AB． P C E D B A 4在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ， MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ?≌CEB ?；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 6.如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等吗？请说明理由 例2已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 例1. 练习已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. A B C D 图1-1 A P 1 2 N 2、倍长中线法证三角形全等 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 练习 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2.已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 练习2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例3已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交 F E C A B D F E D A B C 数学倍长中线法集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08] 倍长中线法 1.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 边的中点，G 、F 分别为AD ，BC 边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF 的长 2.如图，CB 、CD 分别是钝角△AEC 和锐角△ABC 的中线，且AC=AB ．求证：①CE=2CD ．②CB 平分∠DCE ． 3.如图已知△ABC，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF ＝2AD. 4.如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 是AD 上一点，BE ＝AC ，BE 的延长线交AC 于点F ，求证：∠AEF=∠EAF 5..如图，在△ABC 中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF ∥AD 交CA 的延长线于点F ，交EF 于点G ，若BG=CF ，求证：AD 为△ABC 的角平分线. 6..如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE. 7.：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 10.已知：如图，ABC 中，C=90，CMAB 于M ，AT 平分BAC 交CM 于D ，交 BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 12. 13.四边形ABCD 是矩形，将ABE 沿着直线AE 翻折，点A 落在点F 处，直线AF 与直线CD 交于点G, 如图1，若E 为BC 的中点，请探究线段AB 、AG 、DG 之间的关系 F E C A B D E A B C 手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形： 例1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD ?，连结AE与CD，?与BCE 证明 （1）DBC ? ? ABE? (2)AE与DC之间的夹角为? 60 (3)BH平分AHC ∠ 变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?，连结 ?与BCE AE与CD， 证明（1）DBC ? ABE? ? （2）AE与DC之间的夹角为? 60 （3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? (2）AE 与DC 之间的夹角为?60 (3）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立 （2）AG 是否与CE 相等 （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度 （4）HD 是否平分AHE ∠ 例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中 BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 全等三角形的类型题 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的 “旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”， 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线 段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 倍长中线法 1.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD 2、已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证： 1 2 CD AB 3、已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC 4、已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC A D B C D A B C B A C D F 2 1 E 截长补短法 1、已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 2、如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 3、如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 4、已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 边加减的问题 1、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ．求证：△ABE ≌△CDF ． 2、如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。求证：△AED ≌△BFC 。 C D B F A E D C B A F E D C P E D C B A 倍长中线法 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。 【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线 △ABC中 方式1：延长AD到 E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接BE 连接CN 经典例题讲解： 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例2：已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 过D 作DG//AC 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ B A B F D E C 例5：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测： 1、如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE. 2、在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论. A B F E A B C D C B A 角平分线类 1如图，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证： AB BD AC +=． D C B A 2如图，在ABC ?中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证： 2B C ∠=∠． D C B A 3如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 4如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A 5已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、 CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． C D B A 2 P Q C B A O E D C B A 6如图，在ABC ?中，60B ∠=?，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =． F B E D C A 7如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 8在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求 证：AB AC PB PC ->-． C D B P A 9如图，P 是ABC ?的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+ P E D C B A 10.如图，在Rt ABC ?中，AD 是斜边BC 上的高，BE 是ABC ∠的平分线，AD 交BE 于O ，EF AD ⊥于F ，求证：AF OD =． B A Q F E D C O 21 11.已知在ABC ?中，90A ∠=?，B ∠的平分线交AC 于E ，交BC 边上的高AH 于D ，过D 作DF BC ∥交AC 于F ，求证：AE FC =． H F D C B A E 12已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE F E C A B D 一、手拉手模型 要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的 顶点为公共顶点 结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA 平分∠BOC 变形： 例 1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ，证明 （1）DBC ABE ??? (2)DC AE = (3)AE 与DC 之间的夹角为? 60 (4)DFB AGB ??? (5)CFB EGB ??? (6)BH 平分AHC ∠ (7)AC GF // 变式精练1：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与 CD ， 证明（1）DBC ABE ??? （2）DC AE = （3）AE 与DC 之间的夹角为? 60 （4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 变式精练2：如图两个等边三角形ABD ?与BCE ?，连结AE 与CD ， 证明（1）DBC ABE ??? (2）DC AE = (3）AE 与DC 之间的夹角为?60 (4）AE 与DC 的交点设为H ,BH 平分AHC ∠ 例2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结 CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？ 例3：如图两个等腰直角三角形ADC 与EDG ，连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ???是否成立？ （2）AG 是否与CE 相等？ （3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？ （4）HD 是否平分AHE ∠？ 例4：两个等腰三角形ABD ?与BCE ?，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ， 问：（1）DBC ABE ???是否成立？ （2）AE 是否与CD 相等？ （3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？ （4）HB 是否平分AHC ∠？ 二、倍长与中点有关的线段 倍长中线类 ?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 【例1】 已知：ABC ?中，AM 是中线．求证：1 ()2 AM AB AC <+． 几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，求证：AD ﹤2 1 (AB+AC) 分析：要证明AD ﹤ 2 1 (AB+AC)，就是证明AB+AC>2AD ，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论AB+AC>2AD 中，出现了2AD ，即中线AD 应该加倍。 证明：延长AD 至E ，使DE=AD ，连CE ，则AE=2AD 。 在△ADB 和△EDC 中， ???? ? AD =DE ∠ADB =∠EDC BD =DC ∴△ADB ≌△EDC(SAS) ∴AB=CE 又 在△ACE 中， AC+CE ＞AE ∴AC+AB ＞2AD ，即AD ﹤ 2 1 (AB+AC) 小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 课题练习:ABC ?中，AD 是BAC ∠的平分线，且BD=CD ，求证AB=AC C 例2:中线一倍辅助线作法 △ABC中 方式1：延长AD到 E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 作CF⊥AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于使DN=MD， 连接BE 连接CD 例3：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例4：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 课堂练习：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于例5：已知：如图，在ABC ?中，AC AB≠， D、E在BC上，且DE=EC，过D作BA DF//交AE于点F， DF=AC. 求证：AE平分BAC ∠ 第 1 题图 全等三角形的构造方法---常用辅助线 搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． (一)倍长中线法: 题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 例1．如图（1）AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且AE=EF ． 求证：AC=BF 证明：延长AD 至H 使DH=AD ，连BH ，∵BD=CD ， ∠BDH=∠ADC ，DH=DA ， ∴△BDH ≌△CDA ，∴BH=CA ，∠H=∠DAC ，又∵AE=EF ， ∴∠DAC=∠AFE ，∵∠AFE=∠BFD ，∴∠AFE= 图（1） ∠BFD=∠DAC=∠H ，∴BF=BH ，∴AC=BF ． 小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即倍长中线法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角∠BAD 和∠CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 中线一倍辅助线作法 △ABC 中 延长AD 到E ， AD 是BC 边中线 使DE=AD ， 连接BE 作CF ⊥AD 于F ，延长MD 到N ， 作BE ⊥AD 使DN=MD ， 连接BE 连接CD ，AC=3，求中线中，AB=AC ，D 在交BC 于F ，且课堂练习：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4、已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 课堂练习：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 作业： 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线 E A B C D F H 倍长中线巧解题 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线?所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法?丁面举例说明. 一、证明线段不等 例1如图1,在△/!腮中，力〃为腮边上的中线.求证：AB^AO2AD 变式1：如图，点D、E三等分AABC的BC边，求证：AB^AOAD-AE 二、证明线段相等 例2如图2,在中，AH>AC9 E为必边的中点，?仏为ABAC的平分线，过E作月〃的平行线，交AB于F、交以的延长线于G.求证：BWCG. 图2 变式2：如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C,分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等腰直角三角形ACE与BCF,连结DE. DF、EF,求证：ADEF为等腫直角三角形 三、求线段的长 例3如图3, △/应中，ZJ=90° , 〃为斜边必的中点，E、F分别为化上的点，且DE1DF,若BES CF4,试求胪的长.（超前班选作） 四、证明线段倍分 例4 如图4, CB、C9分别是钝角△胚C和锐角的中线，且AOAB.求证：CB2CD. 图4 五、证明两直线垂直 例5：如图，ZXABC 中，D 为BC 中点，AB二5, AD二6, AC二13。求证：AB丄AD。 变式：如图5,分别以的边初，胚为一边在三角形外作正方形丽胪和ACGH, H为刖的中点.求证:MA丄BC. “截长补短法”在几何证明问题中的运用 例1?已知，如图1T,在四边形/仿09中，BQAB、AD-DC.劭平分ZABC. 求证：Z创仍Z〃O180°? 例2?如图2-1, AD//BC.点￡在线段/矽上，ZADE二乙CDE、乙DC氐乙ECB. 求证：CD-AD^BC. 例3. 已知，如图3-1, Z1 = Z2, P为鈕'上一点，且PDLBC于点2检BO2BD. 求证：ZBA丹ZBCPX80。. 例4. 已知：如图4-1,在△川％中，乙C=2乙B、Z1 = Z2. 求证：AB-A&CD. 练习： 1、已知，如右图：RtAABC 中，ZC=90° , AC=BC, AD 平分ZBAC.求证:AC+ CD =AB 图1」 图2 倍长中线法(经典例 题)2 倍长中线法（加倍法） 知识网络详解： 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线． 所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 倍长中线法的过程：延长某某到某点，使某某等于某某，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角） 倍长中线最重要的一点，延长中线一倍，完成SAS全等三角形模型的构造。经典例题讲解： 例1：△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD 例2：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF， 求证：BD=CE 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长 BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例4：如图，AD 为ABC ?的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 第 14 题图 D F C B E A B 例5：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 自检自测： 1 、如图，△ABC 中，BD=DC=AC,E 是DC 的中点，求证，AD 平分∠BAE 。 2、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论. E D A B C F E A B C D 全等之倍长中线和截长补短 定 义 示例剖析 倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍． 其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角． E D A B C 其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△． 【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 知识互联网 思路导航 例题精讲 题型一：倍长中线 A B C D 【例2】 ⑴如下左图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ， 使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． ⑵如下右图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ． 【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =． 【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系． A B P Q P M D C B A 典题精练 E D C B A F E D C B A M E D B E D C B A 定 义 示例剖析 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 D C B A 在线段AB 上截取AD AC = 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 A B C D 延长AC ，使得AD AB = 【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=?，求C ∠的大 小． D C B A 【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ． 思路导航 例题精讲 典题精练 题型二：截长补短 几何证明中常用辅助线 (一)中线倍长法: 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 已知：如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD ﹤ 2 1 (AB+ AC) 小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角∠BAD和∠CAD集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。 例2、中线一倍辅助线作法 △ABC中 方式1：延长AD到E，AD是BC边中线 使DE=AD， 连接BE 方式2：间接倍长 AD于F，延长MD到N， 作BE⊥AD的延长线于E 使DN=MD， 连接BE 连接CD 例3、△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围 例4、已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交 BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE 课堂练习：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线， 求证：∠C=∠BAE C 作业： 1、在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 2、已知：如图，?ABC 中，∠C=90?，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. 3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于 F ，求证：AF=EF （二）截长补短法 教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例. 例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°. 分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现. 证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2 ∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ， 在Rt △ADE 与Rt △CDF 中， ? ? ?==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF . 又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°， 即∠BAD +∠BCD =180°. 例2. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB . D A B C M T E A B C D 图1-1 F E D C B A 图 1-2 1 / 2 1、截长补短法证明三角形全等 例1已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 练习1如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 2.已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE 3如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ， CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 4在△ABC 中，?=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证： ①ADC ?≌CEB ?；② BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由. 6.如图,已知AC ∥BD ，EA 、EB 分别平分∠CAB 和∠DBA ，CD 过点E ，则AB 与AC+BD 相等 吗？请说明理由 例2已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC . 求证：∠BAD +∠BCD =180°. 例1. 练习已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD . 求证：∠BAP +∠BCP =180°. 2、倍长中线法证三角形全等 例1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。 练习 1：△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围 例2.已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE 练习2已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 例3已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. P E D C B A F E C A B D F E D A B C 第 1 题图 A B F A B C D 图1-1 A B C D P 1 2 N 图3-1 倍长中线法 1. 如图，在正方形ABCD中，E为AB边的中点，G、F分别为AD，BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，求GF的长 | 2.如图，CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：①CE=2CD．②CB平分∠DCE． 、 3.如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF＝2AD. 4.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC 于点F，求证：∠AEF=∠EAF ？ 5..如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为△ABC的角平分线. ) 6..如图，△ABC中，BD=DC=AC,E是DC的中点，求证，AD平分∠BAE. 7.：已知在△ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延长线上，DE交BC于F，且DF=EF，求证：BD=CE … ￥ 、 9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论 ' 10.已知：如图， ABC 中， C=90 ，CM AB 于M ，AT 平分 BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE. E A B C D A B M 第 1 题图 A B F D E C ! ： ^ 12. { G C A D E 完美WORD 格式 专业 知识分享 D C B A 角平分线类 1如图，在ABC ?中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证： AB BD AC +=． D C B A 2如图，在ABC ?中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证： 2B C ∠=∠． D C B A 3如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 4如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C A 5已知ABC ?中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、 CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明． C D B A 2 P Q C B A O E D C B A 6如图，在ABC ?中，60B ∠=?，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD 与CE 的交点为F ．求证：FE FD =． F B E D C A 7如图，已知在ABC 内，0 60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 8在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求 证：AB AC PB PC ->-． C D B P A 9如图，P 是ABC ?的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+ 精锐教育学科教师辅导讲义 年 级：初二 科 目：数学 课时数：3 课 题 几何证明 教学目的 能够灵活运用本节课复习的两种解题方法更好的解决证明题. 教学内容 【例题讲解】 题型一：截长补短法 【例1】已知：如图，在△ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，AD 是BAC ∠的平分线.求证：AB BD AC +=.（根据图中添加的辅助线用两种方法证明） 【提示】截长补短，2种方法‘ 方法一： 方法二： 【例2】已知：如图，在△ABC 中，2AB BC =，∠B =60°.求证：∠ACB =90°. 【提示】截长补短（两种方法） 方法一： 方法二： 【方法总结】当已知（或求证）“一条线段的长度是另一条线段长度的n 倍”或“一条线段的长度等于两条线段长度的和”时，通常用截长补短法. 题型二：倍长中线法 【例3】已知三角形的两边长分别为7和9，求第三边上中线长的取值范围. 【提示】倍长中线 【方法总结】当已知“三角形一边中线”通常运用“倍长中线法“解决问题（注：有时倍长的并不一定是中线）.可以倍长过中点的任意一条线段. 【借题发挥】 1． 已知：如图，DA ⊥AC ，FC ⊥AC ，ADB BDF ∠=∠，CFB DFB ∠=∠.求证：DF AD CF =+. 【提示】截长补短，2种方法 方法一： 方法二： 2．已知：如图，在正方形ABCD中，M是BC的中点，点P在DC边上，且AP AB CP =+.求证：2 BAP BAM ∠=∠. A D C B M P 【提示】截长补短，2种方法 方法一： 方法二： =.求证：AC=BF. 3．已知：如图，AD为△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF 【提示】倍长中线法，2种方法 方法一： 方法二： +=. 4．已知：如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，作DH⊥BC于点H.求证：DC CH BH 【提示】截长补短法，两种方法人教版初中数学全等三角形倍长中线法和截长补短法
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