《函数及其表示》导学案及答案

《函数及其表示》导学案

一、学习目标

1.了解函数的概念，构成函数的要素，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；

2.了解简单的分段函数，并能简单应用；

3.了解简单的复合函数，并能简单应用。

二、知识梳理

（一）函数的概念

1．函数与映射的概念

注意：判断函数图象的常用结论：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点。

2.函数的三要素

（1）函数由、和三个要素构成。

（2）对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做，与x的值对应的y值叫做，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做，显然，值域是集合B的子集。

3.相等函数

如果两个函数的和完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据。

（二）函数的表示法

表示函数的常用方法：、、。

1. ：就是把变量x,y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值。

2. ：就是将变量x,y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系。

3. ：就是把x，y之间的关系绘制成图像，图像上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值。

（三）分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的，这样的函数通常叫做分段函数。

说明：分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，从而选取相应的对应关系；画分段函数图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。当自变量不确定时，需分类讨论。

（四）复合函数

如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t=g（x）的定义域为D，值域为C，则当A

C?时，称函数))

f

y=

g

(x

(

为f(t)与g（x）在D上的，其中t叫做中间变量，t=g（x）叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数。三、典例分析

【题型一】函数的基本概念

【例1】若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是()

【变式训练1】对于集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则由下列图形给出的对应f中，能构成从A到B的函数的是()

【题型二】相等函数的判断

【例2】下列四组函数中，表示同一函数的是( )

A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2

B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x

C ．f (x )＝x 2－1

x －1

，g (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1

【变式训练2】下列各组函数中，两个函数是同一函数的组数有（ ） ①||

()x f x x =

与1,0()1,0

x g x x >?=?

-

②2

46y x x =-+与2

(2)2y t =-+

③()2f x x =-，()21

31

x g x x -=--

④()f x x =，()2

g x =

⑤()1f t t =-，()1,1

1,1x x g x x x -≥?=?

-+

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【题型三】函数的表示方法

【例3】已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2

,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)].

【变式训练3】设f ，g 都是从A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：

则f (g (3))等于( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．不存在

【题型四】分段函数

角度一：分段函数求值

【例4-1】 （1）已知函数f (x )＝?????

log 12x ，x >0，

3x ，x ≤0，

)则f (f (4))的值为( )

A ．－19

B ．－9 C.1

9 D ．9

(2)已知

??

??

?=+∞∈??? ??-∈)

,0[,0,2,sin 21

)(x x x x x f π若f (a )＝1

2

，则a ＝________。

【变式训练4-1】（1）设函数f (x )＝?

????

3x －b ，x <1，

2x ，x ≥1。若

465=???

?

????? ??f f ，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34 D.1

2

（2）设函数f (x )＝???

x ，x ∈(－∞，a )，

x 2，x ∈[

)a ，＋∞。若f (2)＝4，则a 的取值范围为________。

角度二：分段函数图象与性质的应用

【例4-2】对任意实数a ，b 定义运算“?”：a ?

b ＝?

????

b ，a －b ≥1，

a ，a －

b <1。)设f (x )＝(x 2－1)?

(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的

图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )

A ．(－2,1)

B ．[0,1]

C ．[－2,0)

D ．[－2,1)

反思归纳 1.对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内。

2．由分段函数的函数值相同求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数

【变式训练4-2】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝?

????

x ，x ∈[0，1)，

－x 2＋2x ，x ∈[1，2]，则

函数y ＝f (x )在[2,4]上的大致图象是( )

【题型五】复合函数

【例5】指出下列函数的复合过程。

（1）y=2-x 2 (2)y=sin3x (3)y=3cos 2

x -1

【变式训练5】①已知 ,1)(2

+=x x f 求)1(-x f ；

②已知 1)1()1(2++=-x x f ，求)(x f ．

四、课堂小结

五、课后作业

每日一练

《函数及其表示》学案答案

六、学习目标

1.了解函数的概念，构成函数的要素，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；

2.了解简单的分段函数，并能简单应用；

3.了解简单的复合函数，并能简单应用。

七、知识梳理

（一）函数的概念

1．函数与映射的概念

注意：判断函数图象的常用结论：与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点。

2.函数的三要素

（1）函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成。

（2）对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域，显然，值域是集合B的子集。

3.相等函数

如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据。

（二）函数的表示法

表示函数的常用方法：解析法、列表法、图象法。

1.解析法：就是把变量x,y之间的关系用一个关系式y＝f(x)来表示，通过关系式可以由x的值求出y的值。

2.列表法：就是将变量x,y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系。

3.图像法：就是把x，y之间的关系绘制成图像，图像上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值。

（三）分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数。

说明：分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数。处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，从而选取相应的对应关系；画分段函数图像时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出。当自变量不确定时，需分类讨论。

（四）复合函数

如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t=g（x）的定义域为D，值域为C，则当A

C?时，称函数))

f

y=

(x

(

g

八、典例分析

【题型一】函数的基本概念

【例1】若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )

【解析】 A 中函数定义域不是[－2,2]，C 中图象不表示函数，D 中函数值域不是[0,2]。故选B 。 【答案】 B

【变式训练1】对于集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤3}，则由下列图形给出的对应f 中，能构成从A 到B 的函数的是( )

解析 对于B ，C 两图可以找到一个x 与两个y 对应的情形，对于A 图，当x ＝2时，在B 中找不到与之对应的元素。故选D 。

答案 D

【题型二】相等函数的判断

【例2】下列四组函数中，表示同一函数的是( )

A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2

B ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x

C ．f (x )＝x 2－1

x －1

，g (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1

【解析】 A 中，g (x )＝x 2＝|x |，两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；B 中，两个函数的定义域

不同，故不表示同一函数；C 中，f (x )＝x 2－1

x －1＝x ＋1(x ≠1)与g (x )＝x ＋1两个函数的定义域不同，故不表示同一函数；

D 中，f (x )的定义域为[1，＋∞)，g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以不是同一函数。故选A 。

【答案】 A

【变式训练2】下列各组函数中，两个函数是同一函数的组数有（ ）

①||

()x f x x =与1,0()1,0x g x x >?=?

-

②2

46y x x =-+与2

(2)2y t =-+

③()2f x x =-，()21

31

x g x x -=--

④()f x x =，()2

g x =

⑤()1f t t =-，()1,1

1,1

x x g x x x -≥?=?

-+

B. 1个 B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】 C

【题型三】函数的表示方法

【例3】已知函数)(x f =4x+3，g(x)=x 2

,求f[f(x)]，f[g(x)]，g[f(x)]，g[g(x)]. 【解析】f [f (x)]=4f (x)+3=4(4x+3)+3=16x+15；f [g (x)]=4g (x)+3=4x 2

+3；

g [f (x)]=[f (x)]2

=(4x+3)2

=16x 2

+24x+9；g [g (x)]=[g (x)]2

=(x 2

)2

=x 4

.

【变式训练3】设f ，g 都是从A 到A 的映射(其中A ＝{1,2,3})，其对应关系如下表：

则f (g (3))等于( ) A ．1 B ．2 C ．3

D ．不存在

解析 由表格可知g (3)＝1，∴f (g (3))＝f (1)＝3。故选C 。 答案 C

【题型四】分段函数

角度一：分段函数求值

【例4-1】 （1）已知函数f (x )＝?????

log 12x ，x >0，

3x ，x ≤0，

)则f (f (4))的值为( )

B ．－19 B ．－9 C.1

9 D ．9

(2)已知

??

??

?=+∞∈??? ??-∈)

,0[,0,2,sin 21

)(x x x x x f π若f (a )＝1

2

，则a ＝________。

【解析】 (1)f (4)＝log 124＝log 12????12－2＝－2，所以f (f (4))＝f (－2)＝3－2

＝19

。故选C 。

(2)若a ≥0，由f (a )＝12得，21

a ＝12，解得a ＝14；若a <0，则|sin a |＝1

2

，

a ∈????－π2，0，解得a ＝－π6。综上可知，a ＝14或－π

6。 【答案】 (1)C (2)14或－π

6

【变式训练4-1】（1）设函数f (x )＝?

????

3x －b ，x <1，

2x ，x ≥1。若

465=???

?

????? ??f f ，则b ＝( ) A ．1 B.78 C.34 D.1

2

（2）设函数f (x )＝???

x ，x ∈(－∞，a )，

x 2，x ∈[)a ，＋∞。

若f (2)＝4，则a 的取值范围为________。

解析（1） f ????56＝3×56－b ＝5

2－b ， 当52－b ≥1，即b ≤3

2时，f ????52－b ＝252－b ， 即252－b ＝4＝22，得到52－b ＝2，即b ＝12

；

当52－b <1，即b >32时，f ????52－b ＝152－3b －b ＝15

2－4b ， 即

152－4b ＝4，得到b ＝78<3

2

，舍去。 综上，b ＝1

2。故选D 。

【解析】（2） 因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2]。 【答案】 (－∞，2]

角度二：分段函数图象与性质的应用

【例4-2】对任意实数a ，b 定义运算“?”：a ?

b ＝?

????

b ，a －b ≥1，a ，a －b <1。)设f (x )＝(x 2－1)?

(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的

图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )

A ．(－2,1)

B ．[0,1]

C ．[－2,0)

D ．[－2,1)

【解析】 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3。

所以f (x )＝?

????

x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，

x 2－1，x ∈(－2，3)。)其图象如图实线所示，由图可知，当－1<－k ≤2，y ＝f (x )与

y ＝k 恰有三个交点，即当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点。故选D 。

【答案】 D

反思归纳 1.对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内。

2．由分段函数的函数值相同求自变量或参数的范围问题，一般画出分段函数的图象，观察在相应区间上函数图象与相应直线相交的交点横坐标的范围，列出函数满足的不等式，从而解出参数范围。

【变式训练4-2】已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝2f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝?

????

x ，x ∈[0，1)，

－x 2＋2x ，x ∈[1，2]，则

函数y ＝f (x )在[2,4]上的大致图象是( )

又x ∈[0,2]时，f (x )＝?

????

x ，x ∈[0，1)，

－x 2＋2x ，x ∈[1，2]，

所以x ∈[2,4]时，f (x )＝2f (x －2)＝????? 2(x －2)，x ∈[2，3)，－2(x －2)2＋4(x －2)，x ∈[3，4]＝?????

2(x －2)，x ∈[2，3)，

－2(x －3)2＋2，x ∈[3，4]，

结合选项知A 选项正确． 方法二：因为f (x ＋2)＝2f (x )， 所以f (x )＝2f (x －2)，

所以当x ∈[2,4]时f (x )的图象可看作由f (x )＝?

????

x ，x ∈[0，1)

－x 2＋2x ，x ∈[1，2]的图象沿x 轴方向向右平移两个单位，再把

图象上各点的横坐标不变、纵坐标伸长到原来的2倍得到．

【答案】A

【题型五】复合函数

【例5】指出下列函数的复合过程。

（1）y=

2-x 2 (2)y=sin3x (3)y=3cos

2x -1

解：(１) y=√2-x 2是由y=√u,u=2-x 2复合而成的。 （2）y=sin3x 是由y=sinu,u=3x 复合而成的。

（3）y=3cos√1+x 2是由y=3cosu,u=√r,r=1-x 2复合而成的。

【变式训练5】①已知 ,1)(2

+=x x f 求)1(-x f ；

②已知 1)1()1(2++=-x x f ，求)(x f ．

解：①)1(-x f =222

+-x x

②)(x f =542+-x x

九、课堂小结

十、课后作业

每日一练