新高考数学第一次模拟试题及答案

新高考数学第一次模拟试题及答案

一、选择题

1．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．

310

B ．

2

5

C ．

12

D ．

35

2．123{

3

x x >>是12126{

9

x x x x +>>成立的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分也不必要条件

3．已知二面角l αβ--的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，且,b c αβ⊥⊥，则b 与

c 所成的角的大小为（ ）

A ．120°

B ．90°

C ．60°

D ．30°

4．在空间直角坐标系中，点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对

5．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ．

1

10

B ．

310

C ．

35

D ．

25

6．如图是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为1214,,

A A A ，下图是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流

程图，那么算法流程图输出的结果是（ ）

A ．7

B ．8

C ．9

D ．10

7．一动圆的圆心在抛物线2

8y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0)

B ．(2,0)

C ．(0,2)

D ．(0,0)

8．已知平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ),则向量b 在向量a 方向上的投影为( ) A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2

9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为

A B C D 10．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）

A B

C ．

D ．11．一个样本a,3,4,5,6的平均数是b ，且不等式x 2－6x ＋c ＜0的解集为(a ，b )，则这个样本的标准差是( )

A ．1 B

C

D ．2

12．在△ABC 中，AB=2，AC=3，1AB BC ?=则BC=______

A B

C

D 二、填空题

13．函数()22,0

26,0

x x f x x lnx x ?-≤=?-+>?的零点个数是________．

14．已知函数2

1,1()()

1

a x x f x x a x ?-+≤=?

->?，函数()2()g x f x =-，若函数()()

y f x g x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为______．

15．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数

y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则

12

m n

+的最小值为 16．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．

17．已知函数sin(2)()22y x ??ππ

=+-<<的图象关于直线3

x π=对称，则?的值是________．

18．设复数1(z i i =--虚数单位),z 的共轭复数为z ，则()1z z -?=________. 19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C C

c B B

+=+，C 是锐角，且27a =，1

cos 3

A =

，则ABC △的面积为______． 20．已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的

点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：

22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．

三、解答题

21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，

BA BP =.

（1）求证：PA BD ⊥；

（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.

22．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –1

7

． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．

23．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ,AC BD ⊥,垂足为H ，

PH 是四棱锥的高．

（Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ; （Ⅱ）若AB 6=

APB ADB ∠=∠=60°

,求四棱锥P ABCD -的体积． 24．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小；

（2）求AB 的长．

25．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，）

，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）

在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.

26．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试

公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：

()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断

哪种培训方式效率更高？

()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这

6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】

基本事件总数32

52n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212

232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．

【详解】

由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，

因为基本事件总数32

52n C C 10==，

他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212

232m C C C 3==，

所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10

==． 故选：A ． 【点睛】

本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

2．A

解析：A 【解析】 试题分析：因为123{

3

x x >>12126{

9

x x x x +>?>，所以充分性成立；1213{

1

x x ==满足12126{

9

x x x x +>>，但

不满足123{

3

x x >>，必要性不成立，所以选A.

考点：充要关系

3．C

解析：C 【解析】 【分析】

,b c αβ⊥⊥，直线,b c 的方向向量,b c 分别是平面,αβ的法向量，根据二面角与法向量

的关系，即可求解. 【详解】

设直线,b c 的方向向量,b c ，,b c αβ⊥⊥， 所以,b c 分别是平面,αβ的法向量， 二面角l αβ--的大小为60°，

,b c 的夹角为060或0120，

因为异面直线所的角为锐角或直角， 所以b 与c 所成的角为060. 故选:C. 【点睛】

本题考查二面角与二面角平面的法向量的关系，属于基础题.

4．A

解析：A

【解析】点P(3,4,5)与Q(3，－4，－5)两点的x 坐标相同，而y 、z 坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称． 考点：空间两点间的距离.

5．C

【解析】 【分析】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ，问题求的是()P x y ≤， 首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出x y ≤的可能性有多少种，然后求出()P x y ≤. 【详解】

设第一张卡片上的数字为x ，第二张卡片的数字为y ， 分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有5525?=种情况， 当x y ≤时，可能的情况如下表：

()255

P x y ≤=

=，故本题选C .

【点睛】

本题考查用列举法求概率，本问题可以看成有放回取球问题.

6．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案． 【详解】

根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累计14次考试成绩超过90分的次数．根据茎叶图可得超过90分的次数为9. 故选：C ． 【点睛】

本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．

7．B

解析：B

【分析】

设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M 点为焦点. 【详解】

圆心C 在抛物线上，设与直线20x +=相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线20x +=为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点()2,0．

故选B 【点睛】

这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．

8．B

解析：B 【解析】 【分析】

先根据向量垂直得到a (a +2b ),=0，化简得到a b =﹣2，再根据投影的定义即可求出． 【详解】

∵平面向量a ,b 是非零向量,|a |=2,a ⊥(a +2b ), ∴a (a +2b ),=0， 即()

2

·20a a b += 即a b =﹣2

∴向量b 在向量a 方向上的投影为·2

2

a b a -==﹣1， 故选B ． 【点睛】

本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．

9．C

解析：C 【解析】 【分析】

利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ?中进行计算即可. 【详解】

在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，

则55

tan BE a EAB AB ∠=

==

.故选C.

【点睛】

求异面直线所成角主要有以下两种方法：

（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；

（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】

因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为2

d =， 所以公共弦长为：22222l r d =-=.

故选：C 【点睛】

本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

11．B

解析：B 【解析】

由题意得a ＋3＋4＋5＋6＝5b ，a ＋b ＝6， 解得a ＝2，b ＝4，所以样本方差s 2＝1

5

[(2－4)2＋(3－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(6－4)2]＝2，

. 故答案为B.

12．A

解析：A 【解析】 【分析】 【详解】

2222

149||||cos ()122BC AB BC AB BC B AB BC AC +-?=-?=-+-=-=

|BC ∴

故选：A 【点评】

本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.

二、填空题

13．2【解析】【详解】当x≤0时由f （x ）=x2﹣2=0解得x=有1个零点；当x ＞0函数f （x ）=2x ﹣6+lnx 单调递增则f （1）＜0f （3）＞0此时函数f （x ）只有一个零点所以共有2个零点故答案为：

解析：2 【解析】 【详解】

当x≤0时，由f （x ）=x 2﹣2=0，解得x=1个零点； 当x ＞0，函数f （x ）=2x ﹣6+lnx ，单调递增，

则f （1）＜0，f （3）＞0，此时函数f （x ）只有一个零点， 所以共有2个零点． 故答案为：2． 【点睛】

判断函数零点个数的方法

直接法（直接求零点）：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点， 定理法（零点存在性定理）：利用定理不仅要求函数的图象在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点，

图象法（利用图象交点的个数）：画出函数f (x )的图象，函数f (x )的图象与x 轴交点的个数就是函数f (x )的零点个数；将函数f (x )拆成两个函数h (x )和g (x )的差，根据f (x )＝0?h (x )＝g (x )，则函数f (x )的零点个数就是函数y ＝h (x )和y ＝g (x )的图象的交点个数，

性质法（利用函数性质）：若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数

14．【解析】【分析】由函数把函数恰有个不同的零点转化为恰有4个实数根列出相应的条件即可求解【详解】由题意函数且函数恰有个不同的零点即恰有4个实数根当时由即解得或所以解得；当时由解得或所以解得综上可得：实 解析：(]2,3

【解析】 【分析】

由函数()2()g x f x =-，把函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点，转化为()1f x =恰有4个实数根，列出相应的条件，即可求解. 【详解】

由题意，函数()2()g x f x =-，且函数()()y f x g x =-恰有4个不同的零点， 即()1f x =恰有4个实数根，

当1x ≤时，由11a x -+=，即110x a +=-≥，

解得2=-x a 或x a =-，所以21

12a a a a -≤??

-≤??-≠-?

，解得13a ；

当1x >时，由2

()1x a -=，解得1x a =-或1x a =+，所以11

11a a ->??+>?

，解得2a >，

综上可得：实数a 的取值范围为(]

2,3. 【点睛】

本题主要考查了函数与方程的应用，其中解答中利用条件转化为()1f x =，绝对值的定义，以及二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题.

15．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A ∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误

解析：8

【解析】

∵函数log 1

1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0mn >，

∴21m n +=，又0mn >，

∴0m >，0n >，∴()12124 248n m

m n m n m n m n

+=+?+=++≥（），（当且仅当1

22

n m ==时取“=”），故答案为8.

点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．

16．60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】∵该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一年级本科生中抽取学生人

解析：60 【解析】 【分析】

采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】

∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4

300604556

?=+++.

故答案为60.

17．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间

解析：6

π-

. 【解析】

分析：由对称轴得π

π()6

k k Z ?=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13???

+=± ???

，所以2πππππ()326k k k Z ??+=+=-+∈，，因

为ππ22?-

<<，所以π

0,.6

k ?==- 点睛：函数sin()y A x B ω?=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+；

(2)最小正周期2π

T ω

=

；(3)由π

π()2

x k k ω?+=

+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ω?-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ω?+≤+≤+∈Z 求减区间.

18．【解析】分析：由可得代入利用复数乘法运算法则整理后直接利用求模公式求解即可详解：因为所以故答案为点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算属于中档题解题时一定要注意和

【解析】

分析：由1i z =--，可得1i z =-+，代入()1z z -?，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可.

详解：因为1i z =--，所以1i z =-+，

()()()()()111121z z i i i i ∴-?=++?-+=+?-+

3i =-+==.

点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++

19．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理

解析：【解析】 【分析】 由

cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C

C B

=，故sin2sin2B C =，于是得到

B C =或2

B C π

+=

，再根据1

cos 3

A =

可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求

出b c ==

【详解】

由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22sin cos 2cos sin cos 2cos B C C

C B B =， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠，

∴

sin cos sin cos B C

C B

=， ∴sin2sin2B C =， 又,B C 为三角形的内角，

∴B C =或2

B C π

+=，

又1cos 3

A =

， ∴B C =，于是b c =．

由余弦定理得2

2

2

2cos ,a b c b A =+-

即(2

2222

3

b b b =+-，

解得b =，故c =

∴11sin 223

ABC S bc A ?=

==

故答案为． 【点睛】

正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．

20．【解析】【分析】由题意可得又由可得联立得又由为焦点的抛物线：经过点化简得根据离心率可得即可求解【详解】由题意双曲线的渐近线方程为焦点为可得①又可得即为②由联立①②可得由为焦点的抛物线：经过点可得且即

解析：2+

【解析】 【分析】 由题意可得00b

y x a

=

，又由12MF MF ⊥，可得22200y x c +=，联立得0x a =，0y b =，又由F 为焦点的抛物线2C ：2

2(0)y px p =>经过点M ，化简得224ac 0c a --=，根据离心率c

e a

=，可得2410e e --=，即可求解． 【详解】

由题意，双曲线的渐近线方程为b

y x a

=±，焦点为()1,0F c -，()2,0F c ， 可得00b

y x a

=

，① 又12MF MF ⊥，可得

00

001y y x c x c

?=-+-， 即为222

00y x c +=，②由222a b c +=，联立①②可得0x a =，0y b =，

由F 为焦点的抛物线2C ：2

2(0)y px p =>经过点M ，

可得2

2b pa =，且2

p

c =，即有2224b ac c

a ==-，即224ac 0c a --= 由c

e a =

，可得2410e e --=，解得25e =+ 【点睛】

本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中根据条件转化为圆锥曲线的离心率的方程是解答的关键．求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c 的值，代入公式c

e a

=

；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得e (e 的取值范

围)．

三、解答题

21．(1)见解析；(2) 43

sin 7

α= 【解析】

试题分析：.（1）取AP 中点M ，易证PA ⊥面DMB ，所以PA BD ⊥，（2）以

,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面DPC 的法向量

()13,1,3n =--，设平面PCB 的法向量2n =

(

)

3,1,3-，121212

?1cos ,7

n n n n n n =

=

，即43

sin α=

. 试题解析：

（1）证明：取AP 中点M ，连,DM BM ， ∵DA DP =，BA BP =

∴PA DM ⊥，PA BM ⊥，∵DM BM M ?= ∴PA ⊥面DMB ，又∵BD ?面DMB ，∴PA BD ⊥

（2）∵DA DP =，BA BP =，DA DP ⊥，060ABP ∠=

∴DAP ?是等腰三角形，ABP ?是等边三角形，∵2AB PB BD ===，∴1DM =，

BM =.

∴222BD MB MD =+，∴MD MB ⊥

以,,MP MB MD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,0,0A -

，()

B ，()1,0,0P ，()0,0,1D

从而得()1,0,1DP =-，()

1,3,0DC AB =

=，()

1,BP =，()1,0,1BC AD == 设平面DPC 的法向量()1111,,n x y z =

则11?0?0n DP n DC ?=??=??，即11110

30

x z x y -=???+=??，∴

()

13,1,3n =--， 设平面PCB 的法向量()2212,,n x y z =

，

由22?0?0n BC n BP ?=??=??，得222200

x z x +=???-=??

，∴(

23,1,n =

∴121212

?1

cos ,7n n n n n n =

=

设二面角D PC

B --为α，∴43

sin α==

点睛：利用法向量求解空间二面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 22．(1) ∠A =π3 (2) AC 边上的高为2

【解析】

分析：（1）先根据平方关系求sin B

,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠

；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11

sin 22

ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高． 详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–

17，∴B ∈（π

2

，π），∴sin B

=

sin sin a b A B = ? 7sin A sin A

=

2

．∵

B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．

（2）在

△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =

112727??-+?

???=14

．

如图所示，在△ABC 中，∵sin C =

h BC ，∴h =sin BC C ?=33337142

?=，∴AC 边上的高为

33

．

点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 23．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）33

3

+. 【解析】 【分析】 【详解】

试题分析：（Ⅰ）因为PH 是四棱锥P-ABCD 的高．

所以AC ⊥PH,又AC ⊥BD,PH,BD 都在平面PHD 内,且PH BD=H. 所以AC ⊥平面PBD. 故平面PAC ⊥平面PBD.

（Ⅱ）因为ABCD 为等腰梯形，AB CD,AC ⊥6. 所以3 因为∠APB=∠ADR=600 所以6,HD=HC=1. 可得3

等腰梯形ABCD 的面积为S=1

2

3 所以四棱锥的体积为V=

13x （333233

+ 考点：本题主要考查立体几何中的垂直关系，体积的计算．

点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算．在计算问题中，有“几何法”和“向量法”．利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用向量则能简化证明过程．本题（I ）较为简单，（II ）则体现了“一作、二证、三计算”的解题步骤． 24．120o C =,10c = 【解析】

试题分析：解：（1）()()1

cos cos cos 2

C A B A B π??=-+=-+=-

??，所以120C =

（2）由题意得{

2

a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-??=+-

=()(2

2

22210a b ab a b ab ++=+-=-=

∴10AB

考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用

点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题 25．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8. 【解析】 【分析】

(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求. 【详解】

(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．

(2)由360320x y x y --=??++=?,得02x y =??=-?

,

∴点A 的坐标为(0，－2)，

∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，

∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |=

∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8． 【点睛】

本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题. 26．（1）方式一（2）3

5

【解析】 【分析】

（1）用总的受训时间除以60，得到平均受训时间.由此判断出方式一效率更高.（2）利用分层抽样的知识，计算得来自甲组2人，乙组4人.再利用列举法求得“从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率”. 【详解】

解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则

120525*********

1060

t ?+?+?+?=

=（小时）

28416820121616

10.960

t ?+?+?+?=

≈（小时）

据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因

1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；

（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人, 则这6人中来自甲组的人数为：6

10230

?=， 来自乙组的人数为：

6

20430

?=， 记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取 2人的不同方法数有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ，()()()(),,,,,,,b c b d b e b f ，

()()(),,,,,c d c e c f ，()()(),,,,,d e d f e f ，共15种，

其中至少有1人来自甲组的有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ，()()()(),,,,,,,,b c b d b e b f

共9种，故所求的概率93155

P ==. 【点睛】

本题主要考查平均数的计算，考查分层抽样，考查古典概型的计算方法，属于中档题.