不等式解题方法
不等式解题方法
一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用
不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.
倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1
b
等价。
此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1
x
)>1.
分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1
x 同
号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0 x <1, ∵0 ∴ 1-a>0, 1x >0, 从而1-a, 1x 同号，由倒数法则，得1 1-a ; 综上所述，当a>1时,x ∈(11-a ,+∞)；当0 1-a ). 注：有关不等式性质的试题，常以选择题居多，通常采用特例法,排除法比较有效。 二、小小等号也有大作为——绝对值不等式的应用 绝对值不等式：||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|。这里a,b 既可以表示向量，也可以表示实数。 当a,b 表示向量时，不等式等号成立的条件是：向量a 与b 共线； 当a,b 表示实数时，有两种情形：（1）当ab ≥0时，|a+b|=|a|+|b|, |a-b|=||a|-|b||;(2)当ab ≤0时，|a+b|=||a|-|b||, |a-b|=|a|+|b|.简单地说就是当a,b 同号或异号时，不等式就可转化为等式（部分地转化），这为解决有关问题提供了十分有效的解题工具。如： 若1<1a <1 b ,则下列结论中不正确的是（ ） A 、log a b>log b a B 、| log a b+log b a|>2 C 、(log b a)2 <1 D 、|log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 分析：由已知，得0 注：绝对值不等式是一个十分重要的不等式，其本身的应用价值很广泛，但在高考或其他试题中常设计成在等号成立时的特殊情况下的讨论，因此利用等号成立的条件（a,b 同号或异号）是解决这一类问题的一个巧解。 三、“抓两头 看中间”，巧解“双或不等式”——不等式的解法 （1）解不等式（组）的本质就是对不等式（组）作同解变形、等价变换。 （2）多个不等式组成的不等式组解集的合成——先同向再异向 不等式组的解法最关键的是最后对几个不等式交集的确定。常用画数轴的方法来确定,但毕竟要画数轴.能否不画数轴直接就可得出解集呢?下面的方法就十分有效。可以“先同向再异向”的原则来确定，即先将同向不等式“合并”（求交集），此时“小于小的，大于大的”；最后余下的两个异向不等式，要么为空集，要么为两者之间。 如解不等式组:?????x<1 ① x<3 ② x>-3 ③x>0 ④-1 , 先由③④(同>)得x>0(大于大的);再由①②(同<)得x<1(小于小的);再将x>0与x<1分别与⑤作交集,由x>0与⑤得0 （3）双或不等式组的解集合成 形如???f 1(x)b f 2(x) g 2(x)>d 的不等式组称为“双或”型不等式组（实际上包括多个“或”型不 等式组成的不等式组也在此列），这是解不等式组中的一个难点。解决这类不等式组时常借用数轴来确定，但学生在求解时总会出现一些错误。这里介绍一种不通过数轴的直接方法：“抓 两头 看中间”！如：???xb x ,先比较a,b,c,d 四个数的大小，如a 有xd （即抓两头）；再看x>b 与x 四、巧用均值不等式的变形式解证不等式 均值不等式是指：a 2 +b 2 ≥2ab(a,b ∈R) ①；a+b ≥2ab( a,b ∈R +) ②. 均值不等式是高考的重点考查内容，但其基本公式只有两个，在实际解题时不是很方便。若能对均值不等式进行适当变形，那么在解题时就能达到事半功倍的效果。下面的一些变形式在解题时就很有用，不妨一试。当然你也可以根据需要推导一些公式。如： (1) a 2 ≥2ab-b 2 ③; 是将含一个变量的式子，通过缩小变为含两个变量的式子，体现增元之功效，当然 反过来即是减元； (2) a 2b ≥2a-b ④; (a,b>0) 是将分式化为整式，体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解: 求证：（1）a 2 +b 2 +c 2 ≥ab+bc+ac;(2) a 2 b +b 2 c +c 2 a ≥a+b+c. (a,b,c>0) （析：（1）由a 2 ≥2ab-b 2 得b 2 ≥2bc-c 2 ,c 2 ≥2ac-a 2 ,三式相加整理即得；（2）∵a 2 b ≥2a-b ∴同样可得另两式，再将三式相加整理即得）。 (3)ab ≤(a+b 2 )2 ⑤; 利用不等关系实现两数和与两数积的互化； (4) a 2 +b 2 2≥ a+b 2 ≥ab ⑥;(a,b>0) 利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化； 注：涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题，利用⑤、 ⑥两式可以使其中的关系一目了然。从解题分析上看，对解题有很好的导向作用。 (5)若a,b ∈R +，则x 2 a +y 2 b ≥(x+y)2 a+b ⑦(当且仅当x a =y b 时取等号); 此式在解题中的主要作用表现在：从左向右看是“通分”（不是真正的通分）或“合并”，化多项为一项，项数多了总不是好事；从右向左看，是“分解”或“拆项”，实现“一分为二”的变形策略。这在解不等式相关问题中就很有作为！请看下例： 例：已知-1 1-ab . 分析：由上不等式，立即得到 11-a 2+11-b 2≥(1+1)2 2-a 2-b 2≥ 42-2ab =2 1-ab 。 ⑦式还可推广到三个或更多字母的情形，即x 2 a +y 2 b +z 2 c ≥(x+y+z) 2 a+b+c (a,b,c>0); b 12 a 1+ b 22 a 2+…+ b n 2 a n ≥( b 1+b 2+…+b n ) 2 a 1+a 2+…+a n (a 1,a 2,…,a n >0) (6) ax+by ≤a 2 +b 2 x 2+y 2 .(柯西不等式) 此不等式将和(差)式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可以很方便地解决许多问题.如下例: 例: 使关于x 的不等式x-3+6-x ≥k 有解的实数k 的取值范围是【 】 A 6- 3 B 3 C 6+ 3 D 6 分析:所求k 的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯西不等式得 x-3+6-x ≤2(x-3)2 +(6-x)2 =23= 6.∴k ≤6,∴k 的最大值是 6.填D. 五、不等式中解题方法的类比应用 1、三种基本方法：比较法、分析法、综合法。其中比较法可分为作差比较法和作商比较法，不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛的应用，同时在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一种重要的思维方法，在数学的其他章节中也有广泛的应用。 2、放缩法：是不等式证明中一种十分常用的方法，它所涉及的理论简单，思维简单，应用灵活，因而在解题时有着十分重要的应用。如果能灵活应用放缩法，就可以达到以简驭繁的效果。 活题巧解 例1若1<1a <1 b ,则下列结论中不正确．．．的是【 】 A log a b>log b a B | log a b+log b a |>2 C (log b a)2 <1 D |log a b|+|log b a|>|log a b+log b a| 【巧解】特例法、排除法 由已知，可令a=12，b=1 3，则log a b=log 23>1,0 两边相等，故选D 。 [答案] D 。 例2 不等式组???|x-2|<2 log 2(x 2 -1)>1 的解集为【 】 (A) (0,3)； (B) (3,2)； (C) (3,4)； (D) (2,4)。 【巧解】 排除法 令x=3,符合，舍A 、B ；令x=2,合题，舍D ，选C 。 [答案] C 。 例3 已知y=f(x)是定义在R 上的单调函数，实数x 1≠x 2，λ≠-1α=x 1+λx 21+λ,β=x 2+λx 1 1+λ， 若|f(x 1)-f(x 2)|<|f(α)-f(β)|，则【 】 A ．λ<0 B ．λ=0 C. 0<λ<1 D ．λ≥1 【巧解】 等价转化法 显然λ≠0,β=x 2+λx 1 1+λ=x 1+ 1 λx 21+1 λ , ∴ α、β分别是以x 1,x 2为横坐标的点所确定的线段以 λ和1 λ为定比的两个分点的横坐标.由题意知，分点应在线段两端的延长线上，所以λ<0,故 选A 。 【答案】A 。 例4 0 （A ）|log (1+a)(1-a) |+| log (1-a)(1+a)|>2 （B ）| log (1+a)(1-a)|<| log (1-a)(1+a) | （C ）| log (1+a)(1-a)+log (1-a)(1+a)|<| log (1+a)(1-a)|+|log (1-a)(1+a)| （D ）| log (1+a)(1-a)-log (1-a)(1+a)|>| log (1+a)(1-a)|-|log (1-a)(1+a)| 【巧解】换元法、综合法 由于四个选项中只涉及两个式子log (1+a)(1-a) 和log (1-a)(1+a)，为了简化运算看清问题的本质，不妨设x= log (1+a)(1-a),y= log (1-a)(1+a),由0 [答案] A 。 例5已知实数 a ，b 满足等式(12)a =(13)b ，下列五个关系式：①0 （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 【巧解】数形结合法 在同一坐标系内同时画出两个函数图象：y 1=(12)x ,y 2=(13)x ,(如图)作直线y=m(m>0图中平 行于x 轴的三条虚线),由图象可以看到：当0 [答案] B 。 例6 如果数列｛a n ｝是各项都大于0的等差数列，且公差d ≠0，则【 】. （A ）a 1+a 8a 4+a 5 （D ）a 1a 8=a 4a 5 【巧解】特例法、排除法 取a n =n,则a 1=1, a 4=4, a 5=5, a 8=8,∴a 1 +a 8=a 4+a 5,故选B 。 [答案] B 。 例7 条件甲：x 2 +y 2 ≤4,条件乙：x 2 +y 2 ≤2x,那么甲是乙的【 】 a b 1 O y x (1 3)x (1 2 )x 1 2 o y x A 、 充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充分必要条件 D 、既非充分也非必要条件 【巧解】数形结合法 画示意图如图。圆面x 2 +y 2 ≤2x （包括圆周）被另一个圆面x 2 +y 2 ≤4包含，结论不是一目了然了吗？ [答案] B 例8 已知a,b,c 均为正实数，则三个数a+1b , b+1c , c+1 a 与2的关系是【 】 A 、都不小于2 B 、至少有一个不小于2 C 、都不大于2 D 、至少有一个不大于2 【巧解】整体化思想 将a+1b , b+1c , c+1a “化整为零”，得a+1b +b+1c +c+1a = a+1a +b+1b +c+1 c ≥6，故已知的三个数中 至少有一个不小于2。故选B 。 [答案] B 例9 解不等式 –1< 3x x 2 -4 <1. 【巧解】数轴标根法、等价转化法 原不等式等价于 （3x+x 2 -4)(3x-x 2 +4)<0，即(x+4)(x-1)(x+1)(x-4)>0, 由数轴标根法，知解集为{x|x<-4或-1 注：可以证明不等式m g(x) 例10 不等式|x+2|≥|x|的解集是______. 【巧解】 数形结合法 由数轴上点的意义知，上述不等式的意义是数轴上的点x 到-2的距离不小于到原点的距离。由图形，易知，x ≥-1。 [答案] {x|x ≥-1} 例11已知c>0，不等式x+|x-2c|>1的解集是R ，求c 的取值范围。 【巧解】等价转化法 要使原不等式的解集为R ，只需不等式中不含x 即可，故有 x-x+2c>1 ∴ c>1 2 。 [答案] c>1 2 注：这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种，显然简捷、精彩！ 例12已知f(x)=(x-a)(x-b)-2 (a 【巧解】数形结合法 令g(x)= (x-a)(x-b),则 f(x)=g(x)-2,由f(x)=0得g(x)=2,因此f(x)=0的两根m,n 可看成直线y=2与y=g(x)交点的横坐标，画出f(x),g(x)的图象，由图象容易得到m [答案] m 例13 若0 +d 2 =b 2 +c 2 ,求证：a+d 由0 , 两式相减，得(a+d)2 <(b+c)2 , ∴ a+d 注：本题的几何意义是：在Rt ΔABC 与Rt ΔABD 中，其中AB 为公共的斜边。若BC>BD,则AC 例14 求征：1+122+132+…+1n 2<2-1 n (n ≥2,n ∈N*). 【巧解】逆用公式法、放缩法 逆用数列的前n 项和的方法来求。设想右端2-1n 是某数列{a n }的前n 项和，即令S n =2-1 n , 则n ≥2时，a n =S n -S n-1=(2-1n )-(2-1n-1)=1n-1-1n =1n(n-1), 这样问题就转化为1n 2<1 n(n-1) ,而这显然。 ∴命题成立。 [答案] 见证明过程 例15 已知a>b>c,求证：1a-b +1b-c +1 c-a >0. 【巧解】放缩法 ∵0 , ∴原式得证。 [答案] 见证明过程 m b a 2 x O n 例16 已知a,b,c 均为正数，求证：3(a+b+c 3 - 3 ab)≥2(a+b 2 - ab)。 【巧解】比较法、基本不等式法 ∵ 左边-右边=2ab+c-33ab=ab+ab+c-33ab ≥33ab-33 ab=0，∴原式成立。 [答案] 见证明过程 例17 已知-1 2 1-ab . 【巧解】构造法、综合法 由无穷等比数列（|q|<1）所有项和公式S=a 1 1-q ，得 11-a 2=1+a 2+a 4+a 6+…; 11-b 2=1+b 2+b 4+b 6 +…, ∴ 11-a 2+11-b 2=2+( a 2+b 2)+( a 4+b 4)+( a 6+b 6)+…≥2+2ab+2a 2b 2+2a 3b 3 +…=21-ab . [答案] 见证明过程 例18 已知a+b=1(a,b ∈R)，求证：(a+1)2+(b+1)2 ≥92。 【巧解】数形结合法。 显然Q(a,b)是直线L ：x+y=1上的点，(a+1)2 +(b+1)2 表示点 Q 与P(-1,1)的距离的平方。如图，设PT ⊥直线L 于T ，所以|PQ|2 ≥|PT|2 ，又|PT|2=(|-1-1-1|1+1)2=92，∴|PQ|2 ≥92 ∴原式成立。 [答案] 见证明过程 例19 若0≤θ≤π 2，求证：cos(sin θ)>sin(cos θ). 【巧解】单调性法 、放缩法 ∵cos θ+sin θ=3sin(θ+π4)≤2<π2，∴cos θ<π 2 -sin θ, 又∵0≤θ≤π2，∴cos θ∈[0,1], π2 -sin θ∈[π2-1,π 2 ]， ∴ sin(cos θ) 2 - sin θ)= cos(sin θ).(单调性) [答案] 见证明过程 例20 已知f(x)=x x+1，若a>b>0,c=2 1 b(a-b) ,求证：f(a)+f(c)>1. 【巧解】基本不等式法、放缩法 Q T P(-1,-1) o y x 可以证明f(x)在(0,+∞)上是增函数。 ∵ c=2 1 b(a-b) ≥21 (a-b+b 2 )2=2 4a 2=4a >0,∴ c ≥4a ， ∴f(c)≥f(4a )，而f(a)+f(c)≥f(a)+f(4a )=a a+1+4 a 4a +1=a a+1+4a+4>a a+4+4 a+4 =1. [答案] 见证明过程 例21 若关于x 的不等式x 2 +2ax-2b+1≤0与不等式-x 2 +(a-3)x+b 2 -1≥0有相同的非空解集，求a,b 的值。 【巧解】等价转化法,数形结合法 将y= x 2 +2ax-2b+1与 y=-x 2 +(a-3)x+b 2 -1两式相加，得 2y=(3a-3)x+b 2 -2b,此即为直线MN 的方程（其中M 、N 分别为两函数图象与x 轴的两个交点）；另一方面，由题意知，MN 即x 轴，其方程为y=0,比较两式的系数得，3a-3=0,b 2 -2b=0,从而易得a=1,b=0或2，特别地当a=1,b=0时，两不等式的解集为{-1}，也符合题意。 [答案] a=1,b=0或2。 例22设定义在[-2,2]上的偶函数在区间[0,2]上单调递减，若f (1-m ) 【巧解】等价转化法 解：∵f(x) 是偶函数，∴f (-x )=f (x )=f (|x |), ∴ f (1-m ) 2。 [答案] -1≤m <1 2 . 注：本题应用了偶函数的一个简单的性质，从而避免了一场“大规模”的讨论，值得关注。 例23解不等式：12 +2x+3 2x 3+x+1 <3. 【巧解】构造法，定比分点法 把12、x 3 +2x+32x 3+x+1 、3看成是数轴上的三点A 、P 、B ，由定比分点公式知P 分所成的比t>0, 即x 3 +2x+32x 3 +x+1-1 23-x 3 +2x+32x 3 +x+1 >0,化简得 x(3x+5)>0,∴ x ∈(-∞,53)∪(0,+∞)。 [答案] x ∈(-∞,5 3 )∪(0,+∞)。 例24 已知x,y,z 均是正数，且x+y+z=1,求证：1-3x 2 +1-3y 2 +1-3z 2 ≤6。 【巧解】配凑法、升幂法 不等式两边配上 2 3 ，再运用均值不等式升幂。（你知道为什么要配2 3 吗？） 231-3x 2 +23 1-3y 2 +231-3z 2 ≤23+1-3x 22 + 23+1-3y 22 + 23+1-3z 22 =5-3(x 2+y 2+z 2 ) 2≤5-3×132=2， ∴原式成立。 [答案] 见证明过程 例25 设a,b,c 为ΔABC 的三条边，求证：a 2 +b 2 +c 2 <2(ab+bc+ca). 【巧解】综合法 ∵a+b>c,b+c>a,c+a>b,∴三式两边分别乘以c,a,b 得ac+bc>c 2 ,ab+ac>a 2 ,bc+ab>b 2 ,三式相加并整理得, a 2 +b 2 +c 2 <2(ab+bc+ca). [答案] 见证明过程 例26 解不等式 8(x+1)3+ 10x+1 - x 3 -5x>0. 【巧解】构造法,综合法 原不等式等价于(2x+1)3+5(2x+1 )>x 3+5x,构造函数f(x)= x 3 +5x,则原不等式即为f( 2x+1)>f(x)，又f(x)在R 上是增函数，∴2 x+1>x,解此不等式得 x<-2或-1 例27已知函数f(x)=x 2 +ax+b(a,b ∈R),x ∈[-1,1],求证：|f(x)|的最大值M ≥12. 【巧解】反证法 假设M<12,则|f(x)|<12恒成立，∴-12 2 , 令x=0,1,-1,分别代入上式，得 -12 2③, 由②+③得-32 2 ，这与①式矛盾，故假设不成立，∴原命题成立。 [答案] 见证明过程 例28 已知二次函数f(x)=ax 2 +bx+c,且方程f(x)=0的两根x 1、x 2都在(0,1)内，求证:f(0)f(1)≤a 2 16 . 【巧解】待定系数法、基本不等式法 因方程有两个实根为x 1,x 2,故可设f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),于是 f(0)f(1)=ax 1x 2·a(1-x 1)(1-x 2)=a 2 x 1(1-x 1)x 2(1-x 2)≤a 2 ·14·14≤a 2 16 。 [答案] 见证明过程 例29 若a 1、a 2、…、a 11成等差数列，且a 12 +a 112 ≤100，求S=a 1+a 2+…+a 11的最大值和最小值。 【巧解】基本不等式法、综合法 (a 1+a 11)2 =a 12 +2a 1a 11+a 112 ≤2(a 12 +a 112 )≤200,∴|a 1+a 11|≤102， 又a 1、a 2、…、a 11成等差数列,∴S=a 1+a 2+…+a 11=11 2(a 1+a 11), ∴ S max =552，S min =-55 2. [答案] S max =552，S min =-55 2. 例30若0≤x,y ≤1，求证：x 2 +y 2 +(1-x)2 +y 2 +x 2 +(1-y)2 +(1-x)2 +(1-y)2 ≥2 2 等号当且仅当x=y=1 2 时成立。 【巧解】构造法 如图，设正方形ABCD 的边长为1，BH=x,AE=y,则 HC=1-x,BE=1-y,于是AP=x 2 +y 2 ,BP=x 2 +(1-y)2 , DP=(1-x)2 +y 2 , PC=(1-x)2 +(1-y)2 ,由AP+PC ≥AC ，BP+DP ≥BD ，而AC=BD=2。看,此时结论是不是显然的了？ [答案] 见证明过程 例31 设m 是方程ax 2 +bx+c=0的实根，且a>b>c>0,求证：|m|<1. 【巧解】综合法 设方程的另一根为n,则由韦达定理得m+n=- b a <0,mn=c a >0,∴ m,n 同为负数， ∴ 1>b a >|m+n|=|m|+|n|,∴ |m|<1,|n|<1.∴结论成立。 [答案] 见证明过程 例32 已知二次函数f(x)=ax 2 +bx+1(a,b ∈R,a>0),设方程f(x)=x 的两实根为x 1和x 2，如 G F E P D C B A 1-y y 1-x x H 果x 1<2 【巧解】 数形结合法 设g(x)=f(x)-x=ax 2 +(b-1)x+1,由题意得???g(2)<0g(4)>0,即 ???4a+2b-1<016a+4b-3>0 ,目标是证明-b 2a >-1,即b a <2.如图作出约束条件下的平 面区域（不含边界），而b a 表示区域内的点(a,b)与坐标原点连线的 斜率，易见b a <2,故命题成立。 [答案] 见证明过程 例33 已知12≤a k ≤1(k ∈N +),求证：a 1a 2…a n +(1-a 1)(1-a 2)…(1-a n )≥1 2n-1. 【巧解】增量法、换元法 设令a k =12+b k (0≤b k ≤12)，则原式左边=(12+b 1)(12+b 2)…(12+b n )+(12 -b 1)(12 -b 2)…(1 2 -b n )=[(12)n +M]+[(12)n +N]=(12)n-1+M+N ≥(12 )n-1 =右边，∴原式成立。 [答案] 见证明过程 （注：多项式M 和N 正负抵消部分项后，所余部分和必为非负数。） 例34 记椭圆x 2a 2 + y 2 b 2 = 1（a>b>0），A 、B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴 相交于P(x 0,0),证明：- a 2 -b 2 a -b 2 a . 【巧解】数形结合法、等价转化法 记Q(x,y)是椭圆上的任一点，则 |PQ|2 =(x-x 0)2 +y 2 =(x-x 0)2 +b 2 (1-x 2 a 2),x ∈[-a,a],得二次函 数，f(x)= a 2-b 2a (x-a 2a 2-b 2x 0)2+b 2-a 2 a 2- b 2x 02 且由|PA|=|PB|,知 f(x A )=f(x B ),即f(x)在[-a,a]上不 单调，由二次函数最小值的唯一性知 –a 2 a 2-b 2x 0 [答案] 见证明过程 例35 已知a,b,c ∈R,f(x)=ax 2 +bx+c.若a+c=0,f(x)在[-1,1]上的最大值是2，最小值是-52。证明：a ≠0且|b a |<2. 【巧解】反证法 假设a=0或|b a |≥2。 （1）若a=0,则由a+c=0,得c=0,∴f(x)=bx.由题设知b ≠0，∴f(x)在[-1,1]是单调函数， a (18,1 4 ) b 从而f(x)max =|b|;f(x)min =-|b|,于是|b|=2,-|b|=- 5 2 ,由此得矛盾； （2）若|b a |≥2,则|-b 2a |≥1且a ≠0，因此区间[-1,1]在抛物线f(x)=ax 2 +bx-a 的对称轴 x=-b 2a 的左侧或右侧，∴函数f(x)在[-1,1]上是单调函数，从而f(x)max =|b|;f(x)=-|b|,由（1）知这是不可能的。 综合（1）（2）知，命题成立。 [答案] 见证明过程 例36 是否存在常数C ，使得不等式x 2x+y +y x+2y ≤C ≤x x+2y +y 2x+y ，对任意正数x,y 恒成立？ 试证明你的结论。 【巧解】分析法 令x=y=1，得23≤C ≤23，所以C=2 3 。下面给出证明： (1) 先证明：x 2x+y +y x+2y ≤23，因为x>0,y>0,要证：x 2x+y + y x+2y ≤2 3，只要证 3x(x+2y)+3y(2x+y)≤2(2x+y)(x+2y),即证：x 2 +y y ≥2xy,这显然成立， ∴ x 2x+y +y x+2y ≤2 3 ； （2）再证：x x+2y +y 2x+y ≥2 3，只需证：3x(2x+y)+3y(x+2y)≥2(x+2y)(2x+y), 即证：x 2+y 2 ≥2xy,这显然成立，∴x x+2y +y 2x+y ≥23 。 综合（1）、（2）得，存在常数C=23，使对于任何正数x,y 都有x 2x+y +y x+2y ≤23≤x x+2y +y 2x+y 成 立。 [答案] 存在常数C=2 3 ,证明略. 2019高考试题文科数学汇编：不等式 1.【2018高考山东文6】设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥?? +≤??-≥-? 那么目标函数3z x y =-的取 值范围是 (A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3 [6,]2 - 【答案】A 2.【2018高考安徽文8】假设x ，y 满足约束条件 02323x x y x y ≥?? +≥??+≤? ，那么y x z -=的最 小值是 〔A 〕-3 〔B 〕0 〔C 〕 3 2 〔D 〕3 【答案】A 3.【2018高考新课标文5】正三角形ABC 的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C 在第一象限，假设点〔x ，y 〕在△ABC 内部，那么z=－x+y 的取值范围是 〔A 〕(1－3，2) 〔B 〕(0，2) 〔C 〕(3－1，2) 〔D 〕(0，1+3) 【答案】A 4.【2018高考重庆文2】不等式 1 02 x x -<+ 的解集是为 〔A 〕(1,)+∞ 〔B 〕 (,2)-∞- 〔C 〕〔-2，1〕〔D 〕(,2)-∞-∪(1,)+∞ 【答案】C 5.【2018高考浙江文9】假设正数x ，y 满足x+3y=5xy ，那么3x+4y 的最小值是 A. 245 B. 285 C.5 D.6 【答案】C 6.【2018高考四川文8】假设变量,x y 满足约束条件3, 212,21200 x y x y x y x y -≥-??+≤?? +≤??≥?≥??，那么34z x y =+的最 大值是〔 〕 A 、12 B 、26 C 、28 D 、33 【答案】C 7.【2018高考天津文科2】设变量x,y 满足约束条件?? ? ??≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,那么目标函数z=3x-2y 的最小值为 不等式解题漫谈 一、活用倒数法则 巧作不等变换——不等式的性质和应用 不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性. 倒数法则：若ab>0,则a>b 与1a <1 b 等价。 此法则在证明或解不等式中有着十分重要的作用。如：（1998年高考题改编）解不等式log a (1-1 x )>1. 分析：当a>1时，原不等式等价于：1-1x >a,即 1x <1-a ,∵a>1,∴1-a<0, 1x <0,从而1-a, 1 x 同 号，由倒数法则，得x>11-a ; 当0 专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络 其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时， 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设.)1(3221+++?+?=n n S n Λ求证.2 )1(2)1(2 +<<+n S n n n 解析 此数列的通项为.,,2,1,)1(n k k k a k Λ=+= 2121)1(+ =++<+ 均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0） 的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。 17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。 专题五 函数、导数、不等式的综合问题 1.已知函数f (x )＝ln x ＋k e x (k 为常数，e ＝ 28…是自然对数的底数)，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． (1)求k 的值； (2)求f (x )的单调区间； (3)设g (x )＝xf ′(x )，其中f ′(x )为f (x )的导函数，证明：对任意x ＞0，g (x )＜1＋e －2 . 解 (1)由f (x )＝ ln x ＋k e x ， 得f ′(x )＝1－k x －xln x xe x ，x ∈(0，＋∞)， 由于曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与x 轴平行． 所以f ′(1)＝0，因此k ＝1. (2)由(1)得f ′(x )＝ 1 xe x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 令h(x )＝1－x －xln x ，x ∈(0，＋∞)， 当x ∈(0,1)时，h(x )＞0；当x ∈(1，＋∞)时，h(x )＜0. 又e x ＞0，所以x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0. 因此f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)因为g(x )＝xf ′(x )， 所以g(x )＝1 e x (1－x －xln x )，x ∈(0，＋∞)， 由(2)得，h(x )＝1－x －xln x ， 求导得h′(x )＝－ln x －2＝－(ln x －ln e －2 )． 所以当x ∈(0，e －2 )时，h′(x )＞0，函数h(x )单调递增； 当x ∈(e －2 ，＋∞)时，h′(x )＜0，函数h(x )单调递减． 所以当x ∈(0，＋∞)时，h(x )≤h(e －2 )＝1＋e －2 . 又当x ∈(0，＋∞)时，0＜1 e x ＜1， 所以当x ∈(0，＋∞)时，1e x h(x )＜1＋e －2，即g(x )＜1＋e －2 . 综上所述结论成立． 2016年04月15日基本不等式 一．选择题（共14小题） 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A．B．2 C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（）A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?山东模拟）已知不等式2x+m+＞0对一切x∈（1，+∞）恒成立，则实 数m的取值范围是（） A．m＞﹣10 B．m＜﹣10 C．m＞﹣8 D．m＜﹣8 5．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 6．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 7．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 9．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A． B．8 C．9 D．12 10．（2015?浙江模拟）函数y=a x+1﹣3（a＞0，a≠1）过定点A，若点A在直线mx+ny=﹣2（m＞0，n＞0）上，则+的最小值为（） A．3 B．2 C．D． 11．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 基本不等式应用解题技巧归纳 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1 x x y x x ++=>-+的值域。 技巧四：换元 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。例：求函数2 y = 练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1）231,(0)x x y x x ++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈ 2．已知01x <<，求函数y = 的最大值.；3．203x <<，求函数y =. 条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 . 变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x ,y 的值 技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。 2：已知0,0x y >>，且 191x y +=，求x y +的最小值。 变式： （1）若+∈R y x ,且12=+ y x ，求y x 11+的最小值 (2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2 ＋y 22 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值. 技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值. 变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。 2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。 高中数学竞赛解题方法篇 不等式 The pony was revised in January 2021 高中数学竞赛中不等式的解法 摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。 不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个着名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用. 1．排序不等式 定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有 1211...n n n a b a b a b -+++(倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和） 1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和） 其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或 12...n b b b ===时成立. （说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.） 证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。 不等式1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值 1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有 .n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+（1-1） 事实上， 不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++. 再证不等式左端, 由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端， 得 即1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++. 例1（美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3 ()a b c a b c a b c abc ++≥. 思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有： 以上两式相加，两边再分别加上lg lg lg a a b b c c ++ 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链： b a 11 2 +2 a b +≤≤≤2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1)x x x x --=+++>- 1≥312≥+52=， 当且仅当 2 11 (1) 22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是52。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①2 3 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：① 3 0,3202 x x <<->∴， ∴2 3(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3(32)[ ]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ② 0,sin 0,cos 02 x x x π << >>∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2x x x =??22231sin sin 2cos 4( )2327 x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π < < tan x ?=tan x arc =时 “=”号成立，故 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 4 4 1 x 时，1+ log x 3 v 2log x 2 ；当 x 时，1+ log x 3 = 2log x 2） 3 3 3.利用重要不等式求函数最值 时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小 ”这17字方 针。 1 x 2 3 【例】（1）下列命题中正确的是 A 、y x 的最小值是 2 B 、y 的最小值是 2 C 、 X Vx 2 2 y 2 3x 4（x 0）的最大值是 2 4'、3 D 、y 2 3x 4 （x 0）的最小值是 2 4-3 （答：C ）； x x （2）若x 2y 1，则2x 4y 的最小值是 ______________ （答: 2^2 ）； （3）正数x, y 满足x 1 2y 1，则 1 x -的最小值为 （答： y 3 2 .2 )； a 2 b 2 a b 4.吊用不等式有：（1） ；2 2 v ab 1 1 （恨据曰标不寺式左右的运算结构选用 ）； a b (2) a 、b 、c R , a 2 .2 2 b c ab bc ca （当且仅当a b c 时，取等号）； (3) 若 a b 0,m 0，则- b m （糖水的浓度问题）。 a a m 【例】 如果正数a 、b 满足ab a b 3 ,则ab 的取值范围是 （答：9, ) 不等式应试技巧总结 1不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减 ：若a b,c d ，贝U a c b d （若a b,c d ，则 a c b d ），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘 ，但不能相除; 异向不等式可以相除 ，但不能相乘：若 a b 0,c d 0，则 ac bd (若 a b 0,0 c d ，则 a -); c d （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方 :若 a b 0 ,则 a n b n 或 n a 1 1 1 1 则 ；若ab 0 , a b ，贝U a b a b 【例】 （1）对于实数a,b,c 中， 给出下列命题： ①若a b,则 ac 2 bc 2 ； ③若a 2 2 b 0,则 a ab b ④ 若a b 0,则- 1 ⑤ a b ⑥若a b 0,则: a lb ；⑦若c a b 0,则丄 ;⑧若a b,1 1 c a c b a b 命题是 (答: ②③⑥⑦⑧）； （2）已知1 x y 1 , 1 x y 3，则3x y 的取值范围是 ______________________ （答：1 n b ； (4)若 ab 0 , a b , ②若 ac 2 bc 2 ,则a b ； b a 右a b 0,则 a b 则a 0,b 0。其中正确的 3x y 7 )； （3）已知a b c ，且a b c 0,则—的取值范围是 a (答: 2,- 2 2.不等式大小比较的常用方法 ： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商 式） ； （ 3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性； （8）图象法。其中比较法（作差、 （常用于分数指数幕的代数 （7）寻找中间量或放缩法 【例】 时取等号） ；当0 a 1时, (2) 作商）是最基本的方法。 1 t 1 1,t 0 ,比较—log a t 和log a 的大小（答：当a 1 t 1 -lOg a t log a 」（t 1 时取等号））； 2 2 1 a 2 4a 2 ,q 2 a 2 ，试比较p,q 的大小（答：p (3) 比较 1+ log x 3 与 2log x 2( x 0且x 1）的大小（答：当0x1或x 1 t 1 1 时，-lOg a t ( t q )； 4 时，1+ log x 3 > 2log x 2 ； 3 不等式解题技巧 【基本知识】 1、若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取 “=”） 2、(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈， 则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） 3、0x >若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 4、， 、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a =b =c 时,“=”号成立； )(333 3 + ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号 成立. 5、若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： （1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可 以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” （3）熟悉一个重要的不等式链： b a 2 +2 a b +≤≤2 2 2b a + 【技巧讲解】 技巧一：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件。通常要通过乘以或除以常数、拆因式、平方等方式进行构造） 1、 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 2、当04x <<时，求(82)y x x =-的最大值。 第五讲、不等式 十三、 不等式 （一）不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。 （二）一元二次不等式 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、一元二次方程的联系。 3.会解一元二次不等式。 （三）二元一次不等式组与简单线性规划问题 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 3.从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 （四）基本不等式： ,0)2 a b a b +≥> 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。 不等式的概念与性质 1．实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 0>-?>b a b a 0<-? ， a b b a >?< （反对称性） （2）c a c b b a >?>>, ，c a c b b a +?>，故b c a c b a ->?>+ （移项法则） 推论：d b c a d c b a +>+?>>, （同向不等式相加） （4）bc ac c b a >?>>0,，bc ac c b a 0, 推论1：bd ac d c b a >?>>>>0,0 推论2：n n b a b a >?>>0 推论3：n n b a b a > ? >>0 算术平均数与几何平均数 1．常用的基本不等式和重要的不等式 （1）0,0,2 ≥≥∈a a R a 当且仅当”取“==,0a （2）ab b a R b a 2,,22≥+∈则 （3）+ ∈R b a ,，则ab b a 2≥+ （4） 2 2 2)2 ( 2 b a b a +≤+ 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞） 基本不等式 一、知识梳理 二、极值定理 （1）两个正数的和为常数时，它们的积有 ； 若0,0,a b a b M >>+=，M 为常数，则ab ≤ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b a b M >>+= ，M 为常数，max ()ab = . （2）两个正数的积为常数时，它们的和有 ； 若0,0,a b ab P >>=，P 为常数，则a b +≥ ；当且仅当 ，等号成立.简述为，当0,0,a b ab P >>= ，M 为常数，min ()a b += . (,)2 a b a b R ++≤ ∈，求最值时应注意以下三个条件： 应用基本不等式的经典方法 方法一、直接利用基本不等式解题 例1、（1）若0,0,4a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的是（ ） A ．1 1 2ab > B ．1 1 1a b +≤ C 2≥ D. 2211+8a b ≤ （2）不等式2162a b x x b a +<+对任意(),0,a b ∈+∞ 恒成立，则实数x 的取值范围是（ ） A ．(2,0)? B ．(,2)(0,)?∞?+∞ C ．(4,2)? D ．(,4)(2,)?∞?+∞ （3）设,,1,1x y R a b ∈>>，若3,x y a b a b +，则11 x y +的最大值为 ( ) A ．2 B ．32 C ．1 D ．12 方法二：凑项（增减项）与凑系数（利用均值不等式做题时，条件不满足时关键在于构造条件，通过乘或除常数、拆因式、平方等方式进行构造） 例2、（1）已知54x <，求函数1 445y x x =+?的最大值； （2）已知，则的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 方法三：“1”的巧妙代换 命题点1、“1”的整体代换 例3、（1）若正数,x y 满足35x y xy +=，则34x y +的最小值是( ) A ．245 B ．285 C ．5 D ．6 （2）已知0,0,x y >>且21x y +=,求1 1 x y +的最小值. 0,2b a ab >>=2 2 a b a b +?(],4?∞?(),4?∞?(],2?∞?(),2?∞? 七年级数学不等式教学方法 1七年级数学不等式该如何教学 注重基础知识的教学 初中的数学内容较小学教学内容更系统和深入，涉及面更广。因此，教师在教学中应 该注重基础知识的教学，帮助学生打下厚实的基础，以利于学生以后的数学学习。首先应 该摆正师生关系，在中国的教育当中一直强调着“师道尊严”。教师在课堂上一般都是居 高而上，普遍都是教师在讲台上讲，学生在下面埋头“消化”教师讲的知识点。教师掌握 着上课的节奏，这样学生显得很被动。在初中不等式教学当中涉及很多的知识点，学生仅 仅知道一些公式而不会运用是教学的一种失败。基础知识在教学当中就显得尤为重要。 不等式的解题方式多样，内容丰富，技巧性较强并且要依据题设、题的结构特点、内 在联系、选择适当的解题方法，就要熟悉解题中的推理思维，需要掌握相应的步骤、技巧 和语言特点。而这一切都是建立在学生有夯实的基础之上的。学生的基础知识不扎实的话，在解不等式题时就步履维艰。 夯实的基础来源于学生对不等式概念知识的掌握和运用，而概念的形成有一个从具 体到表象再到抽象的过程。对不等式抽象概念的教学，更要关注概念的实际背景和学生对 概念的掌握程度。数学的概念也是数学命题、数学推理的基础，学生学习不等式知识点也 是从概念的学习开始的。所以在不等式教学探究中教师应注重学生的基础。 注重学生对知识的归纳和整理 提高初中数学不等式教学效果，首先要培养学生主动探索数学知识的精神，通过寻求 不同思维达到解题效果来激发学生对数学学习的兴趣。引导学生主动去对数学不等式知识 进行探究，通过结合所学的数学知识来形成一个完整的知识网络，以帮助学生完成更深入 地数学知识探究。 同时初中数学不等式知识点的学习对学生归纳能力提出了较高的要求。灵活使用概念 能够帮助学生熟练地运用数学知识，对不等式这一章节知识点的掌握归纳和整理进行综合 的运用从而能够成功地解题。例如，在含有绝对值的不等式当中：解关于x的不等式2+a0时，解集是;2当-2≤a<0时，解集为空集;3当a<-2时，解集为。当学生对知识点进行归 纳和整理后，学生也就不会马失前“题”。 2提高数学课堂教学质量 创设自主学习与合作学习的情境 要把数学学习设置到复杂的、有意义的问题情境中，通过让学生合作解决真正的问题，掌握解决问题的技能，并形成自主学习的能力。创设促进自主学习的问题情境，首先教师 要精心设计问题，鼓励学生质疑，培养学生善于观察、认真分析、发现问题的能力。其次，要积极开展合作探讨，交流得出很多结论。当学生所得的结论不够全面时，可以给学生留2019高考试题文科数学汇编：不等式
高中数学不等式解题技巧
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